《线性代数教学设计》.doc

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1、正定二次型 （李治飞）l 教学目标与要求 通过本节的学习,使学生正确掌握正定二次型与正定矩阵的概念,了解惯性定理,学会如何判断一个二次型为正定的二次型,一个实对称矩阵为正定矩阵.l 教学重点与难点教学重点：正定二次型与正定矩阵的定义.教学难点：如何判断正定二次型及正定矩阵。l 教学方法与建议通过简单的例子使学生能直观地看到: 二次型的标准型不是唯一的,从而引入惯性定理.对标准形各种情况的讨论使学生易于理解正（负）定二次型、 正（负）定矩阵及半正（负）定二次型、半正（负）定矩阵等基本概念，进而给出正定二次型、正定矩阵等概念的定义以及正定二次型、正定矩阵的判别法。l 教学过程设计1. 问题的提出：

2、 二次型的标准型是否唯一呢？（1）举例：将二次型： 化为标准型解一： 通过正交变换：= 可得标准型 (见前节例)解二： 通过可逆变换：=可得标准型 ( 由此知：通过不同可逆变换而得到的二次型的标准型可能是不同的，那么不同的标准型之间有怎样的相同性呢？)（2）惯性定理定理：设实二次型 = xTAx 的秩为r， 有两个实可逆变换: x=cy 及x=py 使 = k1y21 + k2y22 + +kry2r (ki 0, i=1, ,r) 及 = y21 + y22+ +y2r ( 0, i=1, ,r)则： k1, k2, kr 与 , , ,中所含正数的个数相等。( 注：证明略。仅由前面的实例加

3、以说明。)（3）二次型 = xTAx 其标准型可分以下几种情形。 = k1y21 + k2y22 + +kny2n (ki0,r=n, i=1,n)正定二次型 = k1y21 + k2y22 + +kry2r (ki0,r0,r=n, i=1,n)负定二次型 = -k1y21- k2y22 - -kry2r (ki0,r 0 (或 0 A 的特征值全大于0存在满秩矩阵U,使 A = UTU A的所有前主子式均大于0(注：（1）引导学生给出 为负定矩阵的几个等阶条件。（2）等价条件即为霍尔维兹定理加以说明，尤其是当A为负定时的)4.举例：例1 判断 A = 的正定性“解一”: (x)= xTAx = x12 +2x22 +6x32 +2x1x2 +2x1x3 +6x2x3 = (x1+x2+x3)2 + (x2+2x3)2 +x23 A为的正定性 “解二”: 10, 0, 0 A为正定的例2: 设A 为 n阶正定矩阵，B为mn 阶矩阵, 证明 BTAB为正定的 R(B)= n 证: 设 x0 BTAB为正定的 xT(BTAB)x0 即 (Bx)TA (Bx )0 又 A为正定矩阵 Bx0 当 x0 时 Bx= 0 R(B)= n ( 略)