2022年抛物线中的面积问题教案 .pdf

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1、名师精编优秀教案抛物线中的面积问题适用学科初中数学适用年级初中三年级适用区域通用课时时长（分钟）60 知识点二次函数的应用。学习目标1. 理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式. 2.会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围. 学习重点抛物线中的面积问题及最值问题. 学习难点如何利用一元二次函数的图像性质来解决实际问题题. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 24 页名师精编优秀教案学习过程一、复习预习利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是：(1)列出二次函数的

2、解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围. (2)在自变量取值范围内，运用公式或配方法求出二次函数的最大值和最小值.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 24 页名师精编优秀教案二、知识讲解考点 1 二次函次图象的平移二次函数图象的平移只要移动顶点坐标即可。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 24 页名师精编优秀教案考点 2 二次函数 yax2bxc 的图象与坐标轴的交点。（1）与 y 轴永远有交点（ 0，c）（2）在 b2 4ac0

3、 时，抛物线与 x 轴有两个交点， A（x1，0） 、B（x2，0）这两点距离为AB|x1x2|， （x1、x2 是 ax2bxc0 的两个根）。在 b2 4ac 0 时，抛物线与 x 轴只有一个交点。在 b2 4ac 0 时，则抛物线与 x 轴没有交点。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 24 页名师精编优秀教案考点 3 求二次函数的最大值常见的有两种方法：（1）直接代入顶点坐标公式（abacab44,22） 。（2）将 yax2bxc 配方，利用非负数的性质进行数值分析。两种方法各有所长，第一种方法过程简单，第二种方法有

4、技巧。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 24 页名师精编优秀教案三、例题精析考点一 动点在直线上，利用平行线，通过等积变形建立函数模型例 1 已知：抛物线 y=ax2+bx+c （ a 0）的对称轴为 x= 1，与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，其中 A（3，0） ，C（0，2）（1）求这条抛物线的函数表达式；（2）已知在对称轴上存在一点P，使得PBC的周长最小请求出点P 的坐标；（3）若点 D 是线段 OC 上的一个动点（不与点O、点 C 重合） 过点 D 作 DE PC交 x 轴于点 E连接 PD、P

5、E设CD 的长为 m， PDE 的面积为 S求 S 与 m 之间的函数关系式试说明S 是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 24 页名师精编优秀教案【规范解答】（1）抛物线的解析式为（2）连接 AD，即，=当=1 时，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 24 页名师精编优秀教案考点二动点在抛物线上动，构建平行线，通过等积变形建立方程模型例 2 如图 5，二次函数的图象与 x 轴交于 A、B（3，0

6、）两点，与 y 轴交于 C（0，-3 ）点，点 P 是直线BC 下方的抛物线上一动点（1）求这个二次函数的表达式（2）当点 P 运动到什么位置时，四边形ABPC 的面积最大并求出最大面积. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 24 页名师精编优秀教案【规范解答】（1）函数表达式为（2）因 S ABC=6 ，当 BPC 的面积最大时，四边形ABPC 的面积最大作 PQ BC 交 y 轴于点 Q，则 S BPC=S BQC ， BQC 高 OB 为定值，所以当PQ 平移到使得 CQ 取得最大值时，BQC 的面积最大，此时直线PQ

7、 和抛物线恰好一个公共点设直线PQ：，得方程，当 =时， m =，S BQC=精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 24 页名师精编优秀教案考点三 抛物线中的探索性问题例 3 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与 x 轴交于 A、B 两点， A 点在原点的左侧， B 点的坐标为（ 3，0） ，与 y 轴交于 C（0，3）点，点 P 是直线 BC 下方的抛物线上一动点（1）求这个二次函数的表达式（2）连接 PO、PC，并把POC沿 CO 翻折，得到四边形POP C，那么是否存在点P，使四边形 POPC为菱

8、形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由（3）当点 P 运动到什么位置时，四边形ABPC 的面积最大？求出此时P 点的坐标和四边形ABPC 的最大面积精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 24 页名师精编优秀教案【规范解答】（1）将 B、C 两点的坐标代入2=+y xbx c，得93=0,=3.bcc解之，得=2,=3.bc所以二次函数的解析式为2=23y xx. （2）如图 1，假设抛物线上存在点P，使四边形POP C为菱形，连接PP交 CO 于点 E四边形POP C为菱形，PC=PO ，且 PECO OE

9、=EC=32，即 P 点的纵坐标为32. 5 分由223xx=32，得12210210=22xx，（不合题意，舍去）所以存在这样的点，此时P 点的坐标为（2102，32）. A C B O P y x PE第 25题图 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 24 页名师精编优秀教案（3）如图 2，连接 PO，作 PM x 于 M ，PNy 于 N设 P 点坐标为（ x，223xx） ，由223xx=0，得点 A 坐标为（ 1，0）. AO= 1，OC= 3， OB= 3，P=223xx，PNx S四边形 ABPC=AOC

10、S+POBS+POCS=12AO OC+12OB PM +12OC PN =1213+12 3(223xx)+12 3 x =239622xx=23375()228x. 易知，当 x=32时，四边形 ABPC 的面积最大此时P 点坐标为（32，154） ，四边形 ABPC 的最大面积为758. A B O P y x 第 25 题图 2(备用 ) C N M 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 24 页名师精编优秀教案考点四 抛物线中的综合应用题例 4 一蔬菜基地种植的某种绿色蔬菜，根据今年的市场行情，预计从5 月 1?日

11、起的 50 天内，它的市场售价y1与上市时间 x 的关系可用图（ a）的一条线段表示； ?它的种植成本 y2与上市时间 x 的关系可用图（ b）中的抛物线的一部分来表示（1）求出图（ a）中表示的市场售价y1与上市时间 x 的函数关系式（2）求出图（ b）中表示的种植成本y2与上市时间 x 的函数关系式（3）假定市场售价减去种植成本为纯利润，问哪天上市的这种绿色蔬菜既不赔本也不赚钱？（市场售价和种植成本的单位：元/千克，时间单位：天）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 24 页名师精编优秀教案【规范解答】 解： （1）设

12、y1mx n，因为函数图象过点（ 0，5.1） ， （50，2.1） ，05.1502.1nmn解得： m350，n5.1， y1350 x5.1（0 x50） （2）又由题目已知条件可设y2a（x25）22因其图象过点（ 15，3） ， 3a（1525）22， a1100， y21100 x212x334（或 y1100（x25 ）22） （0 x 50）（3）设第 x 天上市的这种绿色蔬菜的纯利润为：y1y21100（x244x 315） （0 x55） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 24 页名师精编优秀教案依题

13、意： y1y20，即 x244x 315 0，（x9） （x35）0，解得： x19，x235所以从 5 月 1 日起的第 9 天或第 35 天出售的这种绿色蔬菜，既不赔本也不赚钱。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 24 页名师精编优秀教案四、课堂运用【基础】1、已知点A（0，6） ，B（3，0） ，C（m ，2）三点在同一直线上，试求出图象经过其中一点的反比例函数的解析式并画出其图象（要求标出必要的点，可不写画法） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，

14、共 24 页名师精编优秀教案2、某产品每件成本 10 元，试销阶段每件产品的销售价x（元）? 与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：x（元） 15 20 30 y（件） 25 20 10 若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数（1）求出日销售量 y（件）与销售价 x（元）的函数关系式；（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？? 此时每日销售利润是多少元？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 24 页名师精编优秀教案3、如图，一次函数 ykxb 的图象与反比例函数ymx图象交于 A（2，1） ，B（1

15、，n）两点（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 24 页名师精编优秀教案4、某块试验田里的农作物每天的需水量y（千克）与生长时间x（天）之间的关系如折线图所示? 这些农作物在第10?天、?第 30?天的需水量分别为2000 千克、 3000 千克，在第 40 天后每天的需水量比前一天增加100 千克（1）分别求出当 x 40 和 x 40 时 y 与 x 之间的关系式；（2）如果这些农作物每天的需水量大于或等于4000千克

16、时，需要进行人工灌溉，?那么应从第几天开始进行人工灌溉？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 24 页名师精编优秀教案【巩固】1、在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO，其顶点为A（0，1） 、B（33，1） 、C（33，0） 、O（0，0） 将此矩形沿着过 E（3，1） 、F（334，0）的直线 EF向右下方翻折， B、C 的对应点分别为 B、C（1）求折痕所在直线 EF的解析式；（2）一抛物线经过 B、E、B三点，求此二次函数解析式；（3）能否在直线 EF上求一点 P，使得PBC 周长最小？如能，求出点P 的坐标；若不能，

17、说明理由x y O B C E F A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 24 页名师精编优秀教案2、抛物线 yax2bx 4 与 x 轴的两个交点分别为A（4，0） 、B（2，0） ，与 y 轴交于点 C，顶点为 DE（1，2）为线段 BC 的中点， BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于 F、G（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D 的坐标；（2）在直线 EF上求一点 H，使 CDH 的周长最小，并求出最小周长；（3）若点 K 在 x 轴上方的抛物线上运动，当K 运动到什么位置时， EFK的面积最大？并求出最大

18、面积C B A O E F x y D G 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 24 页名师精编优秀教案【拔高】1、如图，已知抛物线yax24xc 经过点 A（0，6）和 B（3，9） （1）求抛物线的解析式；（2）写出抛物线的对称轴方程及顶点坐标；（3）点 P（m ，m）与点 Q 均在抛物线上（其中 m0） ，且这两点关于抛物线的对称轴对称，求 m 的值及点 Q 的坐标；（4）在满足（ 3）的情况下，在抛物线的对称轴上寻找一点M，使得QMA 的周长最小O x y 3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师

19、归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 24 页名师精编优秀教案2、在平面直角坐标系中，直线y3x3与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 C，抛物线 yax2332xc（a 0）经过点 A、C，与 x 轴交于另一点 B（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）若 P 是抛物线上一点，且 ABP 为直角三角形，求点P 的坐标；（3）在直线 AC 上是否存在点 Q，使得QBD 的周长最小，若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由y B O A C D x 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 24 页名师精编优秀教案课程小结精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 24 页