讲义直线与圆的位置关系.doc

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1、. 考试要求考试要求 板块板块 A 级要求B 级要求C 级要求 直线与圆的 位置关系 了解直线与圆的位置关 系；了解切线的概念， 理解切线与过切点的半 径之间关系；会过圆上 一点画圆的切线 能判定一条直线是否为圆的切线；能 利用直线和圆的位置关系解决简单问 题 能解决与切线有关的 问题 切线长了解切线长的概念会根据切线长知识解决简单问题 一、直线和圆的位置关系的定义、性质及判定一、直线和圆的位置关系的定义、性质及判定 1 1、设的半径为 ，圆心到直线 的距离为，则直线和圆的位置关系如下表：OrOld 位置关系图形定义性质及判定 相离 _ l _ O _ d _ r 直线与圆没有公共点直线 与相

2、离drlO 相切 _ l _ O _ d _ r直线与圆有唯一公共点，直线叫做 圆的切线，唯一公共点叫做切点 直线 与相切drlO 相交 _ l _ O _ d _ r直线与圆有两个公共点，直线叫做 圆的割线 直线 与相交drlO 从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示： 直线和圆的位置关系相交相切相离 公共点个数210 圆心到直线的距离与半径的关系drdrdrdr 公共点名称交点切点无 直线名称割线切线无 . 二、切线的性质及判定二、切线的性质及判定 1 切线的性质：切线的性质： 定理：圆的切线垂直于过切点的半径 推论 1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 推论 2：经过切点且垂

3、直于切线的直线必经过圆心 2 切线的判定：切线的判定： 定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； 距离法：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线； 定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 3 切线长和切线长定理：切线长和切线长定理： 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线 长 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条 切线的夹角 切线的判定定理切线的判定定理 设 OA 为O 的半径，过半径外端 A 作 OA，则 O 到 的距离 d=r， 与O 相切因此，我们lll 得到：切线的判定定理：经过半径

4、的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 注：定理的题设“经过半径外端”，“垂直于半径”，两个条件缺一不可结论是“直线是圆的切线” 举例说明：只满足题设的一个条件不是O 的切线 _ l _ A _ O _ A _ O _ l 证明一直线是圆的切线有两个思路：（1）连接半径，证直线与此半径垂直；（2）作垂线，证垂足 在圆上 切线的性质定理及其推论切线的性质定理及其推论 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径 我们分析：这个定理共有三个条件：一条直线满足：（1）垂直于切线（2）过切点 （3）过圆心 _ T_ M _ O _ B _ A _ T _ O _ A 定理：过圆心，过切点 垂直于切线

5、过圆心，过切点，则 OA OAAOAAT 经过圆心，垂直于切线过切点 1 2 AB M ABMT 过圆心 为切点 经过切点，垂直于切线过圆心 1 2 AMMT AM M 过圆心 为切点 _ O _ A _ l . 三、三角形内切圆三、三角形内切圆 1 定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角 形叫做圆的外切三角形 2 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边 形 3直角三角形的内切圆半径与三边关系 _ O _ F _ E _ D _ C_ B _ A _ C_ B _ A _ C _ B _ A _ c

6、_ b _ a _ c _ b _ a （1） （2） 图（1）中，设分别为中的对边，面积为a b c，ABCABC，S 则内切圆半径（1），其中； 图（2）中，则 s r p 1 2 pabc90C 1 2 rabc 四、典例分析：切线的性质及判定 【例 1】 如图，是的直径，点在的延长线上，过点作的切线，切点为，若ABOADABDOAC ，则_25A D 例例 1 1 例例 2 2 巩固巩固 【例 2】 如图，直线与相切于点，的半径为，若，则的长为( )ABOAO230OBAOB ABCD4 342 32 【巩固】如图，与相切于点，线段与弦垂直于点，则切ABOBOABCD60AOB4cmB

7、C 线 AB cm 【例 3】 如图，若的直径与弦的夹角为，切线与的延长线交于点，且的半OAABAC30CDABDOA 径为 2，则的长为（ ）CD O A C B D O BA O D C B A _ A _ C _ D _ B _ O O E D C B A . ABC2D42 34 3 例例 2 2 巩固巩固 【巩固】如图，为半圆的直径，点在的延长线上，切半圆于点，于点，EBOAEBADODBCADC ，半圆的半径为，则的长为_2AB O2BC 【例 4】 如图，已知以直角梯形的腰为直径的半圆与梯形上底、下底以及腰均ABCDCDOADBCAB 相切，切点分别是求证：以为直径的圆与相切DC

8、E，ABCD 例 4 巩固 【巩固】如图，已知以直角梯形中，以为直径的圆与相切，求证：以为直径的圆与ABCDABCDCD 相切AB 【例 5】 已知：如图，在中，以为直径的半圆与边相交于点，切线ABCABACBCOABD ，垂足为点 求证：（1）是等边三角形；（2）DEACEABC 1 3 AECE 【巩固】如图，切于点，直线交于点，弦，求证：MPOMOPOABACMPMOBC M P O C B A 【例 6】 如图，中，是的中点，以为圆心的圆与相切于点。ABCABACOBCOABD 求证：是的切线。ACOA 【例 7】 如图，已知是的直径，为的切线，切点为，平行于弦， 。ABOABCOAB

9、OCADOAr （1）求证：是的切线；CDOA （2）求的值；AD OC _ O _ D _ C _ B _ A _ O _ D _ C_ B _ A _ E _ A _ C _ O _ B O D CB A O D C BA . M OA D C B （3）若，求CD的长。 9 2 ADOCr 【巩固巩固】如图，已知是的直径，是和相切于点的切线，过上点的直线，ABOABCOABOAAADOC 若且，则 。2OA 6ADOCCD 【巩固巩固】如图，AB是半圆（圆心为O）的直径，OD是半径，BM 切半圆于B，OC与弦AD 平行且交BM于C。 （1）求证：CD是半圆的切线； （2）若AB长为 4，

10、点D在半圆上运动，设AD长为，点A到直线CD的距离x 为，试求出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围。yyxx 【例 8】 如图，为的直径，是外一点，交于点，过点作的切线，交ACOABOAABOAEEOA 于点，作于点，交于点。BCDDEDCEFACFADM （1）求证：是的切线；BCOA （2）。EMFM 【例 9】 如图，割线与相交于、两点，为上一点，为的中点，交于，ABCOABCDOAE A BCOEBCF 交于，。DEACGADGAGD （1）求证：是的切线；ADOA （2）如果，求的半径。242ABADEG，OA 【例 10】如图，已知点在的边上，以为直径的与相切于点，且平分E

11、ABCABAEOBCDAD 求证：BACACBC 【巩固】是圆的直径，是它的弦，过作圆的切线，过作交于，则ABBCCCDBBECDCDE ABCEBC C O D BA M OF E D C B A O G F E D C B A _ O _ E _ D _ C_ B _ A _ A_ O_ B _ C _ D _ E . 【例 11】如图，已知中，以为直径作交于，过作的切Rt ABC90ABCABOACDDO 线交于求证：DEBCEBECE 【巩固】如图，已知的弦垂直于直径，垂足为，点在上，且，延长到点OABCDFEABEAECEC ，连结，若，试判断与的位置关系，并说明理由PPBPBPEP

12、BO 【例 12】如图，点在的直径的延长线上，切于点，连结POABA2ABPAPCOACBC （1）求的正弦值；P （2）若的半径，求的长度OA2cmr BC 【巩固】在中，是边上一点，以为直径的与边相切于点，RtABC90ACBDABBDOACE 连结并延长，与的延长线交于点DEBCF （1）求证：；BDBF （2）若，求的面积64BCAD，O 【例 13】如图所示，AB是直径，弦于点，且交于点，OODBCFOE 若AECODB （1）判断直线和的位置关系，并给出证明；BDO （2）当时，求的长108ABBC，BD 【巩固】已知：如图，O 的直径=8cm，是延长线上的一点，过点作O的切线，切

13、点为，ABPABPC 连接AC （1）若，求阴影部分的面积；120ACP （2）若点在的延长线上运动，的平分线交于点，PABCPAAC4 tan604 3PC _ O _ P _ F _ E _ D _ C _ B _ A D O E C BA _ P _ C _ O_ B_ A O F E D CB A F E C O D BA O PB C A . 的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出 8 8 3 3 OPC SSS 阴影扇形BO C 的度数 1 2 【例 14】在平行四边形中，以为直径作，ABCD1060ABADmD，ABO （1）求圆心到的距离(用含的代数式来表示)；O

14、CDm （2）当取何值时，与相切mCDO 【例 15】已知：如图，的直径与弦相交于，的切线与弦的延OABCDE AA BCBDOBFAD 长线相交于点F （1）求证：CDBF （2）连结，若的半径为，求线段的长BCO4 3 cos 4 BCDADCD、 【巩固】如图，在中，为边上一点，以为圆心，为半径ABC90C34ACBC，OBCOOB 作半圆与边和边分别交于点，连结BCABDE，DE （1）当时，求线段的长；3BD DE （2）过点作半圆的切线，当切线与边相交时，设交点为求证：是等腰三角EOACFFAE 形 典例分析：切线长定理及切线性质的应用典例分析：切线长定理及切线性质的应用 【例 1

15、6】在中，点在上，以为圆心的分别与、相切于、Rt ABC90AOBCOOAABACE ，若， ，则的半径为（ ）FABaACbOA A、 B、 C、 D、ab ab ab ab ab2 ab O A B C D _ E _ O _ F _ D _ C _ B _ A O F E D CB A C E O F B A . 【例 17】如图，与以为直径的相切于点，ABBCDCBCBCADOAE9AB 4CD 则四边形的面积为 。ABCD 【例 18】如图，过外一点作的两条切线、，切点分别为、，连结，在、OAPOAPAPBABABAB 、上分别取一点、，使，连结、，则PBPADEFADBEBDAFD

16、EDFEF （ ）EDF A、 B、 C、 D、90P 1 90 2 P180P 1 45 2 P- 【例例 19】如图，已知中， （定值） ，的圆心在上，并分别与ABCACBCCABOAOAB 、相切于点、。ACBCPQ （1）求；POQ （2）设是延长线上的一个动点，与相切于点，点在的延长线上，试判DCADEOAMECB 断的大小是否保持不变，并说明理由。DOE 【例例 20】如图，为的内切圆，点、为切点，若，则的OARt ABCDEF6AD 4BD ABC 面积为 。 【例例 21】正方形中，切以为直径的半圆于，交于，则（ ）ABCDAEBCECDF:CF FD A、12 B、13 C、

17、14 D、25 【巩固巩固】如图，以正方形的边为直径，在正方形内部作半圆，圆心为，切半圆于，交ABCDABOCGE 于，交的延长线于，。ADFBAG8GA （1）求的余弦值；（2）求的长。GAE C EO D B A P E O F D B A N QP O D C B A C E O F D B A E O F D CB A G E O F D C B A . 【例例 22】如图，是半的直径，点是半径的中点，点在线段上运动（不与点ABOAMOAPAM 重合） ，点在半上运动，且总保持，过点作的切线交的延长线于点MQOAPQPOQOABA 。C （1）当时，请你对的形状做出猜想，并给予证明；60QPAQCP （2）当时，的形状是 三角形；QPABQCP （3）则（1） （2）得出的结论，请进一步猜想，当点在线段上运动到任何位置时，PAM 一定是 三角形。QCP 【巩固巩固】如图，AB是O的直径，点C在O的半径AO上运动，PCAB交O于E，PT切O于 T，PC=2. .5。 （1）当CE正好是O的半径时，PT=2，求O的半径； （2）设，求出与之间的函数关系式； 2 PTyACxyx （3）PTC能不能变为以PC为斜边的等腰直角三角形？若能，请求出PTC的面积；若不能， 请说明理由。 P Q M C OBA T E P O A C B