2022年泊松分布与指数分布 .pdf

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1、1.泊松分布kp(k)P(Xk)e , k=0,1,2,k!1.1. 基础知识kk0ek!证明过程如下：3002300ffeff2!3!03000fffe令0=0，那么：30f0f0f0e132323kk0f0f0ef ( )f (0)f0f02!3!12!3!k!1.2. 均值证明kk1k0k 0eE Xkekk!k!在泊松分布中，X 取值为非负值，即k 不能为负值。所以：kk1k0k 0kk0eE Xkekk!k!= e= ee=k!1.3. 方差证明kk22k0k0k222k0E XE XX1XE X X1E Xek k1ek k1k!k!=e+ =ee+k!2222VarXE XE X

2、+名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - 1.4. 泊松分布与二项式之间的近似关系证明其中：nxnnlim1en的证明过程如下： （主要利用了：xx0lim 1xe） 。nnnx-x-xnnnn-xnnlim1= lim1= lim11nnnn= lim1lim1=e1enn一般来说， n 大于等于100，p 小于等于0.1，np 小于等于10 时（ n 尽可能的大），可以采用泊松分布近似二项分布。2.指数分布xex0f

3、 (x)0 x02.1. 分析xfx d1，依据概率的和加总起来为1。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - 或者数学证明：xxx000fx dxedxedxe|1由于x01edx那么指数分布就可以写为：xxxx0eefxex01edx此处与泊松分布很类似：在泊松分布中，kp(k)P(Xk)e , k=0,1,2,k!kk0ek!那么泊松分布也可以写为：kkkkk 0k!k!p(k)P(Xk) =e, k=0,1,2,e

4、k!k!2.2. 累积概率函数cumulative distribution function： 表示某件事件在时间t 内发生的概率x1ex0F(x)0 x0证明过程如下：首先，xxd eedx其次，ttttxxx000 xttt0F(t)f x dxedxedx1 d ee|e11 e所以：x1ex0F(x)0 x02.3. 均值及方差的证明xxxx0000 xxx000E Xxfx dxxedxxd exe|edx1110edxedxe|01222x2x2xx20000 xxx2000E Xx fx dxxedxx d ex e|edx22 1202xedx2xedxx edx名师资料总结

5、 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - 22222211Var XE XEX2.4. 指数分布的无记忆性设 X 服从参数为的指数分布，则对任意实数s,t0，有：P Xst |XsP Xt。具体证明过程如下：ststtss11eP XsteP Xst |XseP XtP Xse11e名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -