2016届高三文科数学总复习PPT课件：8.4直线与圆、圆与圆的位置关系.ppt

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1、第四节直线与圆、圆与圆的位置关系【知识梳理【知识梳理】1.1.必会知识必会知识 教材回扣填一填教材回扣填一填(1)(1)直线与圆的位置关系与判断方法直线与圆的位置关系与判断方法方法方法过程过程依据依据结论结论代代数数法法联立方程组消去联立方程组消去x(x(或或y)y)得一元二次方程得一元二次方程, ,计算计算=b=b2 2-4ac-4ac00_=0=0_00_几几何何法法计算圆心到直线的距离计算圆心到直线的距离d,d,比较比较d d与半径与半径r r的关系的关系. .相交时弦长为相交时弦长为 d_rd_r相交相交d_rd_r相切相切d_rd_r相离相离222 rd相交相交相切相切相离相离 (2

2、)(2)圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系设圆设圆O O1 1:(x-a:(x-a1 1) )2 2+(y-b+(y-b1 1) )2 2=r=r1 12 2(r(r1 10),0),圆圆O O2 2:(x-a:(x-a2 2) )2 2+(y-b+(y-b2 2) )2 2=r=r2 22 2(r(r2 20).0).方法方法位置关系位置关系几何法几何法: :圆心距圆心距d d与与r r1 1,r,r2 2的关系的关系代数法代数法: :两圆方程联立组两圆方程联立组成方程组的解的情况成方程组的解的情况外离外离_解解外切外切_实数解实数解相交相交_实数解实数解内切内切d=_(rd=_(r1 1rr

3、2 2) )一组实数解一组实数解内含内含0_d_|r0_d_|r1 1-r-r2 2|(r|(r1 1rr2 2) )无解无解drdr1 1+r+r2 2无无d=rd=r1 1+r+r2 2一组一组|r|r1 1-r-r2 2|dr|dr1 1+r+r2 2两组不同的两组不同的|r|r1 1-r-r2 2| | 00的前提下的前提下, ,利用根与系数的关系利用根与系数的关系, ,根据弦长公式根据弦长公式求弦长求弦长. .(2)(2)几何方法几何方法: :若弦心距为若弦心距为d,d,圆的半径长为圆的半径长为r,r,则弦长则弦长 提醒提醒: :代数法计算量较大代数法计算量较大, ,一般选用几何法一

4、般选用几何法. .222 rd .l【变式训练【变式训练】(2014(2014湖北高考湖北高考) )直线直线l1 1:y=x+a:y=x+a和和l2 2:y=x+b:y=x+b将单位圆将单位圆C:xC:x2 2+y+y2 2=1=1分成长度相等的四段弧分成长度相等的四段弧, ,则则a a2 2+b+b2 2= =. .【解析【解析】依题意，圆心依题意，圆心(0,0)(0,0)到两条直线的距离相等，且每段弧的长到两条直线的距离相等，且每段弧的长度都是圆周的度都是圆周的 圆心到圆心到l1 1:y=x+a:y=x+a的距离为的距离为 圆心到圆心到l2 2: :y=x+by=x+b的距离为的距离为 即

5、即所以所以a a2 2=b=b2 2=1=1，故，故a a2 2+b+b2 2=2.=2.答案：答案：2 214，22|0 101a |11 ，22|0 101b|11 ，aba2cos 452222 ，【加固训练【加固训练】1.(20151.(2015丽水模拟丽水模拟) )若圆心在若圆心在x x轴上轴上, ,半径为半径为 的圆的圆C C位于位于y y轴左侧轴左侧, ,且被直线且被直线x+2y=0 x+2y=0截得的弦长为截得的弦长为4,4,则圆则圆C C的方程是的方程是( () )A.(x- )A.(x- )2 2+y+y2 2=5 B.(x+ )=5 B.(x+ )2 2+y+y2 2=5

6、=5C.(x-5)C.(x-5)2 2+y+y2 2=5 D.(x+5)=5 D.(x+5)2 2+y+y2 2=5=5555【解析【解析】选选B.B.设圆心为设圆心为(a,0)(a(a,0)(a0)0)，因为截得的弦长为，因为截得的弦长为4 4，所以弦，所以弦心距为心距为1 1，则，则 解得解得a=- ,a=- ,所以，所求圆的方程为所以，所求圆的方程为:(x+ ):(x+ )2 2+y+y2 2=5.=5.22a2 0d112 ，552.2.直线直线ax-y+2a=0ax-y+2a=0与圆与圆x x2 2+y+y2 2=9=9的位置关系是的位置关系是( () )A.A.相离相离B.B.相切

7、相切C.C.相交相交D.D.不确定不确定【解析【解析】选选C.C.直线直线ax-y+2a=0ax-y+2a=0a(x+2)-y=0,a(x+2)-y=0,即直线恒过点即直线恒过点(-2,0),(-2,0),因因为点为点(-2,0)(-2,0)在圆内在圆内, ,所以直线与圆相交所以直线与圆相交. .3.3.过圆过圆x x2 2+y+y2 2=1=1上一点作圆的切线与上一点作圆的切线与x x轴、轴、y y轴的正半轴交于轴的正半轴交于A,BA,B两点两点, ,则则|AB|AB|的最小值为的最小值为( () )A. B. C.2 D.3A. B. C.2 D.323【解析【解析】选选C.C.设圆上的点

8、为设圆上的点为(x(x0 0，y y0 0) )，其中，其中x x0 00 0，y y0 00 0，则切线方程为则切线方程为x x0 0 x xy y0 0y y1.1.分别令分别令x x0 0，y y0 0得得0011A(0)B(0)xy，22220000001111AB()()2.xyxyx y2所以考点考点2 2 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系【典例【典例2 2】(1)(1)与圆与圆x x2 2+y+y2 2+4x-4y+7=0+4x-4y+7=0和和x x2 2+y+y2 2-4x-10y+13=0-4x-10y+13=0都相切的直都相切的直线共有线共有( () )A.1A.1条条

9、B.2B.2条条 C.3C.3条条 D.4D.4条条(2)(2)圆圆O O1 1的方程为的方程为:x:x2 2+(y+1)+(y+1)2 2=4,=4,圆圆O O2 2的圆心坐标为的圆心坐标为(2,1).(2,1).若圆若圆O O1 1与圆与圆O O2 2外切外切, ,求圆求圆O O2 2的方程的方程; ;若圆若圆O O1 1与圆与圆O O2 2相交于相交于A,BA,B两点两点, ,且且|AB|= |AB|= 求圆求圆O O2 2的方程的方程. .2 2，【解题提示【解题提示】(1)(1)先判断两圆的位置关系先判断两圆的位置关系, ,然后再判断切线的条数然后再判断切线的条数. .(2)(2)根

10、据两圆外切确定圆根据两圆外切确定圆O O2 2的半径的半径, ,然后求圆的方程然后求圆的方程. .若两圆相交若两圆相交, ,则两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差则两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去消去x x2 2,y,y2 2项得到项得到. .【规范解答【规范解答】(1)(1)选选C.C.由题意知由题意知, ,两圆圆心分别为两圆圆心分别为(-2,2)(-2,2)与与(2,5),(2,5),半半径分别为径分别为1 1和和4,4,圆心距为圆心距为 =5,=5,显然两圆外切显然两圆外切, ,故公切故公切线的条数为线的条数为3.3.(2)(2)因为圆因为圆O O1 1的方程为的

11、方程为:x:x2 2+(y+1)+(y+1)2 2=4,=4,所以圆心所以圆心O O1 1(0,-1),(0,-1),半径半径r r1 1=2.=2.设圆设圆O O2 2的半径为的半径为r r2 2, ,由两圆外切知由两圆外切知|O|O1 1O O2 2|=r|=r1 1+r+r2 2, ,圆圆O O2 2的方程为的方程为(x-2)(x-2)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=12-8 .=12-8 .222225 22122121O O201 12 2rO Or2 22又，所以，2设圆设圆O O2 2的方程为的方程为(x-2)(x-2)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=r=r2 22

