2022年兴化市板桥初级中学中考第二轮专题复习第五讲开放型问题 .pdf

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1、学习必备欢迎下载中考数学中的开放型问题开放探索性试题在中考中越来越受到重视，由于条件与结论的不确定性，使得解题的方法与答案呈多样性，学生犹如八仙过海，各显神通。探索性问题的特点是：问题一般没有明确的结论，没有固定的形式和方法，需要自己通过观察、 分析、 比较、 概括、 推理、 判断等探索活动来确定所需求的结论或条件或方法，这类题主要考查学生分析问题和解决问题的能力和创新意识。这类题对同学们的综合素质要求比较高，这类题往往作为中考试卷中的压轴题出现，在中考中所占比例在9左右。条件开放与探索给出问题的结论，让解题者分析探索使结论成立应具备的条件，而满足结论的条件往往不惟一，这样的问题是条件开放性问

2、题。它要求解题者善于从问题的结论出发，逆向追索，多途寻因。例 1 已知 ABC 内接于 O，当点 O 与 AB 有怎样的位置关系时，ACB 是直角？在满足的条件下，过点C 作直线交AB 于 D，当 CD 与 AB 有什么样的关系时，ABC CBD ACD？画出符合、题意的两种图形，使图形的CD2cm。解析 ：要使 ACB90 ，弦 AB 必须是直径， 即 O 应是 AB 的中点； 当 CDAB时，结论成立；由知DBADCD2，即422DBAD，可作直径AB 为 5 的O，在 AB 上取一点 D，使 AD 1，BD4，过 D 作 CDAB 交 O 于 C 点，连结 AC 、BC，即得所求。当点

3、O 在 AB 上（即 O 为 AB 的中点）时，ACB 是直角； ACB 是直角，当CDAB 时， ABC CBD ACD；作直径AB 为 5 的 O，在 AB 上取一点D，使 AD1，BD=4，过 D 点作 CDAB交 O 于 C 点，连结 AC、BC，即为所求（如下图所示）。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 25 页学习必备欢迎下载评注 ：本题是一个简单的几何条件探索题，它突破了过去“ 假设 求证 ” 的封闭式论证， 而是给出问题的结论，逆求结论成立的条件，强化了对学生通过观察、分析、 猜想、推理、判断等探索活动的要求

4、。看似平常，实际上非常精彩。例 2（鄂州市中考题）如图，E、D 是 ABC 中 BC 边上的两点，ADAE，要证明 ABE ACD ，还应补充什么条件？解析 ：这是一道条件开放题，解题关键是由AD AE，可以得出 1 2，这样要证明三角形全等就已经具备了两个条件。在 ABE 和 ACD 中只需要再有一个条件，即可证明ABE ACD。于是可补充以下条件之一：BECD（SAS ）BDCE（此时 BE CD） BAE CAD（ASA） BAD CAE（此时 BAE CAD） B C（AAS）ABAC（此时 B C） ，评注 ：本题应充分利用已掌握的知识，从多个角度去思考、分析，并大胆猜想，寻求尽可能

5、多的方法。例 3 （北京市东城区）在ABC 与 A/B/C/中， A=A/，CD 和 C/D/分别为AB边和 A/B/边上的中线，再从以下三个条件：AB=A/B/；AC=A/C/； CD=C/D/中任取两个为题设，另一个为结论，则最多可以构成_个正确的命题。解析 ：根据题意，需分情况构造命题，再判断命题的真假性。若 A=A/，AB=A/B/，AC=A/C/，则得 ABC A/B/C/（SAS） ， CD=C/D/（全等O A B C O A B C D 1 4 A B D E C 1 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共

6、25 页学习必备欢迎下载三角形对应线段相等） ，可以构成真命题。当 A= A/， AB=A/B/， CD=C/D/时， 不能推得 ABC 与 A/B/C/， 或 ADC 与 A/D/C/全等， AC 与 A/C/不一定相等。同理，当A= A/， AC=A/C/，CD=C/D/时，也不能证明AB=A/B/成立。真命题只有1 个。评注 ：本题是探索性问题颇具新意的一例，本题需在分类构造命题的基础上，对命题的真假性给出判断，以一种新的方式突出了对考生推理、思维能力的考查，题目新颖，问题开放，贴近基础。例 4在四边形ABCD 中，AC 与 BD 相交于点O，如果只给出条件“ ABCD” ，那么还不能判

7、定四边形ABCD 为平行四边形，给出以下6 个说法：如果再加上条件“ ADBC” ，那么四边形ABCD 一定是平行四边形；如果再加上条件“ ABCD” ，那么四边形ABCD 一定是平行四边形；如果再加上条件“ DAB DCB ” ，那么四边形ABCD 一定是平行四边形；如果再加上条件“ BCAD” ，那么四边形ABCD 一定是平行四边形；如果再加上条件“ AOCO” ，那么四边形ABCD 一定是平行四边形；如果再加上条件“ DBA CAB” ，那么四边形ABCD 一定是平行四边形；其中正确的说法有（）A3 个B4 个C5 个D6 个解析 ：本题主要考查平行四边形的判定，但命题者别出心裁设计了一

8、道给出结论和部分条件，让考生探索附加条件的各种可能性的开放型试题，解答这类选择题，一定要严格按照平行四边形的定义及判定定理，认真考查给出的6 种说法。说法符合平行四边形的定义；说法符合平行四边形的判定定理4；说法由ABCD 和 DAB DCB，可判断出ABCD 或 ADBC，也正确；说法可举出等腰梯形反例；说法能证出BOCO，符合平行四边形的判定定理；说法不符合平行四边形的判定定理。应选 B。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 25 页学习必备欢迎下载评注 ：这是一道确定以附加条件为目的的开放型试题，命题者编拟此题，旨在让考

9、生殊途同归，起到归纳总结之作用。题型设计与能力训练 1 （安徽省中考题）一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解均是42yx和42yx, 试写出符合要求的方程组(只要填写一个即可)。2 （乌鲁木齐中考题）已知： AB 是 O 的直径， 弦 CD 与 AB 相交于 E，若使 CB=BD,则还需要添加什么条件_（填出一个即可） 。3如图， P 是四边形 ABCD 的 DC 边上的一个动点，当四边形ABCD 满足条件：时， PBA 的面积始终保持不变。 （注：只需填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形）。4 （安徽省中考题）已知242axx在整数范围内可以分解因式，则

10、整数a的值是_ （只需填一个） 。5如左图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形。使三角形的三边长分别为3、22、5（在图中画一个即可）；使三角形为钝角三角形且面积为4（在图中画一个即可）。6 （江西省中考题）如图，已知ABC 内接于 O，AE 切O 于点 A，BCAE，求证： ABC 是等腰三角形；设 AB10cm，BC8cm，点 P 是射线 AE 上的点，若以A、P、C 为顶点的三角形与ABC 相似，问这样的点有几个？并求AP 的长7如图，已知ABC，P 是 AB 边上一点，连结CP。D P A C B O A B C E A B

11、 C P 图图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 25 页学习必备欢迎下载 ACP 满足什么条件时，ACPABC? ACAP 满足什么条件时，ACPABC？答案与提示 182xyxy，4222xxyxy，2ABCD 或 CA=DA 3DCAB 或 ADBC 且 ADBC 4 23、 10、 5、 2 5如图所示6略设 P点在 AE上， 且所作的 ACP与 ABC 相似， 由已知 AEBC， 则 CAE ACB，关键在寻找第二个相等的角，过点C 作 O 的切线交 AE 于 P1，即有 AC P1 B，过点C 作 AB 的平行线

12、交AE 于 P2，即有 AC P2 BAC，则 A P1C、A P2C 都与 ABC 相似，这样的点有2 个，即 P1，P2两点，且A P1450，A P28。7 从图中可以看出A PC 与 ABC 中 A A， 根据相似三角形判定定理，只需 ACP B，或 AC APABAC，就有 A CP ABC。 A A，当 AC P B 时， A CP ABC。 A A，当 ACAPABAC 时， A CP ABC。注意：探究过程要克服思维定势，逆向思考应具发散性，所寻求的条件往往不止一种，探究过程要防止漏掉某种情形。结论开放与探索给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论，并且符合条件的结论往往

13、呈现多样性，或者相应的结论的“ 存在性 ” 需要解题者进行推断，甚至要求解题者探求条件在变精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 25 页学习必备欢迎下载化中的结论，这些问题都是结论开放性问题。它要求解题者充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论，这类题主要考查解题者的发散性思维和所学基本知识的应用能力。例 1 （吉林省中考题）将两块完全相同的等腰直角三角形摆成如图的样子，假设图形中的所有点、线都在同一平面内，回答下列问题：图中共有多少个三角形？把它们一一写出来；图中有相似（不包括全等）三角形吗？如果有，就把它们一一

14、写出来。解析 ：先看 ABC 中，一一数来共有6 个三角形，再加上AFG，共七个三角形；由于 DAE B C45 ， ADE B 145 1 BAE，同理 AEDCAD，可得出 ADE BAE CDA。共有七个三角形，它们是：ABD、 ABE、 ABC、 ADE、 ADC、 AEC、 AFG。有相似三角形，它们是：ADE BAE， BAE CDA， ADE CDA（或 ADE BAE CDA ） 。评注 ：本题为考生提供了广阔的探究空间，通过分析、判断，有利于学生创新意识的形成和思维能力的培养。例 2如图， O 的弦 AB、CD 的延长线相交于点E。请你根据上述条件，写出一个正确的结论（所写的

15、结论不能自行再添加新的线段及标注其他字母），并给出证明（证明时允许自行添加辅助线）。解析 ：根据图形易得以下结论：EDECEBEA； ACBC； AEDE；可以得出的结论及证明如下：EDECEBEAA B C D E F G 1 2 O A B E D C 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 25 页学习必备欢迎下载如图连结AD、 BC， A C， E E， AED CEBEBEDCEAE，即EDECEBEAACBC；如图，连结AD ， 1 是 ADE 的外角， A 是 ADE 的内角 A 1 1 所对的弧是AC， A

16、所对的弧是BD，ACBC；AEDE。证法一：如图，连结AD、BD、BC。 2 是 BCD 的外角， C 是 BCD 的内角， 2 C。而 ADE 2， C A，在 ADE 中， ADE A。 AE DE 证法二： EA EBEA2，ED EC ED2，而 EA EB ED ECEA2ED2，即 EAED。评注 ：这是一道以探索结论为目的的开放型试题，它不限结论，而是让考生根据条件去探索结论。因此，这类考题对开阔视野、启迪智慧、培养发散思维能力大有好处。例 3（北京市东城区中考题）有一个二次函数的图象，三位学生分别说出它们的一些特点：甲：对称轴是4x；乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y

17、轴交点的纵坐标也是整数，且以三个交点为顶点的三角形面积为3。请你写出满足上述全部特点的一个二次函数的解析式：_。解析 ：此题是一道结论开放型试题，题目条件已确定，而所要求的结论不惟一。本题以二次函数基本知识的掌握，同时也考查了学生发散思维的能力和数形结合的思想。由二次函数图象的对称性及已知条件不难分析得出，若与x轴两个交点的坐标分别是（3， 0） ，O C D B E A 1 O A B E D C 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 25 页学习必备欢迎下载（5， 0） ， 则与y轴交点为 （0， 3） 或 （0，3）

18、 ， 此时二次函数的解析式为358512xxy或358512xxy；若与x轴两个交点的坐标分别是（1，0） ， （7，0） ，则与y轴交点 为 （ 0 ， 1 ） 或 （ 0 ，1） ， 此 时 二 次 函 数 的 解 析 式 为178712xxy或178712xxy，只要得出一个答案即可。例 4关于x的方程02) 15(22kxkx，是否存在负数k，使方程的两个实数根的倒数和等于4？若存在，求出满足条件的k的值；若不存在，说明理由。解析 ：先假设存在有满足条件的k值，利用一元二次方程根与系数的关系，结合题意得出关于k的方程。若能求出符合题意的k值，则k存在，否则k不存在。设方程的两个实数根是

19、1x，2x，由根与系数的关系，得1521kxx，2221kxx由题意得411212121xxxxxx。42152kk09542kk又k0，k1，此时 200 成立，k1。例 5（淮安市中考题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线)85(31)25(2122mxmmxy的对称轴为21x，设抛物线与y轴交于 A 点，与x轴交于 B、C 两点（B 点在 C 点的左边），锐角 ABC 的高 BE 交 AO 于点 H。求抛物线的解析式；在中抛物线上是否存在点P， 使 BP将 ABH 的面积分成13两部分？如果存在，求出 P 点的坐标；如果不存在，请说明理由。解析 ：略；解本题的方法是先假设这样的抛物线存

20、在，然后根据题中的条件进行求解。抛物线的解析式为621212xxy；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 25 页学习必备欢迎下载令0y，即0621212xx，得41x，32xA(0，6)，B(4，0)，C(3， 0)，由题意，有RtBHORt ACO，得AOBOOCOH，即643OH，2OH，故4OHOAAH。假设在抛物线上存在点P，使 BP 将 ABH 的面积分成13 两部分， 则 BP 必过点 (0，5)或(0，3)。当 BP 过点 (4，0)和(0，5)时，设 BP 的解析式为bkxy，则504bbk，解得545bk，

21、545xy。由621215452xxyxy解得0411yx，8452122yx， P 点坐标为 (21，845) 当 BP 过点 (4，0)和(0，3)时，设BP 的解析式为bkxy，则304bbk，解得343bk， 343xy。 由621213432xxyxy解得0411yx，8332322yx，P点坐标为 (23，833) 故抛物线上存在两点1P(21，845)，2P(23，833)，使 BP 分 ABH 的面积为13。评注 ：探索存在性问题的基本思路是，可先假设结论存在或成立，以此为前提进行运算或推理，若推出矛盾可否定假设，否则给出肯定的证明。例 6（湖北黄冈中考题）已知：如图，AB C

22、D，CDBD，垂足分别为B、D， AD 和 BC 相交于点E，EFBD，垂足为F，我们可以证明EFCDAB111成立（不要求考生证明）。A B F E C D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 25 页学习必备欢迎下载若将图中的垂直改为斜交，如图，ABCD，AD、BC 相交于点E，过点 E 作 EFAB，交 BD 于点 F，则：EFCDAB111还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；请找出SABD、 SBCD和 SBED间的关系式，并给出证明。解析 ：右图所表示的是一般情况，在探索结论的过程中，应设法将之

23、转化为上图这样的特殊情况，故可过A、E、C 点作 BD 的垂线。EFCDAB111仍成立。证明：过点A、E、C 点作 BD 的垂线，交BD 或其延长线于点M、N、K。易证 RtABMRt EFNRtCDK 。ABEFCD=AMENCK。由题设ENCKAM111，知EFCDAB111成立。由题设ENCKAM111，ENBDCKBDAMBD222；即ENBDCKBDAMBD211211211；又 AMBD21SABD ，CKBD21SBCD ，ENBD21SBED 。BEDBCDABDSSS111。评注 ：本题从特殊情形入手，通过图形的变换，寻找数量上的内在规律，颇具新意。例 7（福州市中考题）已

24、知ABC 中，AB=5，BC=3，AC=4，PQAB，P 点在 AC上（与点 A、C 不重合），Q 点在 BC 上。当 PQC 的面积与四边形PABQ 的面积相等时，求CP 的长；当 PQC 的周长与四边形PABQ 的周长相等时，求CP 的长；A B M F N E C K D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 25 页学习必备欢迎下载试问， 在 AB 上是否存在点M，使得 PQM 为等腰直角三角形？若不存在，请说明理由；若存在，请求出PQ 的长；解析 ：本题是纯几何探索性问题，解这类题时，是先假设结论存在。若从已知条件

25、和定义、定理出发，进行推理或计算得出相应的结论，则结论确实存在；若推证出矛盾或计算无解，则结论不存在。、略。如图， PQM 为等腰直角三角形可能有两种情况：由右图假设，MPN90 ，PMPQ 时，由勾股定理逆定理则得C90 。 ABC 的 AB 上的高为512。设 PMPQx， PQAB， CPQ CAB。5125125xx，解之得3760 x，即3760PQ。当 MQP90 ，QPQM 时，同理得3760PQ。由右图，假设PMQ90 ，MPMQ 时，M 到 PQ 的距离为21PQ。设 PQx， PQAB， CPQ CAB。512215125xx，解之得49120 x，即49120PQ。综上所

26、述，在AB 上存在点M，使 PQM 为等腰直角三角形。评注 ：“ 存在性 ” 探索题，往往与传统的综合题相结合，来加大对考生分析、探索能力的考查，这类问题的情景新颖，富有挑战性，是启迪智慧的好素材。A B C P Q M N A B C P Q M 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 25 页学习必备欢迎下载题型设计与能力训练 1 （广西中考题）如图，OE、OF 分别是 O 的弦 AB、CD 的弦心距，如果OE=OF，那么 _（只需写出一个正确的结论）。2 （新疆乌鲁木齐市中考题）如图，已知等腰ABC 中，A=21 C，底

27、边 BC 为 O 的直径，两腰AB、AC 分别与O 交于点 D、 E，有下列序号的四个结论：AD=AE； DE BC； A=CBE； BEAC。其中结论正确的序号是_。注：把你认为正确结论的序号都填上。3 （江苏徐州市中考题）如图，在直角坐标系中，第一次将OAB 变换成 OA1B1，第二次将 OA1B1变换成 OA2B2，第三次将 OA2B2变换成 OA3B3。已知 A(1，3)，A1(2， 3)，A2(4，3)，A3(8，3)，B(2，0)，B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)。观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律再将OA3B3变换成 OA4B4，则 A4的坐

28、标是_，B4的坐标是 _。若按题找到的规律将OAB 进行了n次变换，得到的OAnBn，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推出An的坐标是_ ， Bn的坐标是_。4 （河北省中考题）在ABC 中， D 为 BC 边的中点， E 为 AC 边上任意一点，BE 交AD 于点 O，某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：当11121ACAE时，有12232ADAO（如图 1） ；当21131ACAE时，有22242ADAO（如图 2） ；O B A E F D C O A B C E D O yxA A1 A2 A3 B3 B2 B1 B精选学习资料 - - - - - - - - -

29、 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 25 页学习必备欢迎下载图 4草草当31141ACAE时，有32252ADAO（如图 3） ；在图 4 中，当nACAE11时，参照上述研究结论，请你猜想用n表示ADAO的一般结论，并给出证明（其中n是正整数）。5 （河北省中考题）图形的操作过程（本题中四个矩形的水平方向的边长均为a，竖直方向的边长均为b） ：在图 1中，将线段A1A2向右移 1个单位到B1B2，得到封闭图形A1A2B1B2（即阴影部分） ；在图 2中，将折线A1A2A3向右移 1 个单位到 B1B2B3，得到封闭图形A1A2A3B1B2B3（即阴影部分） ；在图 3

30、 中，请你类似地面一条有两个折点的折线，同样向右平移1 个单位，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影。请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：1S_，2S _，3S_；联想与探索：如图 4，在一块矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路A B C D 图 3 O E A B C D 图 2 O E A B C D 图 1 O E A B C D 图 4 O E F A1 B1 A2 B2 图 1B2 B1 B3 A1 A2 A3 图 2图 3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 25 页学习必备欢迎下载（小路任何地

31、方的水平宽度都是1 个单位），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少？并说明你的猜想是正确的。6 （山东淄博市中考题）如图，点E 是四边形ABCD的对角线BD 上一点，且BAC=BDC=DAE。求证：AECDADBE；根据图形的特点，猜想DEBC可能等于哪两条线段的比（注：只需写出图中已有线段的一组比即可）？并证明你的猜想。7 （福建福州市中考题）如图，已知ABC 中， AB=4，D 在 AB 边上移动（不与A、B 重合），DEBC 交 AC 于 E，连结 CD。设 SABC=S，SDEC=S1。当 D 为 AB 中点时，求S1S的值；若 AD =x，ySS1，求y关于x的函数关系式及自变量x的

32、取值范围；是否存在点D，使得 S1S41成立？若存在，求出点D 位置；若不存在，请说明理由。8 （辽宁省中考题）已知：如图，AB 是 O 的直径， C 是 O 上一点，连结AC，过C 点作直线CDAB 于 D（ADDB） ，点 E 是 DB 上任意一点（点 D、 B除外），直线 CE 交 O 于点 F，连结 AF 与直线 CD 交于点 G。求证：AFAGAC2；若点 E 是 AD（点 A 除外）上任意一点，上述结论是否仍然成立？若成立，请画出图形并给予证明；若不成立，请说明理由。A E D C B A B C D E O A C F B E D G 精选学习资料 - - - - - - - -

33、 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 25 页学习必备欢迎下载9 （重庆市中考题）如图，AM 是 O 的直径，过O 上一点 B 作 BNAM，垂足为N，其延长线交O 于点 C，弦 CD 交 AM 于点 E。如果 CDAB，求证： ENNM；如果弦CD 交于 AB 点 F，且 CD AB，求证： CE2EF ED；如果弦CD、 AB 的延长线交于点F，且 CDAB，那么的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。10 （山西太原中考题）操作并观察：如图1，两个半径为r的等圆 O1与 O2外切于点 P。将三角板的直角顶点放在点P，再将三角形绕点P 旋转，使三角

34、板的两直角边中的一边P A 与 O1相交于 A，另一边PB 与 O2相交于点B（转动中直角边与两圆都不相切）。在转动过程中，线段AB 的长与半径r之间有什么关系？请回答并证明你得到的结论；如图 2，设 O1与 O2外切于点P，半径分别为1r、2r(1r2r)，重复中的操作过程，观察线段AB 的长度与1r、2r之间有怎样的关系，并说明理由。11 （北京市中考题） 已知：抛物线taxaxy42与x轴的一个交点为A(1，0)。求抛物线与x轴的另一个交点B 的坐标；D 是抛物线与y轴的交点， C 是抛物线上的一点，且以AB 为一底的梯形ABCD 的面积为 9，求此抛物线的解析式；E 是第二象限内到x轴

35、、y轴的距离的比为52 的点，如果点E 在中的抛物上，且它与点A 在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使 APE的周长最小？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。O E F D B N M C A O1 P A B O2 图 2 O1 O2 A B P 图 1 1 2 3 4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 25 页学习必备欢迎下载12 （江苏无锡市中考题）已知抛物线cbxaxy2（a0）x轴交于 A、B 两点，点 A 在x轴的负半轴上，点 B 在x轴的正半轴上， 又此抛物线交y轴于点

36、 C，连 AC、BC，且满足 OAC 的面积与 OBC 的面积之差等于两线段OA 与 OB 的积（即SOACSOBC= OA OB） 。求b的值；若 tanCAB=21，抛物线的顶点为点P，是否存在这样的抛物线，使得P AB 的外接圆半径为413？若存在，求出这样的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由。13 （山西省中考题）如图，已知圆心A（0，3） ，A 与x轴相切， B 的圆心在x轴的正半轴上，且B 与 A 外切于点P，两圆的公切线MP 交y轴于点 M，交x轴于点 N。若54sinOAB，求直线MP 的解析式及经过M、N、B 三点的抛物线的解析式。若 A 的位置大小不变，B 的圆心在x轴的

37、正半轴上移动，并使B 与 A 始终外切，过M 作 B 的切线 MC，切点为 C。在此变化过程中探究：四边形 OMCB 是什么四边形，对你的结论加以证明；经过 M、N、B 三点的抛物线内是否存在以BN 为腰的等腰三角形？若存在，表示出来；若不存在，说明理由。答案与提示 1AB=CD 或 AB=CD；2、；3 OAB 在变换中， A、B 点的纵坐标保持不变，横坐标按2 倍递增， A4(16，3)，B4(32，0)。按此规律，显然An(n2，3)，Bn(12n，0)。4依题意可猜想：当nACAE11时，有nADAO22成立。y x N M P O B A C 精选学习资料 - - - - - - -

38、 - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 25 页学习必备欢迎下载过点 D 作 DFBC 交 AC 于点 F， D 为 BC 边的中点， F 是 EC 的中点由nACAE11，可知nECAE1。nEFAE2，nAFAE22，nAFAEADAO22。5画图（要求对应点在水平位置上，宽度保持一致）。bab，bab，bab。猜想： 依据前面的有关计算，可以猜想草地的面积仍然是bab。方案： 将 “ 小路 ”沿着左右两个边界“ 剪去 ” ；将左侧的草地向右平移一个单位；得到一个新的矩形（如图） 。理由略。6 证 ABE ACD ； ADACDEBC( 或AEAB) 。 先 证

39、 ABE ACD ， 再 证BAC EAD。7411SS；xxy411612（0 x4） ；不存在点D，使得 S1S41成立。8延长线CG 交于 O 于 H，易证 ACG AFC；当点 E 是 AD（点 A 除外）上任意一点时，上述结论仍成立。证略。9连结BM，先证 ECN MBN，再证 RtCENRt BMN。连结 BD、BE、AC，先证 ABE ACE，再证 BED FEB。结论成立，仿可证之。10连结 O1A，O1B， O1O2。 O1与 O2相切于点P，点 P 在 O1O2上。 APB90 ， 2 490 。 1 2， 3 4， O1 O2180 ， O1AO2B。又 O1与 O2的半

40、径均为r，四边形O1AB O2是平行四边形。ABO1O2r2。连结 O1A，O1O2，O2B，同可证 O1AO2B。过点 B 作 BCO1 O2，交 O1A 于点 C。草草精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 25 页学习必备欢迎下载在 ACB 中，21rrBC，21rrAC。由三角形三边关系，得ACBCABBCAC。22rAB12r。11 B（3，0） ；342xxy或342xxy；存在点P（2，21） ，使 APE 的周长最小。12解：设 A（1x，0） 、B(2x，0)，由题设可求得C 点的坐标为（ 0，c） ，且1x

41、0，2x0，a0，c0 由 SAOCSBOCOA OB 得：21212121xxcxcx得：acabc)(21得：2b设抛物线的对称轴与x轴交于点M，与 PAB 的外接圆交于点N， tanCAB=21，cOCOA22， A 点的坐标为（c2，0） A 点在抛物线上，cx2，0y代入cxaxy22，得ca45又 1x、2x为方程022cxax的两根，aabxx221，即：caxc58222cx522B 点的坐标为（c52，0） ，顶点 P 的坐标为（c54，c59）由相交弦定理得：AM BM=PM MN又 cAB512， AM=BM=c56，PM=c59)59213(59)56(2ccc， 25

42、c，21a所求的抛物线的函数解析式是：252212xxy13在 RtAOB 中， OA=3，sinOAB=54，P A M N O C B y x 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 25 页学习必备欢迎下载 cosOAB=53， AB=5，OB=4，BP=53=2。在 RtAPM 中，AMAP=cosOAB=53，AM=5，OM=2，点 M（ 0， 2）又 NPM AOBOBABBPBN25425BN23254BNOBON点 N（23，0）设 MP 的解析式为bkxy， MP 经过 M、N 两点，得0232bkb，解之，

43、得342kb MP 的解析式为234xy。设过 M、 N、 B 的抛物线解析式为)4)(23(xxay， 且点 M （0，2） ， 可得31a。抛物线的解析式为)4)(23(31xxy，即2611312xxy。四边形OMCB 是矩形。证明：在 A 不动、 B 运动变化过程中，恒有 BAO MAP，OAOP， AOB APM90 ， AOB APM。 OBPM，ABAM。 PBOM。而 PBBC，OMBC。由切线长定理知MCMP， MC=OB。四边形MOBC 是平行四边形。又 MOB 90 ，四边形 MOBC 是矩形。存在。由上述证明可知Rt MONRtBPN， BN MN。因此在过M、N、B

44、三点的抛物线内有以BN 为腰的等腰三角形MNB 存在。由抛物线的轴对称性可知，在抛物线上必有一点M与 M 关于其对称轴对称， BNB M。 这样得到满足条件的三角形有两个，MNB 和 M NB。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 25 页学习必备欢迎下载策略开放与探索策略开放性问题，一般指解题方法不惟一或解题路径不明确的问题，这类问题要求解题者不墨守成规，善于标新立异，积极发散思维，优化解题方案和过程。例 1 （乌鲁木齐中考题）如图，已知在ABC 中， ABAC，ADBC 于 D，且 ADBC4。若将此三角形沿AD 剪开成

45、为两个三角形，在平面上把这两个三角形拼成一个四边形，你能拼出所有的不同形状的四边形吗？画出所拼四边形的示意图（标出图中的直角） ，并分别写出所拼四边形的对角线的长（不要求写计算过程，只需写出结果）。解析 ：经过适当拼合可以组成以下四种不同形状的四边形。矩形（如图1） ：此时两条对角线的长相等，均为52；平行四边形（如图2） ：此时两条对角线的长分别为4 和24；平行四边形（如图3） ：此时两条对角线的长分别为2和172；四边形（如图4） ：此时两条对角线的长分别为52和558；评注 ：这是一道集开放探索、操作应用于一体的试题，既可考查学生的探索能力，又可锻炼学生的动手操作能力，是一道难得的好题

46、。例 2（湖北黄冈中考题）在一服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角布料。现找出其中的一种，测得C90 ，AC BC4，今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具，使扇形的边缘半径恰好都在ABC 的边上， 且扇形的弧与ABC 的其A B C D 剪开2 4 图 1 2 4 图 2 2 4 图 3 2 2 4 4 图 4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 25 页学习必备欢迎下载他边相切。请设计出所有符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径（只要求画出扇形，并直接写出扇形半径） 。解析 ：根据题意，可考虑圆心在顶点

47、和直角边、斜边上，设计出符合题意的方案示意图。可以设计如下图的四种方案：评注 ：本题要求设计出符合题意的方案示意图，因此， 在分类讨论时要做到不重复、不遗漏，特别是圆心在顶点上的两种情况不能遗漏，这是一道考查思维广阔性与周密性的好题。例 3 （吉林省中考题）已知反比例函数xky2和一次函数12xy，其中一次函数的图象经过（a，b） ， （1a，kb）两点。求反比例函数的解析式；如图，已知点A 在第一象限，且同时在上述两个函数的图象上，求A 点的坐标；利用的结果，请问：在x轴上是否存在点P，使 AOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的P 点坐标都求出来；若不存在，请说明理由。解析 ：易求xy1；

48、 A 点的坐标为（ 1，1） ；讨论 OA 为腰、为底时，得出P 点的坐标。A C B B C A B B C C A A x y O A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 25 页学习必备欢迎下载OA21122，OA 与x轴所夹的锐角为45 。当 OA 为腰时，由OA=OP，得 P1(2，0)， P2(2，0)；由 OA=AP，得 P3（2，0） ；当 OA 为底时，得P4（1，0） 。这样的点有4 个，分别是 (2，0)， (2，0)， （2，0） ， （1，0） 。评注 ：第小题是一个“ 存在性 ” 问题，也是一个

49、分类讨论问题，解题的过程呈开放型，有利于考查学生的思维能力和全面思考的能力。例 4 （苏州市中考题）已知： O1与 O2外切于点P，过点 P 的直线分别交O1、O2于点 B、A， O1的切线 BN 交 O2于点 M、N，AC 为 O2的弦。如图，设弦AC 交 BN 于点 D，求证： AP AB=AC AD。如图，当弦AC 绕点 A 旋转，弦 AC 的延长线交直线BN 于点 D 时，试问AP AB= AC AD 是否仍然成立？证明你的结论。解析 ：略。当弦AC 绕点 A 旋转后，若探索AP AB=AC AD 是否仍然成立，其实是探索 APC 与 ADB 是否仍然相似？略； 仍然成立。 连结 PC

50、，过点 P 作 O1和 O2的公切线EF，则 MBP = EPB， ABD=APE。 ACP=APE， ABD=ACP。又 A=A， APC ADB，ABACADAP，即 AP AB=AC AD 。评注 ：在给定条件下探索尚不明确的结论，其解法是，需要对题目的条件进行具体分析、判断，通过推理来获取结论。O1 O2 A M B N C P D 图 1 O1 O2 M D B N E F C A P 图 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 25 页学习必备欢迎下载题型设计与能力训练 1 （扬州市中考压轴题）用水清洗一堆青菜