2019-2020学年河南省洛阳市高考数学三模试卷(理科)( 有答案).pdf

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1、. . 河南省洛阳市高考数学三模试卷（理科） 一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 1已知复数z=（） 2（其中 i 为虚数单位） ，则 =（） A1 B i C 1 Di 2已知集合M=x|+=1 ，N=y|+=1，M N=（） A?B （3，0） ， （0，2） C D 3已知 a、 bR，则“ ab=1”是“直线“ ax +yl=0 和直线 x+by1=0 平行”的（） A充分不必要条件B充要条件 C必要不充分条件D既不充分又不必要条件 4利用如图算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆x 2+y2=25

2、 内的个数为（ ） A2 B3 C 4 D5 5已知数列 an 为等差数列，且a2016+a2018=dx，则 a2017的值为（） AB2C 2 D 6祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既 同，则积不容异”意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的 体积相等此即祖暅原理利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体 三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为h（ 0h2）的平面截该几何体，则截面面积为 . . （） A4Bh 2 C（ 2h） 2 D（ 4h 2） 7已知随机变

3、量ZN（1，1） ，其正态分布密度曲线如图所示，若向正方形OABC 中随机投掷10000 个点， 则落入阴影部分的点的个数的估计值为（） 附：若ZN（， 2） ，则 P（ Z +） =0.6826 ； P（ 2 Z +2） =0.9544 ；P（ 3 Z +3） =0.9974 A6038 B 6587 C 7028 D7539 8已知实数x，y 满足若目标函数Z=ax+y 的最大值为3a+9，最小值为 3a3，则实数 a 的取值 范围是（） Aa| 1a1 Ba|a 1 Ca|a 1或 a 1 Da|a 1 9若空间中四个不重合的平面a1，a2，a3，a4满足 a1 a2，a2 a3，a3a

4、4，则下列结论一定正确的是（） Aa1a4Ba1a4 Ca1与 a4既不垂直也不平行Da1与 a4的位置关系不确定 10设（ 2x） 5=a 0+a1x+a2x 2+a 5x 5，则 的值为（） ABC D 11 已知点 A是抛物线x 2=4y 的对称轴与准线的交点， 点 B为抛物线的焦点， P在抛物线上且满足|PA|=m|PB| ， 当 m取最大值时，点P恰好在以A，B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（） AB +1 CD1 12已知函数f（x）=，若在区间（ 1，）上存在n（n2）个不同的数x1， . . x2，x3， xn，使得=成立，则n 的取值集合是（） A2 ，3，4，5 B

5、2 ，3 C2 ，3，5 D 2，3， 4 二、填空题：本大题共4 个小题，每小题5 分，共 20 分 13已知 |=1 ，|=2 ，与的夹角为120，则与的夹角为 14等比数列 an 的前 n 项和为 Sn，Sn=b（ 2） n 1a，则 = 15已知直三棱柱ABC A1B1C1中， AB=3 ， AC=4 ，AB AC ， AA1=2，则该三棱柱内切球的表面积与外接球的表 面积的和为 16已知函数f（x）=，点 O为坐标原点，点An（ n，f （n） ） （nN * ） ，向量=（ 0，1） ，n是向量 与的夹角，则使得+t 恒成立的实数t 的最小值为 三、解答题：本大题共6 个小题，共7

6、0 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 17已知函数f（ x）=cosx（sinx cosx ）+m （m R ） ，将 y=f （ x）的图象向左平移个单位后得到g （x）的图象，且y=g（x）在区间 ， 内的最小值为 （1）求 m的值； （2）在锐角 ABC中，若 g（）=+，求 sinA+cosB 的取值范围 18如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中， BAC=90 ， AB=AC=AA 1=2，E是 BC中点 （1）求证： A1B平面 AEC1； （2）在棱 AA1上存在一点M ，满足 B1M C1E，求平面 MEC1与平面 ABB1A1所成锐二面角的余弦值 19某市为

7、了了解全民健身运动开展的效果，选择甲、乙两个相似的小区作对比，一年前在甲小区利用体 育彩票基金建设了健身广场，一年后分别在两小区采用简单随机抽样的方法抽取20 人作为样本，进行身体 综合素质测试，测试得分分数的茎叶图（其中十位为茎，个们为叶）如图： （1）求甲小区和乙小区的中位数； （2）身体综合素质测试成绩在60 分以上（含60）的人称为“身体综合素质良好”，否则称为“身体综合 素质一般”以样本中的频率作为概率，两小区人口都按1000 人计算，填写下列22 列联表， . . 甲小区（有健康广 场） 乙小区（无健康广 场） 合计 身体综合素质良好 身体综合素质一般 合计 并判断是否有97.5%

8、把握认为“身体综合素质良好”与“小区是否建设健身广场”有关？ P（K 2k） 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 k01.706 3.841 5.024 6.635 7.879 （附： k=） 20已知椭圆C ： +=1（a0，b 0）的离心率为，右焦点为F，上顶点为A，且 AOF的面积为 （O为坐标原点） （1）求椭圆C的方程； （2）若点 M在以椭圆C的短轴为直径的圆上，且 M在第一象限，过M作此圆的切线交椭圆于P，Q两点试 问 PFQ的周长是否为定值？若是，求此定值；若不是，说明理由 21已知函数f （ x）=asinx+ln （ 1x） （1）若 a=1，求 f （x

9、）在 x=0 处的切线方程； （2）若 f（ x）在区间 22在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方 程为 sin 2=mcos （ m 0） ，过点 P（ 2， 4）且倾斜角为 的直线 l 与曲线 C相交于 A，B两点 （1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）若 |AP| ?|BP|=|BA| 2，求 m的值 23设不等式0 |x+2| |1 x| 2 的解集为 M ， a，bM . . （1）证明： |a+b| ； （2）比较 |4ab 1| 与 2|b a| 的大小，并说明理由 . . 河南省洛阳市高考数学三模试卷

10、（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 1已知复数z=（） 2（其中 i 为虚数单位） ，则 =（） A1 B i C 1 Di 【考点】 A7：复数代数形式的混合运算 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出 【解答】解：z=（） 2= =i ，则=i 故选： B 2已知集合M=x|+=1 ，N=y|+=1，M N=（） A?B （3，0） ， （0，2） C D 【考点】 1E：交集及其运算 【分析】根据椭圆的定义得到集合M ，根据直线方程得到集合N，再求交集即可 【解答】解：集

11、合M=x|+=1= ， N=y|+=1=R， 则 M N=， 故选： D 3已知 a、 bR，则“ ab=1”是“直线“ ax +yl=0 和直线 x+by1=0 平行”的（） A充分不必要条件B充要条件 C必要不充分条件D既不充分又不必要条件 【考点】 2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】由ax+yl=0 和直线 x+by1=0 平行，可得ab=1反之不成立，例如a=b=1 时，两条直线重合 【解答】解：由ax+yl=0 和直线 x+by 1=0 平行，可得ab=1 反之不成立，例如a=b=1 时，两条直线重合 ab=1”是“直线“ ax +yl=0 和直线 x+by 1=0

12、平行”的必要不充分条件 故选： C 4利用如图算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆x 2+y2=25 内的个数为（ ） . . A2 B3 C 4 D5 【考点】 EF ：程序框图 【分析】由程序框图知，得出打印的点坐标，判定该点是否在圆内即可 【解答】解：由程序框图知， i=6 时，打印第一个点（3，6） ，在圆 x 2+y2=25 外， i=5 时，打印第二个点（2，5） ，在圆 x 2+y2=25 外， i=4 时，打印第三个点（1，4） ，在圆 x 2+y2=25 内， i=3 时，打印第四个点（0，3） ，在圆 x 2+y2=25 内， i=2 时，打印第五个点（1，2

13、） ，在圆 x 2+y2=25 内， i=1 时，打印第六个点（2，1） ，在圆 x 2+y2=25 内， 打印的点在圆x 2+y2=25 内有 4 个 故选： C 5已知数列 an 为等差数列，且a2016+a2018=dx，则 a2017的值为（） AB2C 2 D 【考点】 84：等差数列的通项公式 【分析】根据定积分的几何意义求出a2016+a2018=dx=，再根据等差中项的性质即可求出 【解答】解：dx 表示以原点为圆心，以2 为半径的圆的面积的四分之一， 则 a2016+a2018=dx=， 数列 an为等差数列， . . a2017=（a2016+a2018） =， 故选： A

14、 6祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既 同，则积不容异”意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的 体积相等此即祖暅原理利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体 三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为h（ 0h2）的平面截该几何体，则截面面积为 （） A4Bh 2 C（ 2h） 2 D（ 4h 2） 【考点】 L! ：由三视图求面积、体积 【分析】由题意，首先得到几何体为一个圆柱挖去一个圆锥，得到截面为圆环，明确其半径求面积 【解答】解：由已知得到几何体为一个圆柱挖去

15、一个圆锥，底面半径为2 高为 2，截面为圆环，小圆半径为 r ，大圆半径为2，设小圆半径为r ，则，得到 r=h，所以截面圆环的面积为4h 2=（ 4h2） ； 故选 D 7已知随机变量ZN（1，1） ，其正态分布密度曲线如图所示，若向正方形OABC 中随机投掷10000 个点， 则落入阴影部分的点的个数的估计值为（） 附：若ZN（， 2） ，则 P（ Z +） =0.6826 ； P（ 2 Z +2） =0.9544 ；P（ 3 Z +3） =0.9974 A6038 B 6587 C 7028 D7539 【考点】 CP ：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 【分析】求出P阴影=P（0X

16、 1）=10.6826=1 0.3413=0.6587 ，即可得出结论 . . 【解答】解：由题意P阴影=P（ 0X1）=10.6826=1 0.3413=0.6587 ， 则落入阴影部分点的个数的估计值为100000.6587=6587 故选： B 8已知实数x，y 满足若目标函数Z=ax+y 的最大值为3a+9，最小值为 3a3，则实数 a 的取值 范围是（） Aa| 1a1 Ba|a 1 Ca|a 1或 a 1 Da|a 1 【考点】 7C ：简单线性规划 【分析】由约束条件作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合分类讨论进 行求解 【解答】解：由z=ax+y 得

17、 y=ax+z，直线 y=ax+z 是斜率为 a，y 轴上的截距为z 的直线， 作出不等式组对应的平面区域如图： 则 A（3， 9） ，B（ 3，3） ，C（3， 3） ， z=ax+y 的最大值为3a+9，最小值为3a3， 可知目标函数经过A取得最大值，经过C取得最小值， 若 a=0，则 y=z，此时 z=ax+y 经过 A取得最大值，经过C取得最小值，满足条件， 若 a0，则目标函数斜率k=a0， 要使目标函数在A处取得最大值，在C处取得最小值， 则目标函数的斜率满足akBC=1， 即 a1，可得 a（ 0，1 若 a0，则目标函数斜率k=a0， 要使目标函数在A处取得最大值，在C处取得最

18、小值，可得akBA=1 1a0，综上 a 故选： A . . 9若空间中四个不重合的平面a1，a2，a3，a4满足 a1 a2，a2 a3，a3a4，则下列结论一定正确的是（） Aa1a4Ba1a4 Ca1与 a4既不垂直也不平行Da1与 a4的位置关系不确定 【考点】 LQ ：平面与平面之间的位置关系 【分析】可得平面a1，a3平行或相交，而a3a4，可得 a1与 a4的位置关系不确定， 【解答】解：若空间中四个不重合的平面a1，a2，a3，a4满足 a1a2，a2a3， a3a4， 平面 a1，a3平行或相交，a3 a4， a1与 a4的位置关系不确定， 故选 D 10设（ 2x） 5=a

19、 0+a1x+a2x 2+a 5x 5，则 的值为（） ABC D 【考点】 DB ：二项式系数的性质 【分析】利用二项式展开式的通项公式求出a1、a2、a3、a4的值，再计算 【解答】解：由（2 x） 5=a 0+a1x+a2x 2+a 5x 5， 且二项式展开式的通项公式为Tr+1=?2 5 r?（ x）r ， a1=?2 4=80， a2=?2 3=80， a3=?2 2=40， a4=?2=10； = . . 故选 C 11 已知点 A是抛物线x 2=4y 的对称轴与准线的交点， 点 B为抛物线的焦点， P在抛物线上且满足|PA|=m|PB| ， 当 m取最大值时，点P恰好在以A，B为

20、焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（） AB +1 CD1 【考点】 K8：抛物线的简单性质 【分析】过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义，结合|PA|=m|PB| ，可得=，设 PA的倾 斜角为 ，则当m取得最大值时， sin 最小，此时直线PA与抛物线相切，求出P的坐标，利用双曲线的 定义，即可得出结论 【解答】解：过P作准线的垂线，垂足为N， 则由抛物线的定义可得|PN|=|PB| ， |PA|=m|PB| ， |PA|=m|PN| =， 设 PA的倾斜角为，则 sin =， 当 m取得最大值时， sin 最小，此时直线PA与抛物线相切， 设直线 PA的方程为y=kx1，代入 x

21、 2=4y，可得 x2=4（kx1） ， 即 x 24kx+4=0， =16k 216=0， k= 1， P（ 2，1） ， 双曲线的实轴长为PA PB=2 （1） ， 双曲线的离心率为=+1 故选 B . . 12已知函数f（x）=，若在区间（ 1，）上存在n（n2）个不同的数x1， x2，x3， xn，使得=成立，则n 的取值集合是（） A2 ，3，4，5 B 2 ，3 C2 ，3，5 D 2，3， 4 【考点】 5B：分段函数的应用 【分析】由题意可知n 为方程 f （x）=kx 的解的个数，判断f （x）的单调性，作出y=f （x）与 y=kx 的函 数图象，根据图象交点个数判断 【解

22、答】解：设=k，则方程有 n 个根， 即 f （x） =kx 有 n 个根， f （x）=， f （ x）在（ 1，）上单调递增，在（，2）上单调递减 当 x2 时，f （ x） =e x2（ x2+8x12）+ex2（ 2x+8）=ex2（ x2+6x4） ， 设 g（x） =x 2+6x4（x2） ，令 g（x）=0 得 x=3+ ， 当 2时， g（x） 0，当 x3+时， g（x） 0， f （ x）在（ 2，3+）上单调递增，在（3+，+）上单调递减， 作出 f （x）与 y=kx 的大致函数图象如图所示： 由图象可知f （x）=kx 的交点个数可能为1，2，3，4， n 2，故 n

23、 的值为 2，3，4 . . 故选 D 二、填空题：本大题共4 个小题，每小题5 分，共 20 分 13已知 |=1 ，|=2 ，与的夹角为120，则与的夹角为90 【考点】 9P：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 【分析】利用向量的数量积运算和向量垂直与数量积的关系即可得出 【解答】解：|=1 ，|=2 ，与的夹角为120， =1 ， ， =， （ 1）=， =0 与的夹角为 90 14等比数列 an 的前 n 项和为 Sn，Sn=b（ 2） n 1a，则 = 【考点】 89：等比数列的前n 项和 【分析】利用递推关系、等比数列的定义与通项公式即可得出 【解答】解：n=1 时， a1=ba

24、 n2 时， an=SnSn1=b（ 2） n1a， 上式对于n=1 时也成立，可得：ba=b+ 则= 故答案为： 15已知直三棱柱ABC A1B1C1中， AB=3 ， AC=4 ，AB AC ， AA1=2，则该三棱柱内切球的表面积与外接球的表 面积的和为33 【考点】 LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；LG ：球的体积和表面积 【分析】求出外接球的半径、内切球的半径，即可求出该三棱柱内切球的表面积与外接球的表面积的和 【解答】解：将三棱柱扩充为长方体，对角线长为=，外接球的半径为，外接球的表面 积为 29， . . ABC的内切圆的半径为=1，该三棱柱内切球的表面积4， 三棱柱内切

25、球的表面积与外接球的表面积的和为29 +4=33， 故答案为： 33 16已知函数f（x）=，点 O为坐标原点，点An（ n，f （n） ） （nN * ） ，向量=（ 0，1） ，n是向量 与的夹角，则使得+t 恒成立的实数t 的最小值为 【考点】 9R ：平面向量数量积的运算 【分析】根据题意知n是直线 OAn的倾斜角，化=tan （n）=， 再求出+ +的解析式g （n） ，利用 g （n）t 恒成立求出t 的最小值 【解答】解：根据题意得，n是直线 OAn的倾斜角， = =tan （n） = = =， + =（1）+（）+（）+（） =1+ =； 要使t 恒成立， 只须使实数t 的最小

26、值为 . . 故答案为： 三、解答题：本大题共6 个小题，共70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 17已知函数f（ x）=cosx（sinx cosx ）+m （m R ） ，将 y=f （ x）的图象向左平移个单位后得到g （x）的图象，且y=g（x）在区间 ， 内的最小值为 （1）求 m的值； （2）在锐角 ABC中，若 g（）=+，求 sinA+cosB 的取值范围 【考点】 GL ：三角函数中的恒等变换应用；HJ：函数y=Asin （x+）的图象变换；HT ：三角形中的几何 计算 【分析】（1）根据二倍角公式化简f （x） ，利用平移规律得出g（x）的解析式，根据最小

