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1、数学教案双曲线的几何性质§84 双曲线的几何性质(第1课时) 课时目标1熟悉双曲线的几何性质。2能理解离心率的大小对双曲线形状的影响。3能运用双曲线的几何性质或图形特征,确定焦点的位置,会求双曲线的标准方程。教学过程()情景设置 叙述椭圆 的几何性质,并填写下表:方程性质图像(略)范围-axa,-byb对称性对称轴、对称中心顶点(±a,0)、(±b,0)离心率e= (几何意义)探索研究1类比椭圆 的几何性质,探讨双曲线 的几何性质:范围、对称性、顶点、离心率。双曲线的实轴、虚轴、实半轴长、虚半轴长及离心率的定义。双曲线与椭圆的几何性质对比如下:方程性质 图像(略)
2、 (略)范围-axa,-bybxa,或x-a,yR对称性对称轴、对称中心对称轴、对称中心顶点(±a,0)、(±b,0)(-a,0)、(a,0)离心率0e= 1e= 1下面继续研究离心率的几何意义:(a、b、c、e关系:c2=a2+b2, e= 1)2.渐近线的发现与论证根据椭圆的上述四个性质,能较为准确地把 画出来吗?(能)根据上述双曲线的四个性质,能较为准确地把 画出来吗?(不能)通过列表描点,能把双曲线的顶点及附近的点,比较精确地画出来,但双曲线向何处伸展就不很清楚。我们能较为准确地画出曲线y= ,这是为什么?(因为当双曲线伸向远处时,它与x轴、y轴无限接近)此时,x轴
3、、y轴叫做曲线y= 的渐近线。问:双曲线 有没有渐近线呢?若有,又该是怎样的直线呢?引导猜想:在研究双曲线的范围时,由双曲线的标准方程可解出:y=± =± 当x无限增大时, 就无限趋近于零,也就是说,这是双曲线y=± 与直线y=± 无限接近。这使我们猜想直线y=± 为双曲线的渐近线。直线y=± 恰好是过实轴端点A1、A2,虚轴端点B1、B2,作平行于坐标轴的直线x=±a, y=±b所成的矩形的两条对角线,那么,如何证明双曲线上的点沿曲线向远处运动时,与渐近线越来越接近呢?显然,只要考虑第一象限即可。证法1:如图,设
4、M(x0,y0)为第一象限内双曲线 上的仍一点,则y0= ,M(x0,y0)到渐近线ay-bx=0的距离为:MQ= = = 点M向远处运动, x0随着增大,MQ就逐渐减小,M点就无限接近于 y= 故把y=± 叫做双曲线 的渐近线。3离心率的几何意义e= ,ca, e1由等式c2-a2=b2,可得 = = = e越小(接近于1) 越接近于0,双曲线开口越小(扁狭)e越大 越大,双曲线开口越大(开阔)4巩固练习求下列双曲线的渐近线方程,并画出双曲线。4x2-y2=4 4x2-y2=-4 已知双曲线的渐近线方程为x±2y=0,分别求出过以下各点的双曲线方程M(4, ) M(4, )知识应用与解题研究例 1 求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。例2 双曲线型自然通风塔的外形,是双曲线的一部分绕其虚轴旋转而成的曲面,如图;它的最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径为25m,高为55m,选择适当的坐标系,求出此双曲线的方程(精确到1m)提炼总结1.双曲线的几何性质及a、b、c、e的关系。2.渐近线是双曲线特有的性质,其发现证明蕴含了重要的数学思想与数学方法。3.双曲线的几何性质与椭圆的几何性质类似点和不同点。第 5 页 共 5 页