待定系数法PPT课件.ppt

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1、一般地一般地,在求一个函数时在求一个函数时,如果知道这个函如果知道这个函数的数的_,可先把所求函数写为可先把所求函数写为_,其中其中_,然后再根据然后再根据题设条件求出这些题设条件求出这些_.这种通过这种通过求求_来确定变量之间的关系的来确定变量之间的关系的方法叫做待定系数法方法叫做待定系数法.一般形式一般形式一般形式一般形式系数待定系数待定待定系数待定系数待定系数待定系数1.已知已知 ,且过且过(-2,4),则则k的值为的值为( )A.-4B.-8C.-2D.8解解: ,k=-8.故选故选B.( )kf xx42k2.已知一次函数已知一次函数f(x)=ax+b,它的图象经过它的图象经过(-1

2、,2),且它的斜率为且它的斜率为 ,则则a+b的值为的值为( )A.-1 B.1 C.3D.2解解:斜率为斜率为 ,a= ,f(x)的图象过的图象过(-1,2), ,a+b=3.52b 3.若二次函数若二次函数f(x)=x2+bx+c的顶点坐标为的顶点坐标为(2,-3),则则f(1)的值为的值为( )A.-1B.1 C.-2D.2解解: , 4+2b+c=-3, b=-4,c=1.f(x)=x2-4x+1,f(1)= -2.22b4.已知抛物线已知抛物线y=ax2与直线与直线y=kx+1交于两点交于两点,其中一交点坐标为其中一交点坐标为(1,4),则另一交点为则另一交点为( )A.(-1, )

3、 B.( , ) C.(- , )D.(- , )解解:(1,4)在在y=ax2上上,也在也在y=kx+1上上,a=4,k=3. 4x2-3x-1=0.x1=1,x2= - .抛物线与直线的另一交点为抛物线与直线的另一交点为(- , ).2y4xy3x11.待定系数法的定义待定系数法的定义: 一般地一般地,在求一个函数时在求一个函数时,如果知道这个函数的一般形式如果知道这个函数的一般形式,可先把所求的函可先把所求的函数写为一般形式数写为一般形式,其中系数待定其中系数待定,然后再根据题然后再根据题设条件求出这些待定系数设条件求出这些待定系数.这种通过求待定系数这种通过求待定系数来确定变量之间关系

4、的方法叫做待定系数法来确定变量之间关系的方法叫做待定系数法.2.待定系数法的应用待定系数法的应用: 利用待定系数法求正比例利用待定系数法求正比例函数函数,反比例函数反比例函数,一次函数一次函数,二次函数等的解析二次函数等的解析式所需的条件式所需的条件,如下表所示如下表所示.3.解题方法指导解题方法指导利用待定系数法解题的关键是根据已知正确地利用待定系数法解题的关键是根据已知正确地列出等式或方程列出等式或方程,主要从以下几个方面着手分主要从以下几个方面着手分析析:(1)利用对应系数相等列方程利用对应系数相等列方程;(2)由恒等的概念用数值代入法列方程由恒等的概念用数值代入法列方程;(3)利用定义

5、本身的属性列方程利用定义本身的属性列方程;(4)利用几何条件列方程利用几何条件列方程. 有的时候根据题意设立等式后有的时候根据题意设立等式后,为简化运算为简化运算, 回避繁复的解方程回避繁复的解方程(组组)过程过程,对等式中的某对等式中的某些待定系数的确定是依靠选择一些简单些待定系数的确定是依靠选择一些简单 特殊和便于运算的数值直接代入等式特殊和便于运算的数值直接代入等式,通常通常称为任意值法称为任意值法.例例1:已知已知f(x)是一次函数是一次函数,且满足且满足f(3x)+2f(2x+1)=7x-4,求求f(x).解解:本题用待定系数法求解本题用待定系数法求解.设设f(x)=ax+b(a0)

