高数-不定积分换元法ppt课件.ppt

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1、4.3.2 4.3.2 第二类换元法第二类换元法4.3.1 4.3.1 第一类换元法第一类换元法4.3 4.3 换换 元元 法法目录目录后退后退主主页页退退出出本节预备知识本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导4.3.1 第一类换元积分法第一类换元积分法一、预备知识一、预备知识1.复合函数的求导法则复合函数的求导法则dxdududydxdy2.微分的形式不变性微分的形式不变性duufudf)()( 目录目录后退后退主主页页退退出出本节预备知识本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导问题问题 xdx2cos,2sinCx 解决方法解决方法利用复合函数，设置中间变量利用复合函数，设置中间变量.过

2、程过程令令xu2,21dudx xdx2cosuducos21Cu sin21.2sin21Cx 二、第一类换元积分法二、第一类换元积分法目录目录后退后退主主页页退退出出本节预备知识本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导在一般情况下：在一般情况下：设设),()(ufuF 则则.)()( CuFduuf如果如果)(xu （可微）（可微）)()()()(xdxfdxxxf duuFdxxxf)( )()(由此可得换元法定理由此可得换元法定理duuFduuf)( )( cxfCuF )()(目录目录后退后退主主页页退退出出本节预备知识本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导 dxxxf)()( 上

3、述求积分的方法称为第一类换元积分上述求积分的方法称为第一类换元积分法法（凑微分法凑微分法） 。)(xu 具有连续具有连续 定理定理1 1设设)()(ufuF为的一个原函数，即的一个原函数，即 CuFduuf)()(导数，则有导数，则有CuF )( )()(xdxf duuf)(ux )(回代回代CxF )(目录目录后退后退主主页页退退出出本节预备知识本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导基本思路基本思路:1. 在被在被 积函数中找出复合函数积函数中找出复合函数 ,确定中间确定中间 变量变量 ;2. 将被积函数变形为该复合函数与中间变量的将被积函数变形为该复合函数与中间变量的 导数的乘积导数的

4、乘积 ;3. 与与 凑成中间变量的微分凑成中间变量的微分 ;4. 设中间变量设中间变量 为为 ,求出不定积分求出不定积分;5. 用用 回代回代.)(xf)()(xxfdxx)()(xd)(xux)()(xu例例1 1 求求.2sin xdx解解 xdx2sin;2cos21Cx dxx)22(sin21目录目录后退后退主主页页退退出出本节预备知识本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导 )2(2sin21xxduduuxsin212令Cu cos21例例2 2 求求.)14(20dxx 解解duu 2041Cu 21841dxx 20)14(Cx 21)14(84114 xu令回代回代dxx4

5、) 14(4120目录目录后退后退主主页页退退出出本节预备知识本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导)14()14(4120 xdx例例3 3 求求.)ln1(1dxxx 解解dxxx )ln1(1xuln1 duu1Cu ln.ln1lnCx 回代回代)(lnln11xdx )ln1(ln11xdx 目录目录后退后退主主页页退退出出本节预备知识本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导dxxx1ln11常用的几种凑微分形式: xbxafd)() 1 ( )(bxaf)(dbxa a1xxxfnnd)()2(1)(nxfnxdn1xxxfnd1)()3()(nxfnxdn1nx1万能凑幂法xx

6、xfdcos)(sin)4()(sin xfxsindxxxfdsin)(cos)5()(cosxfxcosd机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxxfdsec)(tan)6(2)(tan xfxtandxeefxxd)()7()(xefxedxxxfd1)(ln)8()(ln xfxlnd机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4 4 求求 xdxtan xdxtan解解dxxx cossincx coslnxxdcos)(cos xdxcotcx sinln同理同理目录目录后退后退主主页页退退出出本节预备知识本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导例例5 5 求求.122dxxa 解解d

7、xxa 221dxaxa 222111.arctan1Caxa )()(1112axdaxa 目录目录后退后退主主页页退退出出本节预备知识本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导例例6 6 求求.25812dxxx 解解dxxx 25812dxx 9)4(12dxx 13413122 341341312xdx.34arctan31Cx 目录目录后退后退主主页页退退出出本节预备知识本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导例例7 7 求求.)1(3dxxx 解解dxxx 3)1(dxxx 3)1(11)1()1(1)1(132xdxx .)1(21112Cxx 目录目录后退后退主主页页退退出出本节

8、预备知识本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导.sin.12;ln32.1149.10;1cos1. 9;sin. 8;1. 7;53. 6;. 532cos. 4;14. 3;211. 2;231. 122623222dxeedxxxxdxdxxxdxxxdxxxdxxxdtedttxdxdxxdxxxxt补充：求下列不定积分：补充：求下列不定积分：Cxxdxdxxx34223232)53(81)53(536153. 6Cxxdxdxxx332362arctan31)()(11311. 7目录目录后退后退主主页页退退出出本节预备知识本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导Ceededxee

9、CxxdxdxxxcxxdxdxxdxxCxxdxdxxxCxxdxdxxxxxxxxcos)(sinsin.12)ln32(61)ln32()ln32(31ln32.1132arctan61)32(321161321191491.101sin)1(1cos1cos1.9cos2)(sin2sin.822222习题解答习题解答例例8 8 求求dxax 221解解dxaxax )(1dxaxaxa )11(21.lnln21Caxaxa dxax 221 )()(21axaxdaxaxdaCaxaxa ln21目录目录后退后退主主页页退退出出本节预备知识本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导例

10、例9 9 求求解解 dxxcos1 dxxx2coscosCxx sin1sin1ln21.tanseclnCxx xdxsec xdxsec)(sinsin112 xdx利用例利用例8的结果的结果 xdxcsc.cotcsclnCxx 同理同理目录目录后退后退主主页页退退出出本节预备知识本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导例例10 10 求求dxx 2sinxdx 2sin解解dxx )2cos1(21 )2cos(21xdxdxCxx 2sin4121例例11 11 求求dxx 3cosdxx 3cos解解)(sin)sin1(2xdx Cxx 3sin31sin目录目录后退后退主主页

11、页退退出出本节预备知识本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导例例1212 求求解解.cos3cos xdxx xdxxcos3cos.4sin812sin41Cxx dxxx )4cos2(cos21利用公式利用公式)cos()cos(21coscosBABABA)4(4cos81)2(2cos41xxdxxd目录目录后退后退主主页页退退出出本节预备知识本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导)sin()sin(21cossinBABABA积化和差公式：积化和差公式：)cos()cos(21sinsinBABABA)cos()cos(21coscosBABABA)sin()sin(21sin

12、cosBABABA.sin2. 6;3sin13cos. 5;cossin. 4;2cos. 3;sincos. 2;sincos. 1cos222333xdxxxxdxxdxxdxxxxdxxx补充练习：补充练习：CxxxdxdxxCxxxddxxxCxxdxxdxx2sin612sin21)2(sin)2sin1(212cos.3sin21sin)(sinsincos2cos41)(coscossincos.1323233433习题解答习题解答CxdxdxCxxdxdxxxCxxdxxxdxdxxxxxx2ln2)(cos2sin2.6)3arctan(sin31)3(sin3sin113

13、13sin13cos.5)4sin41(81)4cos1(812sin41cossin.4coscoscos222224.3.2 第二类积分换元法第二类积分换元法一、预备知识一、预备知识1.三角函数及反函数的概念三角函数及反函数的概念2.反三角函数的有关公式反三角函数的有关公式目录目录后退后退主主页页退退出出本节预备知识本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导问题问题?11 dxx解决方法解决方法改变中间变量的设置方法改变中间变量的设置方法.过程过程tdtdx2 dttt 11)1(2 （应用（应用“凑微分凑微分”即可求出结果）即可求出结果）)0(2 ttx令令dxx 11 dttt12二、第

14、二类积分换元法二、第二类积分换元法目录目录后退后退主主页页退退出出本节预备知识本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导 定理定理2 2设设)(tx 是单调且有连续导数的函数，是单调且有连续导数的函数，)()(, 0ttft ）（且有原函数有原函数),(tF则有则有 dxxf)(dtttf )()(CtF )(CxF )(1)(tx )(1xt 上述求积分的方法称为第二类换元积分上述求积分的方法称为第二类换元积分法。法。目录目录后退后退主主页页退退出出本节预备知识本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导例例1313 求求解解).0(22 adxxatdtadxcos dtta 22cosdxxa

15、 22cos12tax22xa Ctta )2sin21(22 2,2ttaxsin 令令dxxa 22Cxaxaxa2222arcsin2目录目录后退后退主主页页退退出出本节预备知识本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导例例1414 求求解解).0(122 adxax令令taxtan tdtadx2sec dxax221tdtata2secsec1 tdtsec1tanseclnCtttax22ax 122lnCaaxax 2,2t目录目录后退后退主主页页退退出出本节预备知识本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导Caxx22ln说明说明(1)(1) 以上几例所使用的均为以上几例所使用的均

16、为三角代换三角代换.三角代换的三角代换的目的目的是化掉根式是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有一般规律如下：当被积函数中含有22)1(xa 可令可令;sintax 22)2(xa 可令可令;tantax 22)3(ax 可令可令.sectax 目录目录后退后退主主页页退退出出本节预备知识本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导dxaxadxxa2221111Caxaxdaxarcsin)(112例例1515 求求解解.11dxex xet 1令令, 12 tex,122dtttdx dxex 11dtt 122dttt 1111Ctt 11ln .11ln2Cxex ,1ln2 tx目录

17、目录后退后退主主页页退退出出本节预备知识本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导例例1616 求求解解dxxx 31dttdx56 令令)0(6 ttxdxxx 31dtttt2356dttt 11163dtttt )111(62Ctttt1ln66213123Cxxxx6631ln662131目录目录后退后退主主页页退退出出本节预备知识本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导dttt 163.21. 8;16. 7;)1(. 6;9. 5;1. 4;)1 (. 3;21. 2;3. 12232233xxdxdxxxxdxdxxedxxxdxxdxdxxxx补充练习：补充练习：CxxCttdt

18、ttdttttdtdxtxtxdxxx36)3(32632)3(2232, 3,33. 1233222原式解令练习解答练习解答CxxxCtttdttttdttdttdxtxtxdxx333222233321ln323)2(231ln3323)111(3133, 2,2211. 2原式解令CxxCttdttttdttdttdxtxtxdxxx6622355663arctan66arctan66)111 (6)1 (66,)1 (1. 3原式解令CxxxCtttCttdtttdtttdtdxtxdxx22923arcsin29cossin29292sin492922cos19cos3cos3cos

19、3,sin39. 5原式解令tx29xCxxCttdtttdttdtdxtxdxx2322321sincossecsecsec,tan)1(1. 6原式解令CxxCttdtttdttdtttttdttdxtxdxxx4arccos4164tan4) 1(sec4tan4tansec4sec4tan4tansec4,sec416. 72222原式解令tx4162xtx121x解原式dxxdxxdxxx222211121) 1(21211. 8Cxxdx21arcsin2121112基基本本积积分分表表;coslntan)14( Cxxdx;sinlncot)15( Cxxdx;)tanln(se

20、csec)16( Cxxxdx;)cotln(csccsc)17( Cxxxdx;arcsin1)18(22Caxdxxa 目录目录后退后退主主页页退退出出本节预备知识本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导;ln211)20(22Cxaxaadxxa ;2arcsin2)21(22222Cxaxaxadxxa .)ln(1)22(2222Caxxdxax ;arctan11)19(22Caxadxxa .)ln(1)23(2222Caxxdxax 目录目录后退后退主主页页退退出出本节预备知识本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导两类积分换元法：两类积分换元法： （一）（一）凑微分凑微分（二

21、）（二）三角代换、根式代换三角代换、根式代换基本积分表基本积分表(2)小结小结目录目录后退后退主主页页退退出出本节预备知识本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导练习题练习题求下列不定积分求下列不定积分 dxx73. 1 )73(7331xdx解解 dxx73 Cuduu23923121Cx 23)73(9273 xu回代回代目录目录后退后退主主页页退退出出本节预备知识本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导解解 dxxx 2)(ln. 2dxxx 2)(ln )(ln)(ln2xdxduu 2Cu 331Cx 3)(ln31xuln 回代回代目录目录后退后退主主页页退退出出本节预备知识本节目

22、的与要求本节重点与难点本节复习指导dxxx2cos. 3 )(cos2122xdx 解解dxxx2cos Cx 2sin21目录目录后退后退主主页页退退出出本节预备知识本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导解解dttt 12 dxx11. 4 dxx11tdtdxtx2, dttt 1112）（ dtdtt2112Ctt 21ln2Cxx 21ln2回代回代目录目录后退后退主主页页退退出出本节预备知识本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导 32)4(. 5xdxdttt 22sec8sec2解解 32)4(xdxtdtdxtx2sec2,tan2 得令dtt cos41Ct sin41Cx

23、x 4412回代回代t42 xx2目录目录后退后退主主页页退退出出本节预备知识本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导习题习题4-31.求下列不定积分求下列不定积分dxeedxedxxxdxxxdxxxdxxdxxdxxxxdttxdxxxx 2)10()9(sincos)8(cossin)7(2)6()23()5()12()4()32()23()3(4sin)2(5cos)1(32223642目录目录后退后退主主页页退退出出本节预备知识本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导 dxxdxdxxxdxedxxexdxxxdxxbdxxbaxdxxxdxdxxedxxxdxxxxxx232323

24、925)22(3sin)21()20()19(7sin5sin)18(3cos2sin)17()0(cossin)16(211)15(sin)14()13(3)12(ln1)11(2目录目录后退后退主主页页退退出出本节预备知识本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2.2.求下列不定积分求下列不定积分 dxxdxxxdxxxdxxxdxxxdxxx322223)1(1)6(4)5(9)4(1)3(1)2(2)1(目录目录后退后退主主页页退退出出本节预备知识本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导习题习题4-3答案答案CeCeCxCxCxCxCxCxxCtCtxx 3)2(2)10(2)9(si

25、n2)8(cos1)7(2)6()23(81)5()12(141)4()23(51)3(4cos4)2(sin51)1.(123322472目录目录后退后退主主页页退退出出本节预备知识本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导CxCxCeCeCxxCxxCxbabCxCxxCeCxCxxxx 53arcsin31)22(3cos91)21()20(21)19(12sin2412sin41)18(cos215cos101)17(cosln1)16(21ln21)15(cos3cos)14(2)13(2)3ln()12()ln2(1)11(23222目录目录后退后退主主页页退退出出本节预备知识本节目

26、的与要求本节重点与难点本节复习指导CxxCxxxCxxCxxxxCxxCxx 22261613121232521231)6(422arcsin2)5(3arccos39)4()1ln(6632)3()1(32)1(52)2()2(4)2(32)1.(2目录目录后退后退主主页页退退出出本节预备知识本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导目录目录后退后退主主页页退退出出本节的学习目的与要求本节的学习目的与要求 1掌握第一类换元积分公式；2理解第一类换元积分法并用其进行基本计算；3掌握第二类换元积分公式；4. 理解第二类换元积分法并用其进行基本计算。本节预备知识本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导目录目录后退后退主主页页退退出出本节的重点与难点本节的重点与难点 重点重点 第一类换元积分法 难点难点1 牢记一些常用的凑微分公式；2 第二类换元积分法使用对象。本节预备知识本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导