12、2，又圆又圆O O1 1的方程为：的方程为：x x2 2+(y+1)+(y+1)2 2=4,=4,相减得公共弦相减得公共弦ABAB所在的直线方程为所在的直线方程为4x+4y+r4x+4y+r2 22 2-8=0.-8=0.作作O O1 1HABHAB于于H H，则，则|AH|=|AH|=因为因为r r1 1=2=2，所以，所以|O|O1 1H|=H|=又又|O|O1 1H|=H|=所以所以 得得r r2 22 2=4=4或或r r2 22 2=20=20，所以圆所以圆O O2 2的方程为的方程为(x-2)(x-2)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=4=4或或(x-2)(x-2)2 2+(y

13、-1)+(y-1)2 2=20.=20.1AB22，221rAH2，2222224 041r8r124 244 ，22r1224 2，【规律方法【规律方法】1.1.判断两圆位置关系的方法判断两圆位置关系的方法常用几何法常用几何法, ,即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系, ,一般一般不用代数法不用代数法. .2.2.两圆公共弦长的求法两圆公共弦长的求法两圆公共弦长两圆公共弦长, ,在其中一圆中在其中一圆中, ,由弦心距由弦心距d,d,半弦长半弦长 , ,半径半径r r所在线段构所在线段构成直角三角形成直角三角形, ,利用勾股定理求解利用勾股定

14、理求解. .2l【变式训练【变式训练】若若O:xO:x2 2+y+y2 2=5=5与与O O1 1:(x-m):(x-m)2 2+y+y2 2=20(mR)=20(mR)相交于相交于A,BA,B两两点点, ,且两圆在点且两圆在点A A处的切线互相垂直处的切线互相垂直, ,则线段则线段ABAB的长度是的长度是. .【解析【解析】依题意得依题意得|OO|OO1 1| | 5 5，且，且OOOO1 1A A是直角三角形，是直角三角形，OOOO1 1A A的面积的面积因此因此|AB|AB|答案：答案：4 452011AB11|OO |OA| AO222，112 |OA| AO252 54.OO5【加固

15、训练【加固训练】1.1.设两圆设两圆C C1 1,C,C2 2都和两坐标轴相切都和两坐标轴相切, ,且都过点且都过点(4,1),(4,1),则两则两圆心的距离圆心的距离|C|C1 1C C2 2|=(|=() )A.4 B.4 C.8 D.8A.4 B.4 C.8 D.8 22【解析【解析】选选C.C.依题意依题意, ,可设圆心坐标为可设圆心坐标为(a,a(a,a) )、半径为、半径为r,r,其中其中r=a0,r=a0,因此圆的方程是因此圆的方程是(x-a)(x-a)2 2+(y-a)+(y-a)2 2=a=a2 2, ,由圆过点由圆过点(4,1)(4,1)得得(4-a)(4-a)2 2+(1

16、-a)+(1-a)2 2=a=a2 2, ,即即a a2 2-10a+17=0,-10a+17=0,则该方程的两根分别是圆心则该方程的两根分别是圆心C C1 1,C,C2 2的横坐标的横坐标, ,|C|C1 1C C2 2|= |= =8, =8,选选C.C.22104 17 2.2.若圆若圆(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=b=b2 2+1+1始终平分圆始终平分圆(x+1)(x+1)2 2+(y+1)+(y+1)2 2=4=4的周长的周长, ,则则a,ba,b满足的关系是满足的关系是( () )A.aA.a2 2+2a+2b-3=0+2a+2b-3=0B.aB.a2

17、2+b+b2 2+2a+2b+5=0+2a+2b+5=0C.aC.a2 2+2a+2b+5=0+2a+2b+5=0D.aD.a2 2-2a-2b+5=0-2a-2b+5=0【解析解析】选选C.C.两圆的公共弦必过两圆的公共弦必过(x+1)(x+1)2 2+(y+1)+(y+1)2 2=4=4的圆心的圆心, ,两圆相减得两圆相减得相交弦的方程为相交弦的方程为-2(a+1)x-2(b+1)y+a-2(a+1)x-2(b+1)y+a2 2+1=0,+1=0,将圆心坐标将圆心坐标(-1,-1)(-1,-1)代入代入可得可得a a2 2+2a+2b+5=0.+2a+2b+5=0.3.(20153.(20

18、15天津模拟天津模拟) )两个圆两个圆x x2 2+y+y2 2+2ax+a+2ax+a2 2-4=0-4=0与与x x2 2+y+y2 2-4by-1+4b-4by-1+4b2 2=0=0恰恰有三条公切线有三条公切线, ,若若aR,bR,ab0,aR,bR,ab0,则则 的最小值为的最小值为. .2211ab【解析解析】两圆有三条公切线两圆有三条公切线, ,说明两圆外切说明两圆外切. .两个圆的方程分别为两个圆的方程分别为(x+a)(x+a)2 2+y+y2 2=2=22 2,x,x2 2+(y-2b)+(y-2b)2 2=1=12 2, ,所以所以a,ba,b满足满足 =3,=3,即即a

19、a2 2+4b+4b2 2=9,=9,所以所以 等号当且仅当等号当且仅当a a2 2=2b=2b2 2时成立时成立. .答案答案: :1 122a4b22222222222222111111a4b1a4b(a4b ) ()(5)(52) 1ab9ab9ba9ba ，考点考点3 3 直线与圆的综合问题直线与圆的综合问题知知考情考情直线与圆的综合问题是高考中的一个命题热点直线与圆的综合问题是高考中的一个命题热点, ,主要以选择、填主要以选择、填空题的形式出现空题的形式出现, ,考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离, ,有时也有时也与函数、不等式交汇命题与函数

20、、不等式交汇命题. .明明角度角度命题角度命题角度1:1:根据直线与圆的位置关系解决最值、弦长等问题根据直线与圆的位置关系解决最值、弦长等问题【典例【典例3 3】(2014(2014江西高考江西高考) )在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,A,B,A,B分别是分别是x x轴和轴和y y轴上的动点轴上的动点, ,若以若以ABAB为直径的圆为直径的圆C C与直线与直线2x+y-4=02x+y-4=0相切相切, ,则圆则圆C C面积的最面积的最小值为小值为( () )435A.B.C. 62 5D.544【解题提示【解题提示】数形结合，找到圆的半径最小时是怎样的情况即可数形结合，找到圆的半径最小时

21、是怎样的情况即可. .【规范解答【规范解答】选选A.A.由题意得圆由题意得圆C C过坐标原点，当原点到已知直线的过坐标原点，当原点到已知直线的距离恰为圆的直径时，圆的面积最小，距离恰为圆的直径时，圆的面积最小，此时圆的半径为此时圆的半径为圆的面积为圆的面积为2 00412255 ，224S().55 命题角度命题角度2 2：已知直线与圆的位置关系确定直线已知直线与圆的位置关系确定直线( (或圆或圆) )的方程的方程【典例【典例4 4】过点过点( ( ，0)0)引直线引直线l与曲线与曲线y= y= 相交于相交于A A，B B两点，两点，O O为坐标原点，当为坐标原点，当AOBAOB的面积取最大值

22、时，直线的面积取最大值时，直线l的斜率等于的斜率等于( )( )【解题提示【解题提示】确定曲线的形状，利用几何法求得取最值时的情况，再确定曲线的形状，利用几何法求得取最值时的情况，再求求l的斜率的斜率. .221x333A.B.C.D.3333【规范解答【规范解答】选选B.B.如图，设直线如图，设直线ABAB的方程为的方程为x=my+ (x=my+ (显然显然m0)m0)0，所以所以m m2 211，由根与系数的关系得由根与系数的关系得222xmy2y1x ,，21212222 2m1yyy y1m1m ，所以所以S SAOBAOB=S=SPOBPOB-S-SPOAPOA= = |OP|OP|

23、y|y2 2-y-y1 1| |令令t=1+mt=1+m2 2(t2)(t2)，所以所以S SAOBAOB= = 所以当所以当 即即t=4t=4，m=- m=- 时，时，AOBAOB的面积取得最大值，此时，的面积取得最大值，此时，直线直线l的斜率为的斜率为1222222224 m128m42.21m21m1m22t2111222()tt48 ，11t4，33.3悟悟技法技法1.1.解决直线与圆综合问题的常用结论解决直线与圆综合问题的常用结论(1)(1)圆与直线圆与直线l相切的情形相切的情形: :圆心到圆心到l的距离等于半径的距离等于半径, ,圆心与切点的连圆心与切点的连线垂直于线垂直于l. .

24、(2)(2)圆与直线圆与直线l相交的情形相交的情形: :圆心到圆心到l的距离小于半径的距离小于半径, ,过圆心而垂直过圆心而垂直于于l的直线平分的直线平分l被圆截得的弦被圆截得的弦; ;连接圆心与弦的中点的直线垂直于弦连接圆心与弦的中点的直线垂直于弦; ;过圆内一点的所有弦中过圆内一点的所有弦中, ,最短的是垂直于过这点的直径的那条弦最短的是垂直于过这点的直径的那条弦, ,最最长的是过这点的直径长的是过这点的直径. .2.2.解决直线与圆综合问题的一般思路解决直线与圆综合问题的一般思路: :分析题意分析题意, ,根据直线与圆位置关系列出相应关系式根据直线与圆位置关系列出相应关系式, ,然后求解

25、然后求解. .通通一类一类1.(20131.(2013山东高考山东高考) )过点过点(3,1)(3,1)作圆作圆(x-1)(x-1)2 2+y+y2 2=1=1的两条切线的两条切线, ,切点分切点分别为别为A,B,A,B,则直线则直线ABAB的方程为的方程为( () )A.2x+y-3=0A.2x+y-3=0B.2x-y-3=0B.2x-y-3=0C.4x-y-3=0C.4x-y-3=0D.4x+y-3=0D.4x+y-3=0【解析【解析】选选A.A.由图象可知由图象可知,A(1,1),A(1,1)是一个切点是一个切点, ,根据切线的特点可知根据切线的特点可知过点过点A,BA,B的直线与过点的

26、直线与过点(3,1),(1,0)(3,1),(1,0)的直线互相垂直的直线互相垂直,k,kABAB= =-2,= =-2,所以直线所以直线ABAB的方程为的方程为y-1=-2(x-1),y-1=-2(x-1),即即2x+y-3=0.2x+y-3=0.1103 12.(20152.(2015衡水模拟衡水模拟) )若直线若直线y=k(x-2)y=k(x-2)与曲线与曲线 有交点，有交点，则则( )( )A.kA.k有最大值有最大值 ，最小值，最小值- - B.kB.k有最大值有最大值 , ,最小值最小值- - C.kC.k有最大值有最大值0 0，最小值，最小值- - D.kD.k有最大值有最大值0

27、 0，最小值，最小值- -2y1x333312123312【解析【解析】选选C.C.如图：当直线与半圆相切时，直线的斜率如图：当直线与半圆相切时，直线的斜率k k最小最小. .此时此时 ( (舍去正值舍去正值) )；当直线过半圆圆心时，当直线过半圆圆心时，k k最大，为最大，为0.0.2|k 002k |31,k3k1 所以3.(20153.(2015杭州模拟杭州模拟) )过原点且倾斜角为过原点且倾斜角为6060的直线被圆的直线被圆x x2 2+y+y2 2-4y=0-4y=0所截得的弦长为所截得的弦长为. .【解析【解析】依题设知：直线方程为依题设知：直线方程为y= x,y= x,圆心到该直

28、线的距离圆心到该直线的距离答案：答案：22302d1,2 212 3.3 1 所以弦长2 33创新体验创新体验7 7 与圆有关的交汇问题与圆有关的交汇问题【创新点拨【创新点拨】1.1.高考考情高考考情: :与圆有关的创新交汇问题是近几年高考命题的一个热点与圆有关的创新交汇问题是近几年高考命题的一个热点, ,此类问题多以其他相关知识为依托此类问题多以其他相关知识为依托, ,考查圆的方程以及直线与圆的位考查圆的方程以及直线与圆的位置关系置关系, ,考查分类讨论思想考查分类讨论思想; ;或以圆为依托考查基本不等式求最值等或以圆为依托考查基本不等式求最值等. .2.2.命题形式命题形式: :常见的有与

29、集合问题相交汇、与线性规划相交汇、与不常见的有与集合问题相交汇、与线性规划相交汇、与不等式相交汇、与向量相交汇等等式相交汇、与向量相交汇等. .【新题快递【新题快递】1.(20151.(2015淮安模拟淮安模拟) )设设m,nRm,nR, ,若直线若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆与圆(x-(x-1)1)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=1=1相切相切, ,则则m+nm+n的取值范围是的取值范围是( () )A.1313 B.(1313)C.22 2 22 2 D.(22 222 2)，【解析【解析】选选D.D.圆心圆心(1(1，1)1)到直线到

30、直线(m+1)x+(n+1)y-2=0(m+1)x+(n+1)y-2=0的距离的距离222mn1m1n11mn1mnmn4mn22 2mn22 2. 为，所以，所以或2.(20152.(2015泰安模拟泰安模拟)M=(x)M=(x，y)|y= y)|y= ，a0a0，N=(xN=(x，y)|(x-y)|(x-1)1)2 2+(y- )+(y- )2 2=a=a2 2，a0a0，则，则MNMN 时，时，a a的最大值与最小值分别的最大值与最小值分别为为_、_._.222ax3【解析【解析】因为集合因为集合M=(xM=(x，y)|yy)|y= = ，a0a0，所以集合所以集合M M表示以表示以O(

31、0O(0，0)0)为圆心，半径为为圆心，半径为r r1 1= a= a的上半圆的上半圆. .同理，同理，集合集合N N表示以表示以O(1O(1， ) )为圆心，半径为为圆心，半径为r r2 2=a=a的圆上的点的圆上的点. .这两个圆的半径随着这两个圆的半径随着a a的变化而变化，但的变化而变化，但|OO|=2.|OO|=2.如图所示如图所示. .当两圆外切时，由当两圆外切时，由 a+aa+a=2=2，得，得a=2 -2a=2 -2；当两圆内切时，由当两圆内切时，由 a-a=2a-a=2，得，得a=2 +2.a=2 +2.所以所以a a的最大值为的最大值为2 +22 +2，最小值为，最小值为2

32、 -22 -2答案：答案：2 +2 2 -22 +2 2 -2222ax23222222223.(20153.(2015东莞模拟东莞模拟) )如果点如果点P P在平面区域在平面区域点点Q Q在曲线在曲线x x2 2+(y+2)+(y+2)2 2=1=1上上, ,那么那么|PQ|PQ|的最小值为的最小值为. .【解析【解析】由点由点P P在平面区域在平面区域 上上, ,画出点画出点P P所在的平面所在的平面区域区域. .由点由点Q Q在圆在圆x x2 2+(y+2)+(y+2)2 2=1=1上上, ,画出点画出点Q Q所在的圆所在的圆, ,如图所示如图所示. .2xy20,x2y10,xy20

33、上2xy20,x2y10, xy20 由题意由题意, ,得得|PQ|PQ|的最小值为圆心的最小值为圆心(0,-2)(0,-2)到直线到直线x-2y+1=0 x-2y+1=0的距离减去半的距离减去半径径1.1.又圆心又圆心(0,-2)(0,-2)到直线到直线x-2y+1=0 x-2y+1=0的距离为的距离为 此时垂此时垂足足(-1,0)(-1,0)在满足条件的平面区域内在满足条件的平面区域内, ,故故|PQ|PQ|的最小值为的最小值为 -1.-1.答案答案: : -1 -122|0221|512 ，55【备考指导【备考指导】1.1.准确转化准确转化: :解决此类创新问题时解决此类创新问题时, ,一定要读懂题目的本质含义一定要读懂题目的本质含义, ,紧扣紧扣题目所给条件题目所给条件, ,结合题目要求进行恰当转化结合题目要求进行恰当转化, ,将问题转化为熟知的问题将问题转化为熟知的问题解决解决. .2.2.方法选取方法选取: :对于此类问题要特别注意圆的定义及其性质的应用对于此类问题要特别注意圆的定义及其性质的应用, ,要根要根据条件据条件, ,合理选择代数方法或几何方法合理选择代数方法或几何方法, ,对于涉及参数的问题对于涉及参数的问题, ,要注意要注意参数的变化对问题的影响参数的变化对问题的影响, ,以便确定是否需要分类讨论以便确定是否需要分类讨论. .