6、,则有则有 f(3x)+2f(2x+1)=3ax+b+2a(2x+1)+b =7ax+2a+3b=7x-4 a=1, b=-2, f(x)=x-2. 规律技巧规律技巧:设出一般形式设出一般形式y=ax+b(a0),再由已知条件去求待定系数再由已知条件去求待定系数a与与b值即值即可可.练练1:(1)已知已知f(x)是一次函数是一次函数, 且且ff(x)=4x-1, 求求f(x); (2)已知已知f(x)是二次函数是二次函数, 且满足且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x, 求求f(x).解解:(1)f(x)是一次函数是一次函数,设设f(x)=ax+b(a0),则则ff(x)=f(ax+

7、b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b,又又ff(x)=4x-1,a2x+ab+b=4x-1.即即 , 解得解得 f(x)=2x- 或或f(x)=-2x+1. 2a4abb1 213a2b1ab 或13 (2)f(x)是二次函数是二次函数, 设设f(x)=ax2+bx+c(a0).由由f(0)=1,得得c=1. 由由f(x+1)-f(x)=2x,得得 a(x+1)2+b(x+1)+1-ax2-bx-1=2x, 即即2ax+(a+b)=2x,由恒等式原理知由恒等式原理知f(x)=x2-x+1.2a2a1ab0b1 例例2:已知二次函数已知二次函数y=f(x)图象过图象过A(0,-5) B(5

8、,0)两点两点,它的对称轴为直线它的对称轴为直线x=2,求这个二次函数求这个二次函数的解析式的解析式.剖析剖析:因为函数中有三个未知量因为函数中有三个未知量a,b,c,这就需要这就需要列三个方程来求解列三个方程来求解.由题意得由题意得,图象过图象过A B两两点点,可代入原函数可代入原函数,再利用对称轴的条件再利用对称轴的条件,可设可设顶点式顶点式,也可设一般式求解也可设一般式求解.解解:解法解法1:由题给条件由题给条件,图象的对称轴为图象的对称轴为x=2,所以设函数的解析式为所以设函数的解析式为y=a(x-2)2+k.把把(0,-5) (5,0)代入上式得代入上式得解析式为解析式为y=(x-2

9、)2-9,即即y=x2-4x-5.54aka109akk9 解得 规律技巧规律技巧:用待定系数法求函数解析式的具体用待定系数法求函数解析式的具体做法是先根据题目中给出的函数类型设出解做法是先根据题目中给出的函数类型设出解析式的一般形式析式的一般形式,再由已知条件列方程或方再由已知条件列方程或方程组程组,然后解出待定系数即可然后解出待定系数即可.当已知函数的类型是二次函数当已知函数的类型是二次函数 一次函数一次函数 反反比例函数时比例函数时,可以设出所求函数的一般形式可以设出所求函数的一般形式,为为y=ax2+bx+c(a0) y=kx+b ,然后然后根据题设寻找恰当的条件把待定系数求出根据题设

10、寻找恰当的条件把待定系数求出.kyx练练2:已知二次函数已知二次函数f(x)满足满足f(1+x)=f(1-x),且且f(x)的最大值为的最大值为15,它的图象与它的图象与x轴两交点间的距离轴两交点间的距离为为 ,求求f(x)的解析式的解析式.10解解:f(1+x)=f(1-x),f(x)的对称轴为的对称轴为x=1.f(x)的最大值为的最大值为15,设设f(x)=a(x-1)2+15(a0).即即f(x)=ax2-2ax+a+15(a0,4m-2=0,m= .3.已知函数已知函数f(x)=ax2+bx+c(a0)是偶函数是偶函数,那么那么g(x)=ax3+bx2+cx是是( )A.奇函数奇函数

11、B.偶函数偶函数C.可能是奇函数也可能是偶函数可能是奇函数也可能是偶函数D.不是奇函数也不是偶函数不是奇函数也不是偶函数解解:f(x)是偶函数是偶函数,b=0.g(x)=ax3+cx, 故故g(x)是奇函数是奇函数. 4.f xf f xx,3()43433.3. 322m( )mxxxABCD若函数在定义域内恒有则 的值为5.已知已知f(x)=x2+1,g(x)是一次函数且是增是一次函数且是增函数函数,若若ff(x)=9x2+6x+2,则则g(x)的解的解析式为析式为( )A.g(x)=3x+2 B.g(x)=3x+1C.g(x)=3x-1 D.g(x)=-3x+1解解:设设g(x)=kx+

12、b,k0,则则ff(x)=(kx+b)2+1=9x2+6x+2,k2x2+2kbx+b2+1=9x2+6x+2.22k9k3k32kb6b1b1b12k0,k3,b1. 或6.函数函数f(x)=ax2+2x-3的图象与的图象与x轴有且轴有且只有一个交点只有一个交点,则则a的值为的值为( )1.30311.0.333ABCD或或或解解:当当a=0时时,f(x)=2x-3,满足图象与满足图象与x轴有轴有一个交点一个交点;当当a0时时,=4+12a=0,a= .综上综上a=0或或 .13137.若对于任意实数若对于任意实数x,有有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3,则则a

13、2的值为的值为_.解解:当当x=3时时,可得可得a0+a1+a2+a3=27, 当当x=1时时,a0-a1+a2-a3=1. a0+a2=14. 当当x=2时时,a0=8. a2=6.8.已知已知f(x)=ax2+bx+2=a(x+ )(x- )恒成立恒成立,求求a+b=_.13解解:f(x)=ax2+bx+2=ax2+ . , .a=-12, b=-2.a+b=-14.166aax 6ab 26a 9.已知二次函数已知二次函数f(x)=ax2+bx满足满足f(2)=0,且方程且方程f(x)=x有两个相等实根有两个相等实根.(1)求求f(x)的解析式的解析式;(2)求求f(x)的值域的值域.解

14、解:(1)f(2)=0,4a+2b=0, 又又f(x)=x有两个相等实根有两个相等实根,ax2+bx=x, ax2+(b-1)x=0,=(b-1)2-4a0=0, b=1代入代入,a=- , f(x)=- x2+x.(2)f(x)=- (x2-2x)=- (x-1)2+ .f(x)的值域为的值域为(-, . 10.定义在定义在-6,6上的奇函数上的奇函数f(x),在在0,3上为上为一次函数一次函数,在在3,6上为二次函数上为二次函数, 且且x3,6时时, f(x)f(5)=3,f(6)=2, 求求f(x).解解:当当x3,6时时,f(x)f(5)=3,可设可设f(x)=a(x-5)2+3.f(

15、6)=2,f(6)=a(6-5)2+3=2, 解得解得a=-1.f(x)=-(x-5)2+3, x3,6.f(3)=-(3-5)2+3=-1,即即x0,3和和x3,6时时, f(x)均过点均过点(3,-1).x0,3时时,f(x)为一次函数为一次函数,可设可设f(x)=kx+b.f(x)在在x-6,6上是奇函数上是奇函数,f(0)=0.b=0,即即f(x)=kx.11.已知已知a,b,cR,f(x)=ax2+bx+c.若若a0,且且f(x+2)=f(2-x),且方程且方程f(x)=0两实根的平方和为两实根的平方和为10,函数函数y=f(x)的图象过点的图象过点(0,3),求函数求函数y=f(x

16、)的解析式的解析式.解解:f(x+2)=f(2-x),函数函数f(x)的对称轴为的对称轴为 ,又又函数图象过点函数图象过点(0,3),c=3,设方程设方程f(x)=0的两根为的两根为x1,x2,则则x21+x22=(x1+x2)2-2x1x2= 由由得得a=1,b=-4,c=3,函数函数f(x)的解析式为的解析式为f(x)=x2-4x+322bxa 2210bcaa12.已知已知g(x)=-x2-3,f(x)是二次函数是二次函数,当当x-1,2时时,f(x)的最小值为的最小值为1,且且f(x)+g(x)为奇函数为奇函数,求函数求函数f(x)的表达式的表达式.解解:设设f(x)=ax2+bx+c(a0),则则f(x)+g(x)=(a-1)x2+bx+c-3,又又f(x)+g(x)为奇函数为奇函数,a=1,c=3,f(x)=x2+bx+3,对称轴对称轴x= ,当当 2时时,b-4,f(x)在在-1,2上为减函数上为减函数,f(x)的最小值为的最小值为f(2)=4+2b+3=1,b=-3,2b2b