初中数学复习 圆的对称性.doc

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1、专题18圆的对称性阅读与思考圆是一个对称图形首先，圆是一个轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆的对称轴有无数条；同时，圆又是一个中心对称图形，圆心就是对称中心，圆绕其圆心旋转任意角度，都能够与本身重合，这是圆特有的旋转不变性由圆的对称性引出了许多重要的定理：垂径定理及推论；在同圆或等圆中，圆心角、圆周角、弦、弦心距、弧之间的关系定理及推论这些性质在计算和证明线段相等、角相等、弧相等和弦相等等方面有广泛的应有一般方法是通过作辅助线构造直角三角形，常与勾股定理和解直角三角形相结合使用熟悉以下基本图形和以上基本结论我国战国时期科学家墨翟在墨经中写道：“圆，一中间长也”古代的美索不达米

2、亚人最先开始制造圆轮日、月、果实、圆木、车轮，人类认识圆、利用圆，圆的图形在人类文明的发展史上打下了深深的烙印例题与求解【例1】在半径为1的O中，弦AB，AC的长分别为和，则BAC度数为_（黑龙江省中考试题）解题思路：作出辅助线，解直角三角形，注AB与AC有不同位置关系由于对称性是圆的基本特性，因此，在解决圆的问题时，若把对称性充分体现出来，有利于圆的问题的解决【例2】如图，在三个等圆上各自有一条劣弧，如果+=，那么AB+CD与EF的大小关系是（）A B C D E F AAB+CD=EF BAB+CDEFCAB+CDAC，D为的中点，DEAB于E求证：BD2-AD2=ABAC （天津市竞赛试

3、题）解题思路：从化简待证式入手，将非常规几何问题的证明转化为常规几何题的证明 A B C D E 圆是最简单的封闭曲线，但解决圆的问题还要用到直线形的有关知识和方法同样，圆也为解决直线形问题提供了新的途径和方法，善于促成同圆或等圆中的弦、弦心距、弧、圆周角、圆心角之间相等或不等关系的互相转化，是解圆相关问题的重要技巧 【例5】在ABC中，M是AB上一点，且AM2+BM2+CM2=2AM+2BM+2CM3若P是线段AC上的一个动点，O是过P，M，C三点的圆，过P作PDAB交O于点D 求证：M是AB的中点； 求PD的长 （江苏省竞赛试题）解题思路：对于，运用配方法求出AM，BM，CM的长，由线段长

4、确定直线位置关系；对于，促成圆周角与弧、弦之间的转化 A P C D B M O 【例6】已知AD是O的直径，AB，AC是弦，且AB=ACA B C O 图1 D D A O E G F C B B A C D O E P F 图2 图3 如图1，求证：直径AD平分BAC； 如图2，若弦BC经过半径OA的中点E，F是的中点，G是的中点，O的半径为1，求弦FG的长； 如图3，在中若弦BC经过半径OA的中点E，P为劣弧上一动点，连结PA，PB，PD，PF，求证：的定值（武汉市调考试题）解题思路：对于，先证明BPA=DPF=300，BPD=600，这是解题的基础，由此可导出下列解题突破口的不同思路：

5、由BPA=DPF=300，构建直角三角形；构造PA+PF，PB+PD相关线段；取的中点M，连结PM，联想常规命题；等等本例实质是借用了下列问题：如图1，PA+PB=PH； 如图2，PA+PB=PH；进一步，如图3，若APB=，PH平分APB，则PA+PB=2PHcos为定值图1 A 600 300 300 P H B P A B H 600 图2 P A B H 图3 能力训练A级1圆的半径为5cm，其内接梯形的两底分别为6cm和8cm，则梯形的面积为_cm22如图，残破的轮片上，弓形的弦AB长是40cm，高CD是5cm，原轮片的直径是_cm A P B C （第4题图） 3 如图，已知CD为

6、半圆的直径，ABCD于B设AOB=，则tan=_ （黑龙江省中考试题）4如图，在RtABC中，C=900，AC=，BC=1，若BC=1，若以C为圆心，CB的长为半径的圆交AB于P，则AP=_. （江苏省宿迁市中考试题）5如图，AB是半圆O的直径，点P从点O出发，沿OABO的路径运动一周.设OP长为s，运动时间为t，则下列图形能大致地刻画s与t之间的关系是（ ）t s O A t s O B t s O C t s O D （太原市中考试题）6如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，AB=10cm，CD=6cm，那么AC的长为（ ）A0.5cm B1cm C1.5cm

7、D2cm（第8题图） （第7题图） A B O C D A E C D F B A B C D F E P （第6题图） 7如图，AB为O的直径，CD是弦若AB=10cm，CD=8cm，那么A，B两点到直线CD的距离之和为（）A12cm B10cm C8cm D6cm8如图，半径为2的O中，弦AB与弦CD垂直相交于点P，连结OP若OP=1，求AB2+CD2的值 （黑龙江省竞赛试题）9如图，AM是O的直径，过O上一点B作BNAM于N，其延长线交O于点C，弦CD交AM于点E 如果CDAB，求证：EN=NM； 如果弦CD交AB于点F，且CD=AB，求证：CE2=EFED； 如果弦CD，AB的延长线交

8、于点F，且CD=AB，那么的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由 （重庆市中考试题） A B C D O E F M （第9题图） 10如图，O的内接四边形ABMC中，ABAC，M是的中点，MHAB于点H求证：BH=（AB-AC） （河南省竞赛试题） A H B M C （第10题图） 11如图1，圆内接ABC中，AB=BC=CA，OD，OE为O的半径，ODBC于点F，OEAC于点G求证：阴影部分四边形OFCG的面积是ABC面积的如图2，若DOE保持角度不变，求证：当DOE绕着O点旋转时，由两条半径和ABC的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是ABC的面积的 12如图，正

9、方形ABCD的顶点A，D和正方形JKLM的顶点K，L在一个以5为半径的O上，点J，M在线段BC上若正方形ABCD的边长为6，求正方形JKLM的边长 （上海市竞赛试题） A D C B N O J M K L （第12题图） B级1如图，AB是O的直径，CD是弦，过A，B两点作CD的垂线，垂足分别为E，F若AB=10，AE=3，BF=5，则EC=_ O A E C D F B A B C D E A A B C D P O （第1题图） （第2题图） （第3题图） 2如图，把正三角形ABC的外接圆对折，使点A落在的中点A上，若BC=5，则折痕在ABC内的部分DE长为_ （宁波市中考试题）3如图，

10、已知O的半径为R，C，D是直径AB同侧圆周上的两点，的度数为960，的度数为360动点P在AB上，则CP+PD的最小值为_（陕西省竞赛试题）4如图，用3个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径是（） A B C D5如图，AB是半圆O的直径，C是半圆圆周上一点，M是的中点，MNAB于N，则有（） AMN=ACBMN=ACCMN=ACDMN=AC（武汉市选拔赛试题）C A D O B E G F N A C B D O P （第7题图） （第6题图） 6已知，AB为O的直径，D为的中点，DEAB于点E，且DE=3求AC的长度7如图，已知四边形ABCD内接于直径为3的O；

11、对角线AC是直径，对角线AC和BD的交点为P，AB=BD，且PC=0.6，求四边形ABCD的周长（全国初中数学联赛试题）8如图，已知点A，B，C，D顺次在O上，BMAC于M求证：AM=DC+CM （江苏省竞赛试题） A B C D O M （第8题图） 9如图，在直角坐体系中，点B，C在x轴的负半轴上，点A在y轴的负半轴上，以AC为直径的圆与AB的延长线交于点D，如果AB=10，AOBO，且AO，BO是x的二次方程的两个根 求点D的坐标； 若点P在直径AC上，且AP=AC，判断点(2，10)是否在过D，P两点的直线上，并说明理由 （河南省中考试题） A x y O D C B P （第9题图）

12、 10如图1，已知PA，PB为O的弦，C是劣弧的中点，直线CDPA于点E，求证：AE=PE+PB如图2，已知PA，PB为O的弦，C是优弧的中点，直线CDPA于点E，问：AE，PE与PB之间存在怎样的等量关系？写出并证明你的结论 A 图1 C P B D E O A 图2 C P B D E O 11如图，已知弦CD垂直于O的直径AB于L，弦AE平分半径OC于H求证：弦DE平分弦BC于M (全俄奥林匹克竞赛试题) A C O L E B D M H （第11题图） 12如图，在ABC中，D为AC边上一点，且AD=DC+CB，过D作AC的垂线交ABC的外接圆于M，过M作AB的垂线MN，交圆于N求证：MN为ABC外接圆的直径A C M N O D B （第12题图）