2022年复数 .pdf

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1、复数 2 第 1 页 共 12 页复数 2（复数的运算）知识点：1. 复数的四则运算；2. 复数运算法则；3. 共轭复数及其性质；4. 综合应用；教学过程：1. 复数加减法运算：设复数12, , , ,zabi zcdi a b c dR，则12()()zzacbd i；12()()zzacbd i；2. 复数的乘法运算：设复数12, , , ,zabi zcdi a b c dR，则12()()zzacbdadbc i；3. 复数的除法运算：设复数122, , , ,0zabi zcdi a b c dR z，则122222zacbdbcadizcdcd；注意22()()cdicdicd。利

2、用共轭复数知识求；或利用乘法运算及待定系数法求；4. 运算法则：设123,z z z zC m nN（1）加法（乘法）交换律：1221zzzz；1221z zz z；（2）加法（乘法）结合律：123123()()zzzzzz；123123()()z zzz z z；（3）分配率：1231323()zzzz zz z；（4）幂的运算：.nnzzz zz；mnm nz zz；()mnmnzz；1212()mmmz zz z；1122()nnnzzzz；（5）模的运算：123123|.| | |. |z zzzzz；1122|zzzz；5. 共轭复数：12, ,zabi zabi a bR，称12,

3、z z互为共轭复数；记法：21zz；即z的共轭复数是z；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - 复数 2 第 2 页 共 12 页设, ,zabi a bR，则zabi，主要性质有：（1）2Re ,2Imzzz zzz；（2）zRzz；当0z时，z纯虚数0zz；（3）| | |zz；2222| |zzzzzz；( ) ,nnzznN；（4）当| 1z时，1zz；（5）zz；1212z zzz；1122()zzzz；12

4、12zzzz；1212zzzz；5. 复数集中的四个公式：（1）222()2, ,abiababi a bR；（2）222()2, ,abiababi a bR；（3）22()()abiabiab； “平方和公式” ；（4）121212| | |zzzzzz；指出何时取到等号？应用：例 1. 计算：（1）2244(1) ,(1) ,(1) ,(1)iiii解：2 , 2 ,4, 4ii；（2）(1)(2)(1)(2)iiii解：4355i；（3）2332ii解：i；归纳,abiabiiibaibai例 2. （1）设1322i，求证：32211,10,；120()nnnnN解：方法1：直接代入

5、；方法 2：利用3210(1)(1)0 xxxx求解；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - 复数 2 第 3 页 共 12 页（2）设1322xi，计算322,1,xxxxx；解：3221,10,0 xxxxx（3）设264(34 )31() (22 )22izii。化简z并计算|z：解：66311331()()()1222222iiiiii4222(1)(22 )4 ( 4)16iii264(34 )7241616

6、31() (22 )22iziii25| |16zz。例 3. 设复数11cos,sin,zxi zxi xR，求12|z z的最值；解：21213|2sin 22,42z zx。例 4. 已知, z u为复数，(13 ) i z为实数，,| 5 22zuui，求复数, z u解：设( ,)uxyi x yR，依题意得(13 )(2)( 17 )ii ui u为实数，且| 5 2u，227050 xyxy，解之得17xy或17xy，17 ,17ui ui，对应( 515 )ui。例 5. 已知复数z满足 :13,ziz求22(1) (34 )2iiz的值。解：设,(,)zabia bR，而13

7、,ziz即22130abiabi则22410,43330aabazibb22(1) (34 )2 ( 724 )2473422( 43 )4iiiiiizii例 6. 设12,z zC，记12121122,Az zz z Bz zz z。问,A B能不能比较大小？如果不能，说明理由；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - 复数 2 第 4 页 共 12 页如果能，试比较大小。解：,A BR，一定能够比较大小；方法 1：

8、代数法设元，12,zabi zcdi22222(),AacbdBabcdAB；方法 2：作差法：212|0BAzz。例 7. 设21| 1,20zzzz| ，求复数z。解：1| 1zzz，利用代数法求解，131,22zzi；例 8. 已知复数z满足2(1)(1)zzz，且11zz为纯虚数，求复数z。解：11zz，2)1)(1(zzz221zzzz1z点在 A（-1 ，0）与 O （0，0）的连线的垂直平分线上，又11zz是纯虚数，所以复数11zz与表示的向量CB与 AB互相垂直，所以点z在单位圆O上，且60AOB，由图易知iz2321例 9. 已知31z，52z，721zz，求21zzu的值。

9、解 1：由题意可得571221zzzu，又5321zzu，故知复数u 对应的点是以原点为圆心、半径长为53的圆和以 A（-1 ，0）为圆心、半径长为57的圆的交点，设yixu，则yixu)1(1222222)53()57() 1(yxyx1031033xyiu1033103解 2：在复平面上，311zOZ，522zOZ，721zzOZ，故只需求出21OZZ，设21OZZ，ZOZ2，在ZOZ2中，由余弦定理得名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 12 页 - -

10、- - - - - - - 复数 2 第 5 页 共 12 页21532753cos222120，60iizz1033103)60sin()60cos(5321。例 10. 设,| 1zCz。（1）当3zz时，求复数z；（2）当510zz时，求复数z；解： （1）34221(1)2zzzzzzizi。（2）5551011zzzzzz5513(1)(1)122z zzzzi。例 11. 设复数12,z z满足121217| | 1,55zzzzi，求12zz。解：方法1：设12,zabi zcdi，代入得1243553424755342525554355aabborzziccdd方法 2：221

11、2121717|25555zzizzi利用共轭复数展开得111212220()zzz zz zzz，则12zz为纯虚数。且12| 1zz，设12ziz当12124334,5555zz izi zi；当12123443,5555zz izi zi方法 3：121122| | 11zzz zz z名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - 复数 2 第 6 页 共 12 页则122211121212()()()zzz zzz

12、z zz zzz1212122472525zzzzizz。例 12. 设z是虚数，1wzz是实数，且12w. （1）求|z的值及z的实部的取值范围；（2）设11zuz，求证：u为纯虚数；（3）求2wu的最小值。解： （1）设, ,0zabi a bR b则22221()()abwabiabiabiabab因为w是实数，0b，所以221| 1abz. 于是12( 1,2)(,1)2waa。（2）iabbabibabiabiazzu1)1(2111112222. 因为1(,1),02abu为纯虚数。（3）1212112) 1(12)1(222222aaaaaaaaabauw.311)1(2aa.

13、因为1(,1)102aa故22 231wu. 当1101aaa时，2wu取得最小值1. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - 复数 2 第 7 页 共 12 页作业：1. 设,|2 | 2zCzi，求复数z，使得16zz是实数。解：4zi。2. 设| 11 |,| 1,AzzzzCBzzzC，记1( )f xzz，当uzAC B时，求证：( )f xR。解：| 1 uzAC Bz。3. 已知复数22123(5) ,1

14、 (21) ,()zaai zaaaiaR分别对应向量1OZ、2OZ（O为原点） ，若向量21ZZ对应的复数为纯虚数，求a的值解：21ZZ对应的复数为z2z1，则z2z1=a1+(a2+2a1)ia23+(a+5)i=(aa2+2)+(a2+a6)iz2z1是纯虚数，060222aaaa解得a=14. 已知复数z满足44zzi且141zzRz, 求z. 解：设 z=x+yi(x，yR) 将 z=x+yi 代入 |z4| |z4i| 可得 xy， z=x+xi (2) 当 |z1|213 时，即有 x2x6=0 则有 x=3 或 x=2 综上所述故 z0 或 z=3+3i 或 z=-22i 5.

15、 已知,z w为复数，(13 ) i z为纯虚数，2zwi，且| 5 2w，求w。解法一：设zabi（a，bR ） ，则（ 13i）za3b（ 3ab）i由题意，得a3b0| 25|2|iz，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - 复数 2 第 8 页 共 12 页|z| 10522ba将a3b代入，解得a 15，b 15故ii2515（ 7i） 解法二：由题意，设（13i）zki，k0 且kR，则)31)(iikki

16、| 52，k50故（ 7i） 6. 设 复 数z满 足|5z， 且( 34 )i z在 复 平 面 上 对 应 的 点 在 第 二 、 四 象 限 的 角 平 分 线 上 ，|2| 5 2,zmmR，求, z m的值 . 解：设zxyi（x、y R） ，|z| 5，x2y225，而（ 34i）z（ 3 4i） （xyi）（ 3x4y）（ 4x3y）i，又（ 34i）z在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，3x4y4x3y0，得y7xx22，y227即z（22227i） ；2z（ 17i） 当2z17i时，有 |1 7im| 52，即（ 1m）27250，得m=0，m=2. 当2z（ 1

17、7i）时，同理可得m0，m 27. 已知复数1z满足1(2)1zii，复数2z的虚部为2，且12zz是实数，求复数2z的模 . 解：由（z12）i=1+i得z1=ii1+2=（ 1+i） （i）+2=3iz2的虚部为2. 可设z2=a+2i（aR）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - 复数 2 第 9 页 共 12 页z1z2=（3i） （a+2i）=（3a+2）+（ 6a）i为实数 . 6a=0，即a=6，因此z2

18、=6+2i，|z2|=1022622. 8. 设211zziz( 其中1z表示1z的共轭复数 ) ，已知2z的实部是1，求2z的虚部。解：设1,zxyi21zbi，由复数相等1()()()bixyii xyixyyx i()1byxxy3x. 9. 已知复数12zi，求适合不等式0.52|1log21azia的实数a的取值范围 . 解：原不等式化为21)21(1|aiaz，即, 01,122|)21(|aaiia即, 1,122)12(22aaaa即1,2151aaa或a51或 1a21。10. 已知Ryx, 且ixyxx222和iyx13是共轭复数 , 求复数yixz和z. 解：议题意 ,

19、得:011012322yxyxyxyxxx或zxyiiizi0101或即或zi或111. 已知复数1z满足12(1)1 5 ,2i zi zai， 若121|zzz，求实数a的取值范围 . 解：由题意得z1=ii151=2+3i，于是21zz=ia24=4)4(2a，1z=13. 4)4(2a13，得a28a+70，1a7. 12. 设复数z满足1z, 且(34 ) iz是纯虚数 , 求z解：设,(,)zabia bR，由1z得221ab；(34 )(34 )()34(43 )iziabiabab i是纯虚数，则340ab名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - -

20、 - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - 复数 2 第 10 页 共 12 页2244155,3334055aaababbb或，4343,5555zii或13. 已知复数12,z z满足12| | 1zz，且121322zzi. 求12,z z的值 . 解：由 |z1z2|=1 ，得（z1+z2） （21zz）=1，又 |z1|=|z2|=1 ，故可得z12z+1zz2=1，所以z12z的实部=1zz2的实部 =21. 又|1zz2|=1 ，故1zz2的虚部为23，1zz2=2123i，z2

21、=z1)2321(i. 于是z1+z1ii2321)2321(，所以z1=1，z2=i2321或z1=i2321，z2=1. 所以izz2321121，或1232121ziz14. 设复数z满足423 3,sincos ,zziiR. 求z的值和|z的取值范围 . 解：设z=a+bi（a，bR） ，则z=abi，代入 4z+2z=33+i得 4（a+bi）+2（abi） =33+i. 2123ba. 3122zi. |z|=|2123i（ sinicos）| =)6sin(22cossin32)cos21()sin23(2 1sin （6） 1， 022sin （6） 4. 0 |z| 2.

22、名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - 复数 2 第 11 页 共 12 页15. 设复数12,z z均不为零，且1212| |zzzz。（1）12zz是一个什么类型的复数？证明你的结论。（2）12() ,nznNz是一个什么类型的复数？解： （1）2212121212| |zzzzzzzz12121212()()()()zzzzzzzz111212220()zzz zz zzz12zz为纯虚数；（2）当2 ,nk

23、kN时，12()nzRz；当21,nkkN时，12()nzz为纯虚数；16. 求同时满足下列条件的复数z：（1）10(1,6zz；（2）Re ,ImzzZ；解：方法1：设, ,zxyi x yR代入（ 1）2222101010(1)(1)(1,6zxyizxyxy当0y代入矛盾，舍去；22221010131(,3,10312(1)(1,6xxxyxyyxxy则13 ,3zi zi。方法 2：1010101010(1,6()(1)010zzRzzzzzzzzzzzz名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 -

24、- - - - - - 第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - 复数 2 第 12 页 共 12 页17. 设复数12,z z满足211212(0),| 84 2zazi azzzz，若12,z z在复平面内对应点,A B。求ABO面积的最大值，并指出实数a的值。解：1284 2|11zaa设1, ,zcdi c dR，且OAOB221212211|8(22)22(11)aSzza zaa22218(22)811()aaa当且仅当1a时，max8S名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - -