2022年高中数学第二章参数方程22直线和圆锥曲线的参数方程直线参数方程及其应用素材北师大版4-4! .pdf

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1、精品资料欢迎下载2.2 直线参数方程及其应用一、直线参数方程建立课本在 P55“向量与直线”阅读材料中，介绍了利用向量法建立直线方程的参数式：xx0atyy0bt(t 为参数 ) （* ）, 其中 (x0,y0) 是直线上的一点，(a,b)是直线的一个方向向量,P(x,y)是直线上任意一点，实数t 是对应点 P的参数 .这种直线的参数式方程可直线称为直线参数方程. 事实上，我们还可以这样来建立直线的参数方程：因过定点P(x0,y0) 且倾斜角为的直线方程为： y y0sincos(x x0)(0 ,且2), 则有：yy0sinxx0cos. 令其比值为t, 于是得：yy0sint,xx0cos

2、t, 即有xx0tcosyy0tsin(t为参数 ) （* ）, 这也是直线的参数方程.很显然其中参数t 还有很好的几何性质，即|t|P0P |. 为区别于其它形式的参数方程，参数方程（* ）我们称为直线的标准参数方程.M0（x0，y 0）为定点点，而t表示有向线段M0P的数量，我们规定：当P在M的上方时，t0；而P在M的下方时，t0. 通常，当我们将（* ）代入二次曲线C的方程能得到：at 2btc0（* ）如果 a0，且b 24ac 0 时，则（ * ）所表示的直线L 与C相交于A、B两点，且有向线段M0A，M0B的数量是方程（* ）的二根t1，t2，即t1M0A，t2M0B. 下面的几个

3、结论是经常用到的：（1）|AB| | t1t2| (t2+t1)2-4t2t1；（2）AB的中点P对应的参数为tt1t22；（3）设P分有向线段AB的比为，则P对应的参数为t1t21. （4）当 t1，t2满足关系 t1t2时，则 (t1t2)212t1t2二直线参数方程应用例 1(1) 已知直线过点A(2,3),B(1,5), 求直线 AB的参数方程； (2) 直线l过点 A(1,5),倾斜角为3, 求直线l的参数方程 . 解：(1) 直线 AB的方向向量为v (1, 5) ( 2,3) (3, 8), 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -

4、-第 1 页，共 4 页精品资料欢迎下载又因其过点A(2,3) ，直线AB的参数方程为x 23ty38t. (2) 直线l的参数方程为x 1tcos3y 5tsin3, 即x112ty532t. 例 2 若直线参数方程为x1 tsin70y2 tcos70(t为参数 ) ，求直线的倾斜角. 解：由参数方程得：x1sin70y2 cos70, y 2cos70sin70(x 1), y 2tan160(x 1), 由此普通方程可知其倾斜角为160 . 例 3(1) 直线l过点 P(1,2),倾斜角为4，求l上与 P的距离为 22的点； (2) 求直线x 22ty32t(t 为参数 ) 上的点到P

5、(2,3) 距离为2的点的坐标 . 解：(1)l的参数方程为x122ty222t, 令|t| 22, t 22, 代加原参数方程得所求点为(3,4) 或( 1,0). (2) 可化成普通方程处理，现仍将参数方程整理成标准形式，利用参数的几何意义求解. 即有x 2(2t)(22)y3(2t) 22, 又直线过定点P0( 2,3) ，且直线上任一点P对应参数为2t, 则有 |P0P | |2t|2, 2t 2, 当 2t 2时，所求点为( 3,4) ；当 2t 2时，所求点为( 1,2). 例 4 已知过点 P 0（ 1，2）的直线 的参数方程是x 13ty2 4t，求点P 0到另一直线 2xy1

6、0 的交点P的距离 . 解： 因为a2b2324251，所以此直线的参数方程不是标准线，令t15t，化为标准式，得x 135ty245t, 将其代入方程2xy10，解得交点P对应的参数值 tP32，故 |P0P| |tP| 32. 例 5 过点 M(2， 1)作直线l， 交 x,y 轴的正半轴于A， B两点 .(1) 求|MA|MB|的最小值；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页精品资料欢迎下载(2) 当(1) 取最小值时，求直线l的方程 . 解析： (1) 设直线l的倾斜角为(0 ) ，则其方程为x=2+tcosy=

7、1+tsin( 为参数，2 ) ,x,y 轴方程为xy=0,代入整理得t2sincos +t(2sin+cos )+2=0,MA=t1，MB=t2，即为的两个根，|MA|MB|=|t1| |t2|=2|sincos |=4|sin2|, 当=34时|MA|MB|的最小值为4. (2) A， B为直线l与 x,y 轴正半轴的交点，=34，将=34代入得x=2+tcos34y=1+tsin34, 即x-2= 22ty-1=22t, 消去 t, 得 x+y-3=0 即为所求的l的直线方程 . 例 6 在已知圆x2y24 上有定点A（ 1, 3）及动点P、Q 且QAP3，求APQ面积的最大值 . 解：

8、 设直线AP的方程为x 1tcos y3tsin (t 为参数 ) ，将其代入x 2y 24，得t22（cosa3sina）t0，由弦长公式 |AP| |2 （cosa3sina）| 4|sin （6）| ，同理可得 |AQ| 4|sin （6）| ，而 23，所以 |AQ| 4|cosa| ，故SAPQ12|AP|AQ|sin343|sin （6） | | cosa| 43|sin cos6cossin6）| | cosa| 43|(32sin cos12cos2)| 23|32sin2 12cos212| 23|sin(26) 12| 当a6时，Smax33. 例 7 已知圆 x2+y2=

9、r2及圆内一点A(a，b)(a ，b 不同时为零 ) ，求被 A平分的弦所在直线方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页精品资料欢迎下载解： 设所求直线的方程为xatcos ybtsin (t 为参数 )，代入圆的方程x2y2r2，整理得t2 2(acos bsin )t a2b2r20 设 t1，t2为方程两根，A 是中点，t1t20，即 acosbsin 0，a b，得axby a2b2t(acos bsin ) a2 b2，故所求直线方程是axby a2b2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页