2022年选修-第三讲《柯西不等式与排序不等式》 .pdf

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1、教育学科教师辅导讲义讲义编号：学员编号：年级：课时数： 3课时学员姓名：辅导科目：数学学科教师：高再超课题柯西不等式与排序不等式授课日期及时段教学目的1、会证明二维柯西不等式及三角不等式；2、会利用二维柯西不等式解决问题；3、会证明一般形式的柯西不等式，并能应用；4、了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问题，体会运用经典不等式的一般方法。教学内容一、 【课前检测】1、, , ,a b c dR，不等式22222abcdacbd取等号的条件是（）A 0abdc B 0adbc C 0adbc D 0acbd2、设123123,aaa bbb，下列最小的是（）A 13223

2、1a ba ba b B 1 12233aba ba b C 122 133aba ba b D 1 12332aba ba b3、若四个实数1234,a a a a满足2222132431aaaaaa，则3412aaaa的最大值为（） A 1 B 6 C 2 D 34、,a b是非零实数，1ab，12121212,x xRMaxbxbxaxNx x，则 M与 N 的大小关系为（）A MN B MN C MN D MN5、若实数, x y满足222(5)(12)14xy，则22xy的最小值是（）A 2 B 1 C 3 D 26、,0,1x y，则(1)(1)xyyx的最大值是7、设, ,x y

3、R，那么14xyxy的最小值是8、设, ,a b cR，利用排序不等式证明：444444333222bccaababcabc名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - 答案： 1.C 2. A 3. B 4. A 5. D 6. 1 7. 9 8. 证明：不妨设0,abc则444111,abccba，444333abcabcabc（逆序和）444abccab444333abcabcabc（逆序和）444abcbca4444

4、44333222bccaababcabc二、 【知识梳理】（一）、柯西不等式1、 定理 1： （柯西不等式的代数形式）设dcba,均为实数，则22222)()(bdacdcba， 其中等号当且仅当bcad时成立。几何意义：设，为平面上以原点O为起点的两个非零向量，它们的终点分别为A（ba,） ，B（dc,） ，那么它们的数量积为bdac，而22|ba，22|dc，所以柯西不等式的几何意义就是：|，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。2、定理 2： （柯西不等式的向量形式）设，为平面上的两个向量，则|，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。3

5、、 定理 3： （三角形不等式）设332211,yxyxyx为任意实数，则：231231232232221221)()()()()()(yyxxyyxxyyxx思考：三角形不等式中等号成立的条件是什么？4、定理 4： （柯西不等式的推广形式）：设n为大于 1 的自然数，iiba ,（i1，2， , ，n）为任意实数，则：211212)(niiiniiniibaba，其中等号当且仅当nnababab2211时成立 （当0ia时，约定0ib，i1，2，, ，n） 。柯西不等式有两个很好的变式：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - -

6、- - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - 变式 1 设), 2, 1(0,nibiRaiiiniiibaba212)(，等号成立当且仅当)1 (niabii变式 2 设 ai，bi同号且不为0（i=1 ，2，, ， n） ，则：iiiniiibaaba21)(，等号成立当且仅当nbbb21。（二）、排序不等式1、基本概念：一般地，设有两组数：1a2a3a，1b2b3b，我们考察这两组数两两对应之积的和，利用排列组合的知识，我们知道共有6 个不同的和数，它们是：对 应 关 系和备注（1a，2a，3a）（1b，2b，3b）332

7、2111bababaS顺序和（1a，2a，3a）（1b，3b，2b）2332112bababaS乱序和（1a，2a，3a）（2b，1b，3b）3312213bababaS乱序和（1a，2a，3a）（2b，3b，1b）1332214bababaS乱序和（1a，2a，3a）（3b，1b，2b）2312315bababaS乱序和（1a，2a，3a）（3b，2b，1b）1322316bababaS反序和根据上面的猜想，在这6 个不同的和数中，应有结论：顺序和332211bababa最大，反序和132231bababa最小。2、对引例的验证：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - -

8、- - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - 对 应 关 系和备注（1，2，3）（25， 30，45）2203322111bababaS同序和（1，2，3）（25， 45，30）2052332112bababaS乱序和（1，2，3）（30， 25，45）2153312213bababaS乱序和（1，2，3）（30， 45，25）1951332214bababaS乱序和（1，2，3）（45， 25，30）1852312315bababaS乱序和（1，2，3）（45， 30，25）1801

9、322316bababaS反序和3、类似的问题：5 个人各拿一只水桶到水龙头接水，如果水龙头注满这5 个人的水桶需要的时间分别是4 分钟，8 分钟， 6 分钟，10 分钟， 5 分钟。那么如何安排这5 个人接水的顺序，才能使他们等待的总时间最少？4、排序不等式的一般情形：一般地，设有两组实数：1a，2a，3a， , ，na与1b，2b，3b，, ，nb，且它们满足：1a2a3a , na，1b2b3b , nb，若1c，2c，3c，, ，nc是1b，2b，3b，, ，nb的任意一个排列，则和数nncacaca2211在1a，2a，3a，, ，na与1b，2b，3b， , ，nb同序时最大，反序

10、时最小，即：112122112211bababacacacabababannnnnnn，等号当且仅当naaa21或nbbb21时成立。三、 【重难点突破】直击考点考点一利用柯西不等式求最值 例 1已知432xyz，求222xyz的最小值 . 【思路分析】由432xyz以及222xyz的形式，联系柯西不等式，可以构造222(143 )作为一个因式而解决问题 . 【解】根据柯西不等式，有名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 11 页 - - - - - - - -

11、- 2222222()(143 )(43 )4xyzxyz，所以222426xyz，即222213xyz当且仅当143xyz，即143,131313xyz时，222xyz取最小值2.13【锦囊妙计】 先变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件，正确理解柯西不等式，掌握它的结构特点，就能更灵活地应用它. 对于特定的不等式问题，用柯西不等式求解往往显得简单明了. 例 2. 求函数31123yxx的最大值 . 思路分析：利用不等式求极值问题，通常设法在不等式一边得到一个常数，并寻求不等式等号成立的条件. 这个函数的解析式是两部分的和，若能化为acbd的形式就能利用柯西不等式求其最

12、大值. 解：函数的定义域为1,4，且0y. 则3134yxx22223( 3)(1)(4)xx12 36，当且仅当3134xx时，等号成立，即134x时函数取最大值6. 例 3 求函数2sin3 1 cos2yxx的最大值 . 【思路分析】因为21cos22cosxx，自然会联系到三角恒等式22sincos1xx，联想到柯西不等式的结构特征，而这个式子恰好具有柯西不等式的结构特征，所以可以利用柯西不等式来解决. 【解析】2sin3 1cos2yxx22sin3 2cosxx2222(sincos)2(32) 22.xx当且仅当2sin23 2cosxx，即2tan3x，函数有最大值22.【锦囊

13、妙计】先变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件，需要不断的学习与体会. 【举一反三】 1. （07 东莞模拟）已知cba,都是正数，且, 12cba则cba111的最小值是 . 答案 :2462. 已知abR，且224ab，求证：| cossin|2.ab解：已知的恒等式与近乎显然的三角恒等式22sincos1正好具备柯西不等式的结构特征，于是可利用柯西不等式解答 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 11 页 - - - - - -

14、- - - 因为224ab，所以2222|cossin|()(cossin)4 12.abab即|cossin| 2.ab考点二利用柯西不等式进行证明 例 4 已知12naaa， ，, ，都是实数，求证22221212()().nnaaan aaa,【思路分析】与柯西不等式的结构想比较，发现它符合柯西不等式的结构，因此可用柯西不等式来证明。【证明】根据柯西不等式，有222221212(111 )()(111)nnnaaaaaa,，所以22221212()()nnn aaaaaa,。【锦囊妙计】准确把握柯西不等式的结构特征，通过恰当变形，构造两组柯西数组是运用柯西不等式的关键所在. 【举一反三】

15、3. 已知abc， ，是不全相等的正数，证明：222.abcabbccd解：欲证的不等式两边都是由abc， ，这三个数组成的式子，特别是右边式子的字母排列顺序，启发我们可以用柯西不等式进行证明；如果同时考虑式子两边的结构，把2a看成a a，则不等式左右两边的结构一致，都是两个正数之积的和，可以用排序不等式证明. 【证法一】根据柯西不等式，有2222222()()() .abcbcaabbcca因为abc， ，是不全相等的正数，所以等式abcbca不成立，所以22222()()abcabbcca，即222.abcabbcca【证法二】因为abc， ，是不全相等的正数，不失一般性，设abc，则由排

16、序不等式知，顺序和不小于乱序和，即.a ab bc cabbcca由于abc， ，不全相等，所以等号不成立. 所以222.abcabbcca考点三均值不等式的运用 例 5求函数264(0)yxxx的最小值 . 解：280,20,0 xxx，于是332228884223 226 4.yxxxxxxxx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - 当且仅当2822xxx，即34x时，函数的最小值是36 4. 锦囊妙计：在运用33

17、abcabc求最值时，要注意满足“一正、二定、三相等”的条件，具体地说，要注意abc， ，是正变数，三个正变数之积是常数，那么当且仅当这三个正变数相等时，它们的和取得最小值，同时注意相等时的自变量的取值属于给定的范围内。本题常见的错误是：由均值不等式得，3222444323 26yxxxx xxxx，故最小值为6. 事实上这种变形使方程242xxx无解，即等号不能成立，所以最小值不是6，为了保证等号成立，一般需要平均拆项.考点四排序不等式的运用（选做） 例 6 设12naaa， ，, ，是 n 个互不相同的正整数，求证：32122211112323naaaann,【思路分析】12naaa， ，

18、, ，是 n 个互不相同的正整数，因此它们可以从小到大地排序，观察问题中的式子，可以猜想到与12naaa， ，, ，对应的另一列数是222111123n， ， ，, ，由此可以联想到用排序不等式证明的思路. 【解答】设12nbbb， ，, ，是12naaa，, ，的一个排列，且满足12.nbbb, ,，故由排序不等式，得3322112222222323nnaabbababnn,2221111 12323nn,=1111.23n,【锦囊妙计】在证明不等式的过程中，往往将“n 个互不相同的正整数”进行排序，这种排序并不失一般性，是证明中常常使用的一个技巧. 本题较难之处是如何想到构造新的排列12n

19、bbb， ，, ，这需要考生从正确的方向进行分析，根据分析的发展逐步想到，充分利用问题的条件，挖掘条件背后更深的内容，为使用已有经典不等式创造条件. 举 一 反 三 ： 4. 设12naaa， ，, ，为 实 数 ，12nbbb，, ，是12naaa，, ，的 任 一 排 列 ， 则 乘 积 的 值1 122nnaba ba b,不会超过 . 解：本题主要检测排序不等式，只要领会式子1 122nna ba ba b,是乱序和，那么由排序不等式可知，它不会超过顺序和22212naaa,，即填22212naaa,. 四、 【课堂练习】1、已知, , ,a b c dR，且满足625abcd，那么a

20、bcd的最大值是（ ）A 25 B 50 C 254 D 625 2、已知0, ,1a b c，且2abc，则222abc的取值范围是（）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - A 4,3 B 4,23 C 4,23 D 4,233、设123123123,0,0,1nnnx xxxa a aaxxxx，那么221122ta xa x2233nna xa x的最小值是4、设23422,(, ,0)xyzx y z，则23

21、9xyz的最小值是，此时 x= ，y= ，z= . 5、设123,x xx是不同的自然数，求312149xxxs的最小值。6、已知, ,a b cR，利用柯西不等式证明：91112abcabbcca。7、设,2nN n，利用柯西不等式证明：4111127122122nnnn答案：1、 B 2、 C 3、12311111naaaa 4、11,2,2,3.25、解：不妨设12123xx，由排序不等式，312123111491496xxxs。6、证明：由柯西不等式得11111129abcabbccaabbccaabbcca故命题成立。7、证明：由柯西不等式得名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载

22、- - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - 21111121221211112412212317nnnnnnnnnnnnnnn又：121222222221211111221211111111221211111221222nnnnnnnnnn nnnnn五、 【课堂小结】1、本节是选学选考内容，. 教材分别介绍了四个经典不等式不等式：平均值不等式、三角不等式、柯西不等式、排序不等式，其中重点介绍柯西不等式和排序不等式. 介绍两种经典不等式及其证明，通过分析和解决问题

23、，讨论经典不等式的简单应用，提高学生运用重要数学结论进行推理论证的能力，即在理解重要数学结论的基础上，能够发现面临的具体问题与重要数学结论之间的内在联系，并善于利用这样的联系，应用重要数学结论及其所反映的数学思想方法解决具体问题. 考虑到本节是高考的选考内容，因此在教学中需要注意把握问题的难度，重点放在对经典不等式的基本的、简单的运用尤其是放在柯西不等式的简单运用上，强调解决问题的通性通法，而不必过分追求个别变形技巧. 2、对柯西不等式理解和认识我们可以从以下几个方面可以对柯西不等式形成一个较全面的认识. 在研究方法上： 遵循从特殊到一般的认识方式，首先讨论最简单的柯西不等式二维形式的柯西不等

24、式，继续讨论三维形式的柯西不等式，进而讨论一般形式的柯西不等式. 从研究内容来看：包括柯西不等式的数学含义（即所表示的不等关系）、表示方式（代数形式和向量形式）、几何意义（对二维和三维形式而言）、证明方法（不同形式选用不同的证法（略） 、应用举例 . 所蕴含的数学思想：柯西不等式的研究过程中包含了转化与化归思想、函数与方程思想、数形结合思想、从特殊到一般的归纳思想，通过这些思想的渗透，可以提高分析问题、解决问题的能力六、 【课后作业】1设abR，1abc，那么111abc的最小值是（）（A ） 9 （B） 3 （C） 1 （ D）192已知不等式1()()9axyxy对任意正实数xy，恒成立，

25、则正实数a的最小值为（）（A） 2 （B ） 4 （C） 6 （ D） 8 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - 3. ：byaxyxba的取值范围是则已知, 1, 1:2222（）A.0 ，2 B.-1，1 C.-2，2 D.0，1 4. 若a0，b0，则abba2121的最小值是（）A.223 B.23 C.29 D.45已知正数ab，满足13ab，则131 3ab的最大值是（）（A）2（B）2（C）2 2（D）

26、226已知, , ,a b x yR，224ab，6axby，则22xy的最小值为 ( )A3 B 81 C.9 D.197. 已知, ,x y z为正数，且满足222234xyz，则23xyz的最大值是 _.8(07 深圳市模拟 ) 已知实数xyz、 、满足132zyx，则222zyx的最小值为；9若2223xy，则2xy最大值是 _ 10. 已知236xyz，则222zyx的最小值为 _.11. 设11,1,2a babab为正数 , 且求的最小值。12.（选做题） 有 10 人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满第(1 210)i i，, ，个人的水桶需要it分钟， 假定这些it各不相同 .

27、 问只有一个水龙头时，应如何安排10 人的顺序，使他们等候的总时间最少？这个最少的总时间等于多少？答案： 1、 A 2 、 B 3、B 4、C 5、A 6、C 7 、2 6 8 、1149、2222213 6222222xyxyxy，10、18711、解法一：111113,1,22.2222a babababab3ba3为正数 , 且=（)（）=+22ab2解法二：利用柯西不等式：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 11 页 - - - - - - - -

28、- （ ab） （112ab）22111(1)22abab=322，113222ab的最小值是+。12、解：这是一个实际问题，需要将它数学化，即转化为数学问题. 若第一个接水的人需要1t分，接这桶水时10人所需等候的总时间是110t分；第二个接水的人需2t分，接这桶水时9 人所需等候的总时间是29t分；如此继续下去，到第 10 人接水时，只有他一人在等，需要10t分. 所以，按这个顺序，10 人都接满水所需的等到总时间（分）是12910109.tttt,2这个和数就是问题的数学模型，现在考虑1210ttt， ，, ，满足什么条件时这个和数最小. 因为等待总时间（分）是12910109.tttt,2根据排序不等式，当12910tttt,时，总时间取最小值. 也就是说，按水桶的大小由小到大依次接水，10 人等候的总时间最少，这个最少的总时间是12910109tttt,2，其中12910tttt,. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - -