2022年2022年量子力学习题集 .pdf

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1、量子力学复习总结1. 自由粒子可以看成是由平面波叠加而成的波包。错2. 若两个厄米算符不对易，它们可以有共同本征态。对3. 量子体系的守恒量必须要有确定值。错4. 厄米算符的平均值和本征值一定为实数。对5. 电子自旋在空间的投影只能取两个值，导致碱金属谱线出现双线分裂现象。错6. 量子力学中的态叠加原理就是几率的叠加。错7. 描述量子态的波函数必定是单值，连续，有限的。错8. 若算符 A,B 为厄米算符 , 则A,B 也是厄米算符。错9. 量子力学中，一切可观测力学量都是厄米算符。对10. 电子自旋的本质是电子本身在作高速自转。错11. 请给出德布罗意假设，并阐述其物理意义。ph，该公式首次将

2、微观粒子波动性和粒子性的联系在一个公式中表示。12. 自由粒子位于坐标0 x位置，请分别写出其在动量空间和坐标空间波函数的表示，和坐标算符 x 在动量表象中的形式。其在坐标表象中可以表示为)(00 xxx；其在动量表象中可以表示为02/1)2(1ipxpe。13.波函数和iCe（为实数）描述的是体系的同一状态吗？为什么？是. 根据波函数的统计诠释, 只有几率密度2有物理上的实质作用. 14. 动量的 x 分量xipx的本征态为什么。由本征方程xxxpxipp，得xpipxxcex)(，归一化后得xpipxxex2/1)2(1)(15.zzmlmnlnlmmYrR),()(为氢原子中电子的波函数

3、，其中zmmln,分别是什么量子数，其取值范围各是多少？n 为主量子数，取值范围1，2，3，. ；为轨道角动量量子数，取值范围0，1，2，3， n-1; m 为轨道方向量子数（磁量子数） ，取值范围 -，-+1， 0，-1,; 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - zm为自旋方向量子数，取值范围-21，21代表电子自旋取向。16. 设BAC?，1?,?ABBABA，C?的本征方程为C?, 即是C?的本征值为的本征方程，

4、证明A?1和B?2也是C?的本征值分别为1和1的本征函数。17. 试阐述玻色子和费米子的区别。(1)玻色子体系的波函数对于两个粒子交换对称，而费米子体系的波函数波对于两个粒子交换反对称；(2 ）玻色子的自旋为的整数倍)2, 1 ,0(s，而费米子的自旋为的半奇数倍),2/3 ,2/1(s；(3) 玻色子遵循波色 - 爱因斯坦统计，费米子遵循费米- 狄拉克统计。18. 一维谐振子的动量平均值和坐标平均值分别为多少，为什么？对于(zll ,2) 的共同本征态),(lmY，坐标平均值为 0，因为；)(21)(21)(11xnxnaxxnnn由谐振子波函数的正交性关系可得0)()(dxxxxnn动量平

5、均值为 0，因为；)(21)(2)(11xnxnaxdxdnnn由谐振子波函数的正交性关系可得0)()(dxxpxnn19. 请分别给出具有确定动量0p的自由粒子在坐标表象和动量表象的波函数。答： 坐标表象中为/0021)(xippex; 动量表象中为)(0pp。20.zzmlmnlnlmmYrR),()(为氢原子中电子的波函数，其中zmmln,分别是什么量子数，其取值范围各是多少？答: n 为主量子数，取值范围0,1 ，2，3，；21.A?为一算符，且有3?2?2AA，求算符A?的本征值 ? 设|为算符A?的本征态，为其对应的本征值，则有名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - -

6、- - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - |?A，3?2?2AA上面两式可得0|)32(|3|?2|?22AA；得到0322，则13 or即为所求本征值。22. 物理中的守恒现象是与对称性高度相关的，试阐述能量守恒， 动量守恒及角动量守恒所对应的对称性。如体系具有时间平移不变性，0?,?HE，即对应能量守恒；如体系具有空间平移不变性，0?, ?Hp，即对应动量守恒；如体系具有空间旋转不变性，0?,?Hl， 即对应角动量守恒。23. 设一维自由粒子的初态/0)0 ,(xipex

7、，求),(tx。由于初态)0,(x是一个动量的本征态， 具有确定的动量， 因而具有确定的能量mpE220定态，因此)2(200)0,()()(),(tmpxpiEtiEeextfxtx。24. 平面转子的哈密顿算符为IlHz2?2， I 为转动惯量，求能量本征值和本征函数。能量本征方程表为EI2222， E为能量本征值，由于角动量z 分量0?,?Hlz对易，因此平面转子的哈密顿量与角动量分量有共同的本征函数及本征 态 即 为,2, 1,0,21)(meimm相 应 的 能 量 本 征 值 为ImEm2/22。25、升降算符yxl ill，试证lllz,Ll illiilillilll illl

8、lyxxyyzxzyxzz,名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - 26、2xl和2yl的平均值为2222)1(21mllllyx2222222)()(yxxyyxyxyzyzxyxxyzyzxyxyzyzxyxyzxzyxyzzyxxxllllmlihllmlllihlllllilllihlllllllihlllllllllllllllllili222222221zxzyxlllllll22222)1(2121mlll

9、llzx27、A?，B?和C?为任意算符，请证明雅克比恒等式0?,? ,?,? ,?,? ,?BACACBCBA成立。0?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?)?( ,?)?( ,?)?( ,?,? ,?,? ,?,? ,?ACBABCCABACBBCABACCBABCACBACABBCACBACABACBBACABCCBABCAABCBACBCACBAACBCABABCACBBACBCACABCBAACBABCBCABACCBACABABCBACCABACBBCACBAABBACCAACBBCCBABACACBCBA28、p?为动量算符，l?为角动量算符，

10、则有pipllp?2?成立。证明：xxzxyyxyyzzzxzzxzxyyyyxyzzxzxzxyyyzzyyzzyxpippzppypyppxppxppzpxppzppyppxpppypxppxpzpxpzppypxppplpllplppllp2,)()()()(?同理，yypipllp?2 ?zzpipllp?2?所以pipllp?2?名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - 29、粒子在无限深势阱axxaxxV,0,

11、0,0)(中运动，求粒子的能量和波函数。在势阱内 (0 xa) , 定态薛定谔方程为02222xEmxdxd则方程的一般解为)kxsin(Ax式中mEk2,A 和是待定常数 . 因势壁无限高 , 从物理上讲 , 粒子不可能透过势壁而出现在势阱之外, 故势阱外波函数为零0 x,ax,x0由波函数的连续条件 , 要求(0)=0, 即 Asin =0,得=0.再由(a)=0, 得0kasin所以,n,nka321即,n,ank321注意 n=0 给出的波函数0, 无物理意义 , 而 n 取负整数给出的函数与n 取正整数给出的波函数相差一负号, 由波函数的统计诠释, 二者表示粒子的同一状态,n只取正整

12、数即可 . 这样, 粒子的能量为,3 ,2, 1,22222nmanEEn对应的波函数为xnAxnsin利用归一化条件 , 得12sin220220aAdxanAdxxaan取aA2, 得归一化波函数为,n,xnsinaxn32121112名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - 30、一粒子处于,Yc,Yc,022111态, 求角动量的平方2L 及其 Z 分量zL的可能值和平均值 . 2L 的可能值为22和26,相应的几

13、率分别为21c和22c,因此2L 的平均值为2222122222123262ccccLzL的可能值为和 0, 相应的几率分别为21c和22c,因此zL的平均值为2122210cccLz31、设氢原子的状态为102111212321YRYR，求：（ 1）轨道角动量z 分量zl和自旋角动量zs的平均值（Sz=101012）(2) 求总磁矩smelmeM2的 z 分量的平均值（1）4104123212321211211021112110211121dYRdYRYRlYRYRdllzzz21 1121 1121 1021 1021 1121 1121 1021 101101312ss012223211

14、3132()222 44432zzR YdR YR YdR YR YR YR YdR Y（2）BmememesmelmeM41241442232、一质量为 m 的粒子在一维势阱名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - 02/0)(22xxmxxV中运动，求粒子的能级nE和相应归一化波函数)(xn。如果把 x 的定义与延拓到，则问题化为通常的一维谐振子。此时由于)()(xVxV， 即 势 能)(xV具 有空 间 反 射 性

15、。 根 据 定 理 ， 如 果)(x是dingeroSchr方程的解，则)( x也是dingeroSchr方程的解，且有)() 1()(xxnnn(1) 现在，由于在区域,)(,0 xVx因此在0 x区域0)(xn(包括0 x)。因此，根据波函数在0 x处的连续性，0)(x。在0 x处，由式 (1)得0)0()1()0(nnn(2) 式(2)只有在 n 为奇数时，)0()0(nn，从而0)0(才成立。因此，本题只有奇宇称解：, 5 , 3 , 1),()(2221nxHeNxnxnn(3) 相应的能量：5 ,3 , 1,)21(nnEn(4)33、氢原子基态波函数为41),(),(2),(00

16、00/2/3100YYearar其 中 a为玻尔半径，求xpx。因为222)(xxx，222)(xxxppp因此，首先需求 x ，xp，2x，2xp。0|),(321 0 01 0 01 0 0rdxxx，因为 x 是奇而函数，而area2321001|为偶数，因此0 x。同理，可以证明0 xp。另一方面，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - 2402240)(2340 020233221002344sin1|adxx

17、eadrreadddrreardrrxarar其中arx。rdrdppppp3210023210010010010021002|?|)?,?()?,(?但是，考虑到100与，无关，222,rrrrrrzkrryjrrxirzrkryrjrxrizkyjxi因此2220252220 0205232100224sin1|?adrreadddrreardrparar由于氢原子的波函数100与，无关，即球对称，因此，电子的位置，动量的几率分布对 x，y，z 也是对称的。即2222231arzyx，222222331appppzyx由 此 得 到axxx22，apppxxx322, 所 以3xpx。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -