【走向高考】2021届高三数学一轮基础巩固 第8章 第9节 立体几何中的向量方法(二)求空间角与距离(理)（含解析）北师大版.doc

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1、【走向高考】2016届高三数学一轮基础巩固 第8章 第9节 立体几何中的向量方法(二)求空间角与距离(理) 北师大版一、选择题1在如图所示的正方体A1B1C1D1ABCD中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC夹角的余弦值为()ABCD答案D解析因为A1B1C1D1ABCD为正方体，所以以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设棱长为1，则(0，1)，(1,1,0)，故cos，故选D2在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，向量，两两的夹角均为60，且|1，|2，|3，则|()A5B6C4D8答案A解析由题知，则|2|AB|212223222214212213

2、22325，所以|5.3正方体ABCDA1B1C1D1中BB1与平面ACD1所成角的余弦值为()ABCD答案D解析该题考查正方体的性质，直线与平面所成的角，考查坐标法建立如图所示空间直角坐标系Dxyz，设棱长为1，(0,0,1)，平面ACD1的一个法向量n(1,1,1)，cos，n，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为.4如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为A1C1的中点，则异面直线CE与BD所成的角为()A30B45C60D90答案D解析以D点为原点，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则相关点的坐标为C(0,1,0)，E(，1)，B(1,1,0)，D(0,0,0)，(，1)，(

3、1，1,0)00.，即CEBD5在空间直角坐标系Oxyz中，平面OAB的一个法向量为n(2，2,1)，已知点P(1,3,2)，则点P到平面OAB的距离d等于()A4B2C3D1答案B解析(1,3,2)，|，|cos|.d2.6在正三棱柱ABCA1B1C1中，若AB2，AA11，则点A到平面A1BC的距离为()ABCD答案B解析解法1：取BC中点E，连接AE、A1E，过点A作AFA1E，垂足为F.A1A平面ABC，A1ABC，ABACAEBCBC平面AEA1.BCAF，又AFA1E，AF平面A1BCAF的长即为所求点面距离AA11，AE，AF.解法2：VA1ABCSABCAA11.又A1BA1C

4、，在A1BE中，A1E2.SA1BC222.VAA1BCSA1BChh.h，h.点A到平面A1BC距离为.解法3：设BC中点为O，ABC为正三角形，AOBC，以O为原点，直线AO，BC分别为x轴、y轴建立如图所示空间直角坐标系，则B(0，1,0)，C(0,1,0)，A(，0,0)，A1(，0,1)设n(x，y,1)为平面A1BC的一个法向量，则，n，又(0,0,1)，A到平面A1BC的距离d.二、填空题7已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为_答案解析如图建立直角坐标系Dxyz，设DA1，由已知条件A(1,0,0)，E(0，1)，B(1,

5、1,0)，C(0,1,0)，(1，1)，(1,0,0)设异面直线AE与BC所成角为.cos|cos|.8在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，BCAA11，则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为_答案解析如图，建立空间直角坐标系Dxyz，则D1(0,0,1)，C1(0,2,1)，A1(1,0,1)，B(1,2,0)，(0,2,0)，设平面A1BC1的一个法向量为n(x，y，z)，由，得，令y1，得n(2,1,2)，设D1C1与平面A1BC1所成角为，则sin|cos|.即直线D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为.9已知PD正方形ABCD所在平面，PDAD1，则点C到平面PAB的距

6、离d_.答案解析以D为原点，以DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)，(1,0,1)，(0,1,0)，(1,1,0)，(0，1,1)设平面PAB的法向量为n(x，y，z)，即令x1，则z1，n(1,0,1)d.三、解答题10.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，APAB2，BC2，E，F分别是AD，PC的中点(1)证明：PC平面BEF.(2)求平面BEF与平面BAP夹角的大小解析(1)如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空

7、间直角坐标系，APAB2，BCAD2，四边形ABCD是矩形A，B，C，D，P的坐标分别为A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2，0)，D(0,2，0)，P(0,0,2)，又E，F分别是AD，PC的中点，E(0，0)，F(1，1)，(2,2，2)，(1，1)，(1,0,1)，2420，2020，PCBF，PCEF，BFEFF，PC平面BEF.(2)由(1)知平面BEF的法向量n1(2，2，2)，平面BAP的法向量n2(0,2，0)，n1n28，设平面BEF与平面BAP的夹角为，则cos|cosn1，n2|，45，平面BEF与平面BAP的夹角为45.一、选择题1在正方体ABCDA1B1C1

8、D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin的值为()ABCD答案B解析设正方体棱长2，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系(如图)，可知(2，2,1)，(2,2，1)，cos，sin.2(2015本溪质检)若正三棱锥的侧面都是直角三角形，则侧面与底面所成二面角的余弦值是()ABCD答案B解析以正三棱锥OABC的顶点O为原点，OA，OB，OC为x，y，z轴建系(图略)，设侧棱长为1，则A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，侧面OAB的法向量为(0,0,1)，底面ABC的法向量为n(，)，cos .二、填空题3如图，平面ABCD平

9、面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且AFADa，G是EF的中点，则GB与平面AGC所成角的正弦值为_答案解析如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0,2a,0)，C(0,2a,2a)，G(a，a,0)，(a，a,0)，(0,2a,2a)，(a，a,0)，设平面AGC的法向量为n1(x1，y1,1)，由n1(1，1,1)sin.4如右图，若P为正方体AC1的棱A1B1的中点，则截面PC1D和面AA1B1B所成锐二面角的余弦值是_答案解析以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体AC1的棱长为2，则D(

10、0,0,0)，C1(0,2,2)，P(2,1,2)(0,2,2)，(2,1,2)设截面PC1D的一个法向量为n(1，y，z)，则有即n(1,2，2)又平面AA1B1B的一个法向量为a(1,0,0)，设截面PC1D与平面AA1B1B所成的锐二面角为，则cos.三、解答题5(2014山东高考)如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，DAB60，AB2CD2，M是线段AB的中点(1)求证：C1M平面A1ADD1；(2)若CD1垂直于平面ABCD且CD1，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值解析(1)证明：因为四边形ABCD是等腰梯形，且AB2CD所以ABD

11、C，又由M是AB的中点，因此CDMA且CDMA连接AD1.在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，因为CDC1D1，CDC1D1，可得C1D1MA，C1D1MA，所以四边形AMC1D1为平行四边形因此C1MD1A又C1M平面A1ADD1，D1A平面A1ADD1.所以C1M平面A1ADD1.(2)解法一：连接AC，MC，由(1)知CDAM且CDAM，所以四边形AMCD为平行四边形可得BCADMC，由题意ABCDAB60，所以MBC为正三角形，因此AB2BC2，CA，因此CACB以C为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系Cxyz.所以A(，0,0)，B(0,1,0)，D1(0,0，)因此M(，0)所以

12、(，)，(，0)设平面C1D1M的一个法向量n(x，y，z)，由得可得平面C1D1M的一个法向量n(1，1)又(0,0，)为平面ABCD的一个法向量因此cos，n.所以平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值为.解法二：由(1)知平面D1C1M平面ABCDAB，过C向AB引垂线交AB于N，连接D1N.由CD1平面ABCD，可得D1NAB，因此D1NC为二面角C1ABC的平面角在RtBNC中，BC1，NBC60，可得CN.所以ND1.在RtD1CN中，cosD1NC，所以平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值为.6(2014江西高考)如图，四棱锥PABCD中，ABCD为

13、矩形，平面PAD平面ABCD(1)求证：ABPD；(2)若BPC90，PB，PC2，问AB为何值时，四棱锥PABCD的体积最大？并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值解析(1)ABCD为矩形，故ABAD；又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以AB平面PAD，故ABPD(2)过P作AD的垂线，垂足为O，过O作BC的垂线，垂足为G，连接PG.故PO平面ABCD，BC平面POG，BCPG.在RtBPC中，PG，GC，BG.设ABm，则OP，故四棱锥PABCD的体积为Vm.因为m.故当m，即AB时，四棱锥PABCD的体积最大此时，建立如图所示的坐标系，各点的坐标为O(0,0,0)，B(，0)，C(，0)，D(0，0)，P(0,0，)，故(，)，(0，0)，(，0,0)，设平面BPC的法向量n1(x，y,1)，则由n1，n1得，解得x1，y0，n1(1,0,1)同理可求出平面DPC的法向量n2(0，1)，从而平面BPC与平面DPC夹角的余弦值为cos.- 12 -