2022年高考金钥匙数学解题技巧大揭秘专题一_函数、基本初等函数的图象和性质 .pdf

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1、1 / 9 专题一函数、基本初等函数的图象和性质1下列函数中，与函数y13x定义域相同的函数为()Ay1sin x Byln xx C yxex Dysin xx答案： D函数y13x的定义域为 (，0) (0， )，而y1sin x的定义域为 x|xR，xk ，k Z ，yln xx的定义域为 (0， )，yxex的定义域为R，ysin xx的定义域为(，0) (0， ) 2下列函数中，不满足f(2x)2f(x)的是 ()Af(x)|x| Bf(x)x|x| Cf(x)x1 Df(x) x 答 案 ： C对 于 选 项A， f(2x) |2x| 2|x| 2f(x)； 对 于 选 项 B ，

2、 f(x) x |x|0 x02x x0，当x0 时， f(2x)02f(x)，当 x0 时， f(2x)4x2 2x2f(x)，恒有f(2x)2f(x)；对于选项D， f(2x) 2x2(x)2f(x)；对于选项C， f(2x)2x12f(x)1. 3下列函数中，在区间(0， )上为增函数的是()Ayln(x2) Byx1 Cy12xDyx1x答案： A结合初等函数的单调性逐一分析即可得到正确结论选项A 的函数yln(x2)的增区间为 ( 2， )，所以在 (0， )上一定是增函数 4已知实数a0，函数f(x)2xa， x1，x2a，x1.若f(1a) f(1 a)，则a 的值为_解读首先讨

3、论1 a,1a 与 1 的关系，当 a0 时， 1 a1,1a 1，所以 f(1 a) (1a)2a 1a；f(1a)2(1a)a 3a2. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页2 / 9 因为 f(1 a)f(1a)，所以 1a3a2，所以 a34.当 a0 时， 1a 1,1a1，所以 f(1 a)2(1a)a2a；f(1a) (1a)2a 3a1. 因为 f(1 a)f(1a)，所以 2 a 3a1，所以 a32(舍去 )综上，满足条件的a34. 答案34高考对本内容的考查主要有：利用函数的图象与性质求函数定义域

4、、值域与最值，尤其是考查对数函数的定义域、值域与最值问题；借助基本初等函数考查函数单调性与奇偶性的应用，尤其是考查含参函数的单调性问题或借助单调性求参数的范围，主要以解答题的形式考查；求二次函数的解读式、值域与最值，考查二次函数的最值、一元二次方程与不等式的综合应用；在函数与导数的解答题中，考查指数函数、对数函数的求导、含参函数单调性的讨论、函数的极值或最值的求解等本部分的试卷多围绕二次函数、分段函数、指数函数、对数函数等几个常见的函数来设计，考查函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性等，所以复习时一定要回归课本，重读教材，只有把课本中的例题、习题弄明白，把基础夯扎实，才能真正掌握、灵活应用，达

5、到事半功倍的效果. 必备知 识函数及其图象(1)定义域、值域和对应关系是确定函数的三个要素，是一个整体，研究函数问题时务必要“定义域优先”(2)对于函数的图象要会作图、识图、用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页3 / 9 函数的性质(1)函数单调性的判定方法定义法：取值，作差，变形，定号，作答其中变形是关键，常用的方法有：通分、配方、因式分解导数法复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则(2)函数的奇偶性反映了函数图象的

6、对称性，是函数的整体特性利用函数的奇偶性可以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半 )区间上，是简化问题的一种途径(3)求函数最值 (值域 )常用的方法单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数；图象法：适合于已知或易作出图象的函数；基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数；导数法：适合于可求导数的函数函数图象的对称性(1)若函数yf(x)满足 f(ax)f(a x)，即 f(x)f(2ax)，则 f(x)的图象关于直线xa对称(2)若 f(x)满足 f(ax)f(bx)，则函数f(x)的图象关于直线xab2对称(3)若 f(xa)为奇函数 ? f(x)的图象关于点(a,0)成中

7、心对称；若f(xa)为偶函数 ? f(x)的图象关于直线xa 对称必备方法1函数的图象和解读式是函数关系的主要表现形式，它们的实质是相同的，在解题时经常要互相转化在解决函数问题时，尤其是较为繁琐的(如分类讨论，求参数的取值范围等)问题时，要注意充分发挥图象的直观作用2二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的相互关系，能用函数与方程、分类讨论、数形结合思想来研究与“三个二次 ” 有关的问题，高考对 “三个二次 ”知识的考查往往渗透在其他知识之中，并且大都出现在解答题中.函数性质及其应用的考查精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -

8、 - - - - -第 3 页，共 9 页4 / 9 常考查：给定函数解读式求定义域；给出分段函数表达式结合奇偶性、周期性求值熟练转化函数的性质是解题的关键，是高考的必考内容，常以选择题、填空题的形式考查，多为基础题【例1】 ? 设定义域在 2,2上的偶函数f(x)在区间 0,2 上单调递减，若f(1 m)f(m)则实数m的取值范围是_审题视点 听课记录 审题视点 利用已知条件，可将问题转化为|1m|m|. 解读 f(x)是偶函数， f(x) f(x)f(|x|)不等式 f(1m)f(m)? f(|1m|)f(|m|)，又当x 0,2时， f(x)是减函数，|1m|m|，21m2，2m2，解得

9、 1m12. 答案1，12(1)函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性(2)求函数最值常用的方法有单调性法、图象法、基本不等式法、导数法和换元法【突破训练1】 (2018 济南2 月月考 )已知定义在R 上的函数yf(x)满足以下三个条件：对于任意的xR，都有 f(x 4)f(x)；对于任意的x1， x2R，且 0 x1x22，都 有 f(x1) f(x2) ； 函 数y f(x 2) 的 图 象 关 于y 轴 对 称 则 下 列 结 论 正 确 的 是()Af(4.5)f(7)f(6.5) Bf(7)f(4.5)f(6.5) Cf(7)f(6.5)f(4.5) Df

10、(4.5)f(6.5)f(7) 答案： A由知， f(x)的周期为4，由知， f(x)在0,2上单调递增由知， f(x)的对称轴为x2. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页5 / 9 f(4.5)f(0.5)，f(7)f(3)f(1)f(6.5)f(2.5)f(1.5)f(4.5)f(7)f(6.5) 函数图象及其应用的考查常考查：由函数的性质(如单调性、对称性、最值)及图象的变换选图象；在解方程或不等式问题时，利用图象求交点个数或解集的范围，是高考考查的热点，常以选择题形式考查，难度中档【例 2】? 函数 yx22

11、sin x 的图象大致是()审题视点 听课记录 审题视点 利用导数的正负与函数在某一区间内的单调性的关系求解C由 f(x) f(x)知，函数f(x)为奇函数，所以排除A；又 f(x)122cos x，当 x在 y 轴右侧，趋向0 时， f (x)0，所以函数f(x)在 x 轴右边接近原点处为减函数，当x2 时， f(2 )122cos 2 320，所以 x2 应在函数的减区间上，所以选C. 函数的图象在研究函数性质中有着举足轻重的作用(1)识图：在观察、分析图象时，要注意到图象的分布及变化趋势，具有的性质，找准解读式与图象的对应关系(2)用图：在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用

12、好其与图象的关系，结合图象研究(3)掌握基本初等函数的图象(一元一次函数、一元二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数)，它们是图象变换的基础【突破训练2】 (2018 新课标全国 )已知函数f(x)1ln x1 x，则 yf(x)的图象大致为()精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页6 / 9 答案： Bg(x)ln( x1)x? g(x)x1x，当 g(x)0 时， 1x0.当 g(x)0 时， x0. 故 g(x)g(0)0，即 x0 或 1x0 时均有 f(x)0，排除 A、C、D. 二次函数综合问题的

13、考查高考很少单独考查二次函数，往往与导数结合来命题，可涉及到二次函数的许多基础知 识的考查，如含参函数根的分布问题，根与系数的关系问题，要求考生熟练应用有关的基础知识【例 3】? 设函数 f(x)a3x3bx2cxd(a 0)，且方程f(x)9x0的两 个根分别为1,4. (1)当 a3 且曲线 yf(x)过原点时，求f(x)的解读式；(2)若 f(x)在(， )内无极值点，求a 的取值范围审题视点 听课记录 审题视点 (1)借助根与系数的关系，曲线过原点等条件进行求解；(2)问题可转化为f(x)0 在(， )内恒成立解由 f(x)a3x3bx2cxd，得 f(x)ax22bxc. 因为 f

14、(x)9xax22bxc9x0的两个根分别为1,4，所以a2bc90，16a8b c36 0，(*) (1)当 a3 时，由 (*) 式得2bc60，8bc12 0.解得 b 3，c12. 又因为曲线yf(x)过原点，所以d0，故 f(x)x33x212x. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页7 / 9 (2)由于a 0，所以“ f(x)a3x3 bx2 cx d 在 (，) 内无极值点”等价于“f(x)ax22bxc0 在(， )内恒成立”由(*) 式得 2b95a，c 4a. 又 (2b)24ac9(a1)(a9

15、)解a0， 9 a1 a9 0得， a1,9 ，即 a 的取值范围是1,9高考对该部分的考查多与二次函数相结合综合命题，涉及函数零点问题，比较方程根的大小问题，函数值的求解，函数图象的识别等问题，考查学生分析、解决问题的能力【突破训练3】 已知函数 f(x)3ax42(3a1)x24x. (1)当 a16时，求 f(x)的极值；(2)若 f(x)在(1,1)上是增函数，求a 的取值范围解(1)f(x)4(x1)(3ax23ax1)当 a16时， f(x)2(x2)(x1)2，f(x)在(， 2)内单调递减，在(2， )内单调递增，在 x 2 时， f(x)有极小值所以 f(2) 12 是 f(

16、x)的极小值(2)在( 1,1)上， f(x)单调递增，当且仅当f(x)4(x1) (3ax23ax1)0，即 3ax23ax10，(i)当 a0 时，恒成立；(ii) 当 a0 时，成立，当且仅当3a 123a 1 10. 解得 a16.0a16. (iii) 当 a0 时，成立，即3a x1223a41 0成立，当且仅当3a410.解得 a43.43 a0. 综上， a 的取值范围是43，16. 函数基础知识在综合问题中的应用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页8 / 9 函数是高考永远不变的主题，二次函数更是热点

17、对二次函数的考查主要以二次函数的图象为载体，利用数形结合思想，解决二次函数的单调区间、二次函数在给定区间上的最值以及与此相关的参数范围的问题下面介绍函数基础知识在综合问题中的应用【示例】设函数f(x)13x3x2(m21)x(xR)，其中 m0. (1)当 m1 时，求曲线yf(x)在点 (1，f(1)处的切线的斜率；(2)求函数 f(x)的单调区间与极值；(3)已知函数f(x)有三个互不相同的零点0，x1，x2，且x1x2，若对任意的xx1，x2，f(x)f(1)恒成立，求m的取值范围满分解答 (1)当 m1 时， f(x)13x3x2，f (x) x22x，故f(1)1.所以曲线 yf(x

18、)在点 (1，f(1)处的切线的斜率为1.(3 分) (2)f(x) x22xm21. 令 f(x) 0，解得 x1m或 x1m. 因为 m0，所以 1m1m.当 x 变化时， f(x)，f(x)的变化情况如下表：x (， 1m)1m (1m,1m)1m (1m， ) f(x)00f(x)极小值极大值所以f(x)在(，1m)，(1m， )上是减函数，在(1m,1m)上是增函数函数 f( x)在 x1m 处取得极小值f(1 m)，且 f(1m)23m3m213.函数 f(x)在 x1m处取得极大值f(1m)，且 f(1m)23m3m213.(7 分) (3)由题设， f(x)x 13x2xm21

19、 13x(xx1)(xx2)，所以方程13x2xm210 有两个相异的实根x1，x2，故 x1x23，且 143(m21)0，解得 m12(舍去 )或m12.因为 x1x2，所以 2x2x1x23，故 x232x1.(9 分 ) 若 x11x2，则 f(1)13(1x1)(1x2)0，而 f(x1)0，不合题意若 1x1x2，对任意的x x1，x2，有 x 0，xx10，xx20，则 f(x)13x(xx1)(x x2)0.又 f(x1)0，所以 f(x)在 x1，x2上的最小值为0.于是对任意的xx1，x2，f(x)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -

20、- - - -第 8 页，共 9 页9 / 9 f(1)恒成立的充要条件是f(1) m213 0，解得33m33.综上， m 的取值范围是12，33.(12 分 ) 老师叮咛 ：该题综合考查了导数知识与函数的基础知识，是一道不错的试卷. 1 2 问较易得分，第3 问因找不到问题的突破口而得分率很低，原因是二次函数的相关基础知识掌握不牢固，不会利用数形结合的思想. 【试一试】设函数 f(x)6x33(a2)x22ax. (1)若 f(x)的两个极值点为x1，x2，且 x1x21，求实数a 的值；(2)是否存在实数a，使得f(x)是(， )上的单调函数？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由解f(x)18x26(a2) x2a. (1)由已知有f(x1)f (x2)0，从而 x1x22a181，所以 a9. (2)由于 36(a 2)24182a 36(a24)0，所以不存在实数a，使得 f(x)是(， )上的单调函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页