27、值列方程求出m ； （2）根据条件求出C，用 A 表示出 B，化简 sinA+cosB 得出关于A 函数，根据A 的范围得出正弦函数的性 质得出 sinA+cosB 的范围 【解答】解： （1）f（ x）=sinxcosx cos 2x+m= sin2x cos2x+m=sin （2x）+m ， g（ x）=sin+m=sin （2x+）+m ， x ， ， 2x+， ， 当 2x+=时， g（ x）取得最小值+m =m ， m= （2） g（）=sin （C+）+=+， sin （C+）=， C（ 0，） ， C+（，） ， C+=，即 C= sinA+cosB=sinA+cos （A） =

28、sinA cosA+sinA=sinA cosA =sin （A） ABC是锐角三角形，解得， . . A（，） ， sin （A）， sin （A） sinA+cosB 的取值范围是（，） 18如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中， BAC=90 ， AB=AC=AA1=2，E是 BC中点 （1）求证： A1B平面 AEC1； （2）在棱 AA1上存在一点M ，满足 B1M C1E，求平面 MEC 1与平面 ABB1A1所成锐二面角的余弦值 【考点】 MT ：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定 【分析】（1）连结 A1C交 AC1于点 O，连结 EO ，推导出EO A1B ，

29、由此能证明A1B平面 AEC1 （2）以 A为原点， AB为 x 轴， AC为 y 轴， AA1为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面MEC 1 与平面 ABB1A1所成锐二面角的余弦值 【解答】证明： （1）连结 A1C交 AC1于点 O，连结 EO ， ACC1A1是正方形，O为 A1C的中点， 又 E为 CB的中点， EO A1B， EO ? 平面 AEC1，A1B?平面 AEC1， A1B平面 AEC1 解： （ 2）以 A为原点， AB为 x 轴， AC为 y 轴， AA1为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则 A（0， 0，0） ， B （2，0，0） ，B1（2，0，

30、2） ，C （0，2，0） ，C1（0，2，2） ，E（1，1，0） ， 设 M （0， 0，m ） ， （0m 2） ，则=（ 2，0， m 2） ，=（1， 1， 2） ， B1M C1E，=22（m 2）=0，解得 m=1 ， M （ 0，0，1） ，=（1，1， 1） ，=（0，2，1） ， 设平面 MEC1的法向量=（ x，y，z） ， 则，取 y=1，得=（3， 1，2） ， AC 平面 ABB1A1，取平面ABB1A1的法向量为=（ 0，2，0） ， . . cos =， 平面 MEC 1与平面 ABB1A1所成锐二面角的余弦值为 19某市为了了解全民健身运动开展的效果，选择甲、

31、乙两个相似的小区作对比，一年前在甲小区利用体 育彩票基金建设了健身广场，一年后分别在两小区采用简单随机抽样的方法抽取20 人作为样本，进行身体 综合素质测试，测试得分分数的茎叶图（其中十位为茎，个们为叶）如图： （1）求甲小区和乙小区的中位数； （2）身体综合素质测试成绩在60 分以上（含60）的人称为“身体综合素质良好”，否则称为“身体综合 素质一般”以样本中的频率作为概率，两小区人口都按1000 人计算，填写下列22 列联表， 甲小区（有健康广 场） 乙小区（无健康广 场） 合计 身体综合素质良好350 300 650 身体综合素质一般650 700 1350 合计1000 1000 20

32、00 并判断是否有97.5%把握认为“身体综合素质良好”与“小区是否建设健身广场”有关？ P（K 2k） 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 k01.706 3.841 5.024 6.635 7.879 （附： k=） 【考点】 BO ：独立性检验的应用 【分析】（1）利用茎叶图，可得甲小区和乙小区的中位数； . . （2）列出列联表，求出k，与临界值比较，即可得出结论 【解答】解： （1）由题意，甲小区的中位数为55，乙小区的中位数为42.5 ； （2） 22 列联表， 甲小区（有健康广 场） 乙小区（无健康广 场） 合计 身体综合素质良好350 300 650 身体综合

33、素质一般650 700 1350 合计1000 1000 2000 k=5.698 5.024 ， 有 97.5%把握认为“身体综合素质良好”与“小区是否建设健身广场”有关 20已知椭圆C ： +=1（a0，b 0）的离心率为，右焦点为F，上顶点为A，且 AOF的面积为 （O为坐标原点） （1）求椭圆C的方程； （2）若点 M在以椭圆C的短轴为直径的圆上，且 M在第一象限，过M作此圆的切线交椭圆于P，Q两点试 问 PFQ的周长是否为定值？若是，求此定值；若不是，说明理由 【考点】 KL：直线与椭圆的位置关系 【分析】（1）由椭圆的离心率为，右焦点为F，上顶点为A，且 AOF的面积为（O为坐标原

34、点） ，列 出方程组，求出a=，b=1，由此能求出椭圆C的方程 （2）设 P （ x1，y1） ，Q（x2，y2） ，连结 OM ，OP ，求出 |PF|+|PM|=|QF|+|QM|=，从而求 出 PFQ的周长为定值2 【解答】解： （1）椭圆C： +=1（a0，b0）的离心率为，右焦点为F，上顶点为A， 且 AOF的面积为（O为坐标原点） ，解得 a=，b=1， 椭圆 C的方程为 （2）设点 P在第一象限，设P（x1，y1） ， Q （x2，y2） ， . . |PF|= =， 连结 OM ， OP ，则 |PM|= =， |PF|+|PM|=， 同理， |QF|+|QM|=， |PF|+

35、|QF|+|PQ|=|PF|+|QF|+|PM|+|QM|=2， PFQ的周长为定值2 21已知函数f （ x）=asinx+ln （ 1x） （1）若 a=1，求 f （x）在 x=0 处的切线方程； （2）若 f（ x）在区间； （3）由（ 2）知，当a=1 时， f（x）=sinx+ln（1 x）在（ 0，1）上单调递减，可得f （x） f （0） =0， 即sinxln，由及 =ln=ln2 即可 证得ln2 则 e2， （n N *） 【解答】（1）解： a=1 时， f （x） =asinx+ln （1x） ， f （ x）=cosx，f （ 0） =0，又 f （0） =0， f

36、 （ x）在 x=0 处的切线方程为y=0； . . （2）解： f （x）在区间； （3）证明：由（2）知，当a=1 时， f （x）=sinx+ln（1x）在（ 0， 1）上单调递减， f （ x） f （0）=0，即 sinx ln， 而（ 0，1） ， ， 而=ln=ln2 ln2 e2， （n N *） 请考生在第22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B 铪笔在答题卡 上把所选题目对应的题号涂黑 22在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方 程为 sin 2=mcos （ m 0） ，过点 P（

37、2， 4）且倾斜角为 的直线 l 与曲线 C相交于 A，B两点 （1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）若 |AP| ?|BP|=|BA| 2，求 m的值 【考点】 Q4 ：简单曲线的极坐标方程 【分析】（1）曲线 C 的极坐标方程为sin 2=mcos （ m 0） ，即 2sin2=m cos（ m 0） ，利用互化 公式可得直角坐标方程过点P（ 2， 4）且倾斜角为的直线l 参数方程为：（ t 为参 数） 相减消去参数化为普通方程 （2）把直线l的方程代入曲线C 的方程为： t 2 （m+8 ）t+4 （m+8 ） =0由于 |AP| ?|BP|=|BA| 2，可得

38、|t 1?t2|=，化为： 5t1?t2=，利用根与系数的关系即可得出 【解答】解： （1）曲线 C的极坐标方程为sin 2=mcos （ m 0） ，即 2sin2=m cos（ m 0） ，可得 直角坐标方程： y 2 =mx （m 0） 过点 P（ 2， 4）且倾斜角为的直线 l 参数方程为：（t 为参数） . . 消去参数化为普通方程：y=x2 （2）把直线l 的方程代入曲线C的方程为： t 2 （m+8 ）t+4（ m+8 ）=0 则 t1+t2=（m+8 ） ，t1?t2=4（m+8 ） |AP| ?|BP|=|BA| 2， |t 1?t2|=，化为： 5t1?t2=， 20（m+

39、8 ）=2（m+8 ） 2， m 0，解得 m=2 23设不等式0 |x+2| |1 x| 2 的解集为 M ， a，bM （1）证明： |a+b| ； （2）比较 |4ab 1| 与 2|b a| 的大小，并说明理由 【考点】 R5 ：绝对值不等式的解法；72：不等式比较大小 【分析】（1）先求出M ，再利用绝对值不等式证明即可； （2）利用作差方法，比较|4ab 1| 与 2|b a| 的大小 【解答】（1）证明：记f （x）=|x+2| |1 x|=， 由 02x+12，解得x， M= （，） |a+b| |a|+|b|=； （2）解：由（ 1）可得 a 2 ， b 2 ， （ 4ab1） 24（ba）2=（4a2 1） （4b 21） 0， |4ab 1| 2|b a|