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1、教材:关治,陆金甫 数值方法 清华大学出版社2006参考书:Richard L.Burden & J.Douglas Faires Numerical Analysis (7ed) 第1章引论1 数值分析研究对象与特点(I)数学与科学、工程技术有非常密切关系,并相互影响。科学与工程技术领域中的问题通过简化、抽象建立数学模型。对数学模型的研究和求解,应用于科学与工程实践。数学模型的建立与研究是数学研究的重要任务。例如,设有一个质量为的质点作直线运动(设其在轴上运动),其坐标用表示。在质点运动过程中,其坐标随时间而变动,要知道质点如何运动,就要知道对时间的依靠关系。假定运动是在力的作用下进行的,而
2、力又与时间,质量的位置,速度有关,即。由Newton第二定律,即在时刻t有为使问题定解,还需加上初始条件这样的初值问题,其解存在,唯独,连续依靠于初始数据是数学工作者要研究和解决的问题。作为科学与工程技术工作者,仅知道其解的存在,唯独是不够的,还必须知道其数量是多少。很多线性与非线性问题很难用解析方法来求得,甚至于看来简单的问题,也难于解析求解,如不能用解析方法求得。很多需要数字结果的科学与工程问题,得到数学模型后,必须采用数值方法来求解。数值分析则是研究数值方法求解科学与工程问题的一门学科,主要是构造适合于不同类型问题的数值方法,分析方法的精度、稳固性、收敛性等一系列理论与实际问题。改进运算
3、方法,创造新的数值方法是数值分析很重要的任务。数值分析具有两个显明特点:1.实践性数值求解的总是来源于科学与工程实践,解决之后又为科学与工程技术服务。2.与运算机的密切相关 虽然数值分析早于运算机的显现,但是数值分析的飞速发展是运算机显现之后,并随运算机发展而迅速发展。运算机为用数值方法进行科学与工程运算提供了条件,而数值方法的发展又推动了运算机的发展。现在大量的科学与工程问题可用运算机进行求解。过去完全靠实验的学科,如气体动力学,目前大量以数值方法用运算机来完成。科学运算已与理论研究,科学实验已成为当今科学研究的三大方法与手段。 (II)数值分析基本内容1. 数值靠近函数插值,靠近,数值积分
4、;2. 数值代数数值线性代数:线性方程组求解,特点值问题数值解,线性最小二乘问题,非线性方程及方程组数值解法。3. 微分方程数值解法常微分方程初值问题,边值问题,偏微分方程(有限差分,有限元)。2误差与有效数字(I)误差来源数值分析是研究求解数学问题的数值方法,在运算过程中,误差是不可避免的,引起误差的因素很多,主要有1. 数学模型误差2. 观测误差(测量误差)3. 截断误差,例当很小时,由此看出,用来近似的误差为4.舍入误差在运算过程中,往往对数字“4舍5入”。受运算机字长限制,无法对无穷小数进行运算,必须化为具有一定位数的数字进行运算这样引起的误差称舍入误差。(II)绝对误差,相对误差设为
5、准确值,为其近似值,令,称其为近似值的绝对误差,或称误差。由于往往未知,故一样不能求出。称为的相对误差。由于往往未知,因此也称其为相对误差。假定为某一实数的准确值,为其近似值,可对的绝对误差作估量称为的绝对误差界,或称误差界。相应于称为的相对误差界。例取可令其绝对误差界;相对误差界(III)有效数字有效数字是近似值的一种表示方法,它既能表示近似值的大小,也能表示其精确程度。在数值运算过程中,用四舍五入原则取的前n位数为其近似值,例如取前4位,可以看出,四舍五入得到的数,其绝对误差不超过未位数的半个单位。例5取前面5位定义如果近似值的绝对误差界为,那么称准确到小数点后第位,并从第1个非零数字到这
6、一位所有数字称为有效数字。例 1.414准确到小数点后第3位,有4位有效数字。3.1416 准确到小数点后第4位,有5位有效数字。(IV)数值运算中注意的问题1. 避免两个相近的数相减。2. 避免大数“吃”小数。3. 避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值。4. 简化运算次数。3 数值稳固性运算积分要运算15个积分。方便起见,建立递推公式。注意到由此得取 下面来分析递推公式运算结果是否正确?可以看出,由此推断,用递推公式运算不对。运算时,由于4舍5入,存在误差。再考虑运算时,事实上采用公式,即准确公式为 两者相减有由的误差,通过递推公式的误差为的倍。定义,对于一个算法,如果初始有误差(舍入误差,截断误差),在运算过程中误差无限增加,不能控制,那么称该算法是数值不稳固的,反之为数值稳固的。可以看出,上述递推算法是数值不稳固的。算法2.取由 得 用此递推公式结果可以看出,很准确。仍考虑从出发,运算时,初始误差经运算,误差被控制,上述算法是数值稳固的。 10