2022年逻辑学悖论 .pdf

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1、逻辑学悖论说谎者悖论“这句话是错的。 ”上面这个句子是对的吗？如果是对的，这句话就是错的；如果是错的，这句话就是对的。这一类的悖论变化是无穷的。例如，罗素曾经说，他相信哲学家乔治摩尔平生只有一次撒谎，就是当某人问他：是否他总是说真话时，摩尔想了一会儿，就说： “不是。”你可以创造一个这样的悖论吗？无穷倒退“先有鸡还是先有蛋？”先有鸡吗？不，它必须从鸡蛋里孵出来，那么是先有鸡蛋？不，它必须由鸡生下。鸡和鸡蛋这个古老的问题是逻辑学为“无穷倒退“的最普通的例子，无穷倒退还有很多例子。柏拉图：下面苏格拉底说的话是假的。苏格拉底：柏拉图说了真话。 这是说谎者悖论的一个翻版。假若苏格拉底说的是真的，那么柏

2、拉图说的必然是真的。但是，如果柏拉图说的是真的，那苏格拉底说的就必须是假的。若我们假定苏格拉底说的是假的，那就意味着柏拉图说的是假的，这么，要是柏拉图说的是假的，苏格拉底说的就必须是真的，结果我们又从头开始，这个过程就会这样子一直重复下去。理发师悖论“我给城里一切不自已刮脸者刮脸，我也只给这些人刮脸。”著名的理发师悖论是伯特纳德罗素提出的。一个理发师的招牌写着如上面的告示。谁给这位理发师刮脸呢？他提出这个悖论，为的是把他发现的关于集合的一个着悖论用故事通俗地表述出来。某些集合看起来是它自已的元素。现在来考虑一个由一切不是它本身的元素的集合组成的集合，这个集合是它本身的元素吗？无论你如何作答，都

3、会得到矛盾。设对于一类集合：A1=a11，a12，, a1i，, ，A2=a21，a22，, a2i，, ，, ，Ai=ai1，ai2，, aij，, 都满足条件aijAi ( i = 1，2，,j = 1 ，2，,)，但 AiAi一切这类集合物成新集合A=A1，A2，, ， Ai A1A，问 A A？如果认为A A ，则 A 应该不是自身集合的元素，即A A；如果 A A，A 就应是本集合的元素，即A A，得到矛盾。你可以了解，为什么现代集合论有一些规则禁止一个集合是此集合本身的元素吗？意想不到的老虎“这只老虎将是料想不到的。”在远方的一个国度，公主爱上了一个贫困的少年，少年有勇气的向国王提

4、出婚约，国王向少年提出了一个条件：如果你能打死这五个门后藏着的一只老虎，你就可以和公主结婚。你必须依序开门，老虎在哪一个门后，只有开了那扇门后才知道，这只老虎将是料想不到的。少年看着五扇门，对自已说：如果我打开了四个空房间的门，老虎就一定在第五个房间，可是，国王说我不可能事先知道牠在哪，所以老虎不可能在第五个房间里。五被排除了，所以老虎必然在其余四个房间里，那么在我开了三个空房间后，老虎必然在第四个房间，这样又不是预料不到的，所以四也被排除了, 按同样的理由，少年证明老虎不能在这五个房间里，他相当高兴的去开门，但令他吃惊的是，老虎从第二个房间中跑了出来，完全是料想不到的！这个故事还有很多其它的

5、形式。一个数学老师向班上同学宣布下周的某一天要来一场“意料之外的小考” 。他向学生保证，没有一个学生能猜到考试的日期。一个学生证明了小考不会在下周的任何一天，但最后还是逃不了小考的命运。大多数人认为少年推理的第一步是正确的，可是一旦承认这是严格的证明，少年其余的推理就跟着成立。然而，很容易证明少年推理的第一步也是错的。假定他打开了所有房门，只余下了最后一个门，这时，他能准确地推断说最后一个房间里没有老虎吗？不能！因为，如果他这样推断，他也许会打开这个房门，发现有一个料想不到名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心

6、整理 - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - 的老虎在其中！其实，即使问题中只有一个房间，整个悖论也存在。机率学悖论赌徒的谬误“生了五个女儿之后，下一个生的是儿子的机率一定大得多”“连续开了两次小，下一次开的是大的机率一定大得多”你认为他们说的对不对呢？如果你对任何这类问题回答说“对”的话，你就陷入了所谓“赌徒的谬误”之中。如果事件 A 的结果影响到事件B，那么就说B 是“依赖”于A，例如，你明天是否穿雨衣的机率依赖于明天下与的机率。而彼此没有关系的事件称为“独立”事件，例如，你明天是否穿雨衣和陈总统明天早餐吃鸡蛋的机率无关。大多数人很难相信一个

7、独立事件的机率由于某原因会不受临近的同类独立事件的影响，才会陷入所谓的“赌徒的谬误”。例如第一次世界大战，前线的战士要找新的弹坑藏身。他们确信老的弹坑比较危险，因为看起来不可能两个炮弹一个接一个落在同一点。三张卡片的骗局“我和你赢的机会是相等的”在很多赌博游戏中，若凭你对概率直觉的认识将会是很惨的。这里有一个可以用三张卡片和一顶帽子作简单赌博的例子，可以证明这一点。第一张牌的正面第二张牌的正面第三张牌的正面第一张牌的反面第二张牌的反面第三张牌的反面三张牌如上，庄家把卡片放在帽子里，让你取一张放到桌子上，然后，他与你以对等的赌金，打赌下面的花色和下面的一样。庄家为了哄你让你以为这个赌博是公平的，

8、假设卡片上的图案是红心A，就说你的卡片不可能黑桃-黑桃卡，下面的不是黑桃就是红心，所以你和他赢的机会是相等的。你要是相信了庄家的话，钱很容易就会被赢光了，你可以猜猜看你赢的机率是多少。碰运气“每次三个人赢，三个人输！”这是美国和海外很多赌场玩的游戏。“碰运气”游戏是在一个笼子里装着三个骰子，玩的人可以赌从1 到 6 任何一个数，有几个骰子出现他所说的数，他就可以多得到他赌的钱数的几倍。例如下注2 点 1 块钱，如果出现两个2 点，除了原来赌金的1 块钱外，他还可以得到2 块钱。看起来是个公平的赌博，每次三个人赢，三个人输。而且说不定还可以赢得两倍、甚至三倍的钱。若是真的如此，那赌场的老板要赚什

9、么？你可以去讨论看看，这个游戏对赌徒到底是有利还是有害？中立原理“肯定和否定是同样可能的”中立原理的说明如下： 如果我们没有充足理由说明某件事的真伪，我们就选对等的概率来定每一件事物的真实性。 这个原理在科学、伦理学、统计学、经济学、哲学和心理学等多种领域中的应用已有很长的历史，因此声名狼藉。在公元 2100 年内发生核战争的机率是多少？根据中立原理，我们回答是21。那么原子弹不会落在台湾本土上的机率是多少？回答是21。中国不会受到原子弹轰炸的机率是多少？21。如果我们将这一理由应用到10 个不同的国家，则名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - -

10、 - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 原子弹不会轰炸其中一个国家的机率是102，换句话说，原子弹会炸到这10 个国家中任一个国家的机率是10241023！另一个不小心用了中立原理的好例子是未知立方体的悖论。假定已知有一立方体藏在一个柜子里，边长是2 公尺到 4 公尺之间，你可能会认为此立方体边长3公尺是最好的估计。现在来考虑这个立方体的体积。它必然是在8 立方公尺到 64 立方公尺之间，同样，36 立方公尺应该是最好的估计。一个边长3 公尺，体积36 立方公尺的立方体，是不是有些奇怪？立方体悖论是一个很好

11、的例子，它说明科学家或统计学家在对一个量得出了它的最大值或最小值之后，就进而假定实际最可能取二者之间的中值，这时将会陷入困境。关于数的悖论六个席位之谜“七个人坐六个席位？”七个学生去一间餐厅吃饭，可是餐厅只剩下六个位子，老板娘看到顾客就要跑走了，赶紧说：这个简单，请第一个学生坐下，并让他的女朋友先坐到他的腿上一会儿。现在第三个学生就坐到头两人的旁边，第四个学生又坐在她旁边。第五个坐到抱着女友坐的那个小伙子对面，第六个坐在这位的旁边，这就安排好六个人了，还有一个空位！这下，我该做的就是叫第七个学生从她的男朋友腿上下来，绕到桌子对面，坐在那个空位子上。七个人坐六个席位？老板娘错在哪里？这个悖论显然

12、违反了下面的定理，即n 个元素的有限集能够，且只能与具有n 个元素的其它集合一一对应。这是一个介绍有限集与无穷集之间区别的有趣方法。消失的一千块“把唱片放在一起卖，不也是一样的”一间唱片行里，有两个特卖区，一边卖300 张唱片，两张卖100 块；一边也卖300 张唱片，三张卖100 块。那天，这 600 张全都卖完了。共收入25000 元。第二天，老板又拿出了600 张唱片放到柜台上，伙计心想：何必这么麻烦，掺在一起五张卖200 块啊，笨蛋！ 多事的伙计就把600 张都放在一起卖，结果到唱片行那天结算的时候却少了1000块，可怜的伙计只好从薪水里面扣掉1000 块。我们对个悖论作一下代数分析好

13、了，假设价格较高的唱片每张卖b/a 元，价格较低的唱片每张卖d/c 元。两个分数都是最简分数，假若所有唱片都以两种不同的价格卖，则一张唱片的平均价格是2cdab；如果两种唱片合起来按一个价格卖，那么一张唱片的平均价格就是cadb。当 a = c、a c、a c 时，你知道要怎么卖比较划算吗？奇怪的遗嘱“一半给长子，41给次子，61给小儿子”律师带着富翁的遗嘱，富翁将所有名下财产全数捐给了慈善机构，只留下了十一辆名贵房车给三个儿子，分配如上。这该怎么分呢？三个儿子各有各的说法，正当三人争论不休时，富翁的好朋友陈先生，开着载卡多出现了。他知道了事情的原委后，把载卡多停在名贵房车旁，说：小伙子，说说

14、看，这有几辆车？三个人一数，有12 辆。陈先生把一半的车，也就是6 辆，分给了长子，把41的车，也就是3 辆，分给了次子，把61的车，也就是2辆，分给了小儿子。剩下的一辆载卡多是我的，我要回去工作了。陈先生走了，留下三个错愕的儿子。你知道这份遗嘱奇妙的地方了吗？统计学悖论骗人的平均数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - “我们这报酬不错，平均薪资是每周3000 人民币”内地有一间工厂，管理人员由技安、阿福、还有6 个亲

15、戚组成，工作人员由5 个领工和 10 个工人组成，还需一名新工人，技安正在和来面试的大雄谈薪水的问题。我们这报酬不错，平均薪资是每周3000 人民币，试用期是3 个月，薪水 750 人民币，过了试用期很快就可以加薪了。过了一个星期后，大雄来找技安：你欺骗我，我问过其它工人了，他们每个月才拿1000 人民币。技安：别激动，我算给你看。 每周我得24000，阿福得 10000，6 个亲戚每人得2500，5 个领工每人得2000，10 个工人每人得1000，你算算看平均工资是不是3000 块人民币？大雄说： 对，可是你还是骗了我。技安：你还是没搞懂，我可以把工资按高低顺序列个表，并告诉你工资的中位数

16、是2000，可这不是平均工资，而是中等工资大雄：那 1000 块是怎么回事？技安： 那是众数，大多数人挣的工资。大雄： 我现在搞懂了，我不干了！“平均”这个词往往是算数平均数的简称。这是一个很有用的统计数的度量指标。然而，如果有少数几个极端的数，如技安跟阿福的薪资，“平均”就会给人错误的印象。这类的例子还有很多，例如报纸上报导有人在一条河中淹死了，这条河平均深度仅只有1 公尺半。这不使人吃惊吗？你要知道，这个人可能是在一个10 公尺深的陷坑处沉下去的。轻率的结论“开快车比较安全吗？”统计资料表明， 大多数汽车事故出在中等速度的行驶中，极少的事故是出在大于150 公里小时的行驶速度上的。这是否就

17、意味着高速行驶比较安全？还有一个调查研究说脚大的孩子拼音比脚小的孩子好。这是否是说一个人脚的大小是他拼音能力的衡量标准？绝不是这样。统计关系往往不能表明因果关系。由于多数人是以中等速度开车，所以多数事故是出在中等速度的行驶中。而另一个例子的研究对像是一群年龄不等的孩子。它的结果实际上是因为年龄较大的孩子脚大些，他们当然比年幼的孩子拼得好些。这类的例子还有很多，你们可以讨论这些统计其中的原因。(1)常常听说，汽车事故多数发生在离家不远的地方，是否在离家较远的地方开车比较安全点？(2)大多数杰出的数学家都是长子，是否代表第一个孩子的智力比较高？关于时间的悖论基诺悖论“你永远追不到我”有一个警察想要

18、捉住前方10 公尺的笨贼，当警察跑到笨贼原来所在点时，笨贼已经向前跑了8 公尺了，但是当警察跑到前方8 公尺处时，笨贼又跑到前面去了，笨贼哈哈大笑说：你永远追不到我，笨警察，只要你一到我原先所在的地方，我就已经跑到前面一截了，那怕这个距离比头发丝还小。可想而知，笨贼还是被抓到了。这是古希腊人基诺提出关于跑步人的诡论，跑步人说：在我达到终点之前，我必须经过中点。然后，我必须跑到43处，而在我跑完最后的41这段路之前，我必须跑到这段路的中点。因为这些中点是没有止境的，我将根本不能到达终点。假定跑步人每跑一半要一分钟。绘出的距离-时间图关系图表明他是如何越来越接近终点，而不会到达终点。他的论据对吗？

19、不对，因为跑步人不是每跑半截都用一分钟。每跑一半的时间都是前一段的一半，只不过他须通过无穷个中点。时间机器名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - “时间能够倒流吗？”布朗教授刚返回到了30 年前，他正注视着他还是婴儿的自已。想着：如果我把这婴儿杀死，那他就不会长大起来而变成布朗教授，我会突然消失吗？他又跑到未来30 年后，在他实验室外的树上刻他的名字。接着回到现在的时间。过了几年， 他决定砍掉那颗树，但是他开始困惑了，如

20、果树被砍掉了，那未来他刻上他名字的那颗树是从那来的？我们假定只有一个单一的宇宙，随着时间向前演进，任何一个想进入过去的尝试都会导致逻辑上的混乱。超光速电话“跑得比光还快的粒子”近些年来，物理学家推测有一种称为快子的基本粒子。根据相对论，如果快子存在，它们必然随着时间逆向运动。布朗先生发明了一架快子电话机，使用快子与他的朋友伽玛博士联系，而他的朋友住在另一个星系。布朗先生说：明天我要用快子电话给伽玛教授，我问他个问题，然后他回电给我。女助手反驳道： 那是不可能的，伽玛会在一小时前接到电话，然后你将在两小时前就得到它的答复。你就不用打电话问他了。这证明不仅仅对人而言，无论是什么东西，当它随时间往回

21、追溯就会得到矛盾，无论什么事物随时间回溯，同样都会引起矛盾。然而还是有很多物理学家十分坚信有快子，他们推测，光速是它速度的下限，并且随着时间逆向运动。这组图片的悖论并没有证明快子不存在，它只不过表明，快子如果存在，是无法用于通讯的。时间的迟滞“飞得越快，它的时间就过得越慢”回到过去产生了如此荒唐的谬论，但是向着未来旅行就是另一回事了。假定一个宇宙船在2005 年出发，以接近光速飞行，飞船飞得越快，它的时间就过得越慢，飞船飞到另一个星系，又返回来。对飞船中的航天员来说，可能只经过了 5 年，可是，在飞船回到地球，地球已过了几千年。这种时间旅行并不导致谬论。令 v 是宇宙船的速度，c 是光束，二者采用同样的单位。令T 是航天员在飞船上测量的时间间隔，T 是地球上的观察者测得的飞船上同一事件的时间间隔。两个时间间隔之间的关系由下式给出：T = 221cvT名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -