导数知识点填空版PPT课件.ppt

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1、13.1导数的概念及运算导数的概念及运算(A)函数函数f(x)在在点点x0处的导数处的导数的概念的概念0f ( x )xyx如如果果函函数数在在处处的的增增量量与与自自变变量量的的增增量量的的比比值值，00 x0 x0f ( xx )f ( x )yx0limlimxx 当当时时的的极极限限存存在在，则称则称y=f(x)在点在点x0处可导，并称称此极限值为函数处可导，并称称此极限值为函数y=f(x)在在x0处的导数处的导数.00 x xf ( x )y记记 或或作作：(B)由定义求点由定义求点求求函数函数y=f(x)在在x0处的导数的方法：处的导数的方法： 00(1)yf ( xx )f (

2、x );求求增增量量 00f ( xx )f ( x )y(2 ) ;xx算算比比值值 x0y(3)ylim.x求求极极限限 1.导数的概念导数的概念00 xx0f ( x )f ( x )limxx2，导，导(函函)数的概念：数的概念：这时，对于开区间这时，对于开区间 (a,b)内每一个确定的值内每一个确定的值 x0，都对应着一个确定的导数都对应着一个确定的导数 f (x0)，这样就在开区，这样就在开区间间(a,b)内构成了一个新的函数，我们把这一新函内构成了一个新的函数，我们把这一新函数叫做数叫做 f(x) 在开区间在开区间(a,b)内的内的导函数导函数，简称为简称为导数导数，记作，记作:

3、f (x)如果函数如果函数 f(x)在开区间在开区间 (a,b) 内每一点都可导，内每一点都可导，就说就说f(x)在开区间在开区间 (a,b)内可导内可导x(y )需需指指明明自自变变量量时时记记作作y 或或 3，f (x0)与与f (x)之间的关系：之间的关系：当当x0(a,b)时时,函数函数y=f(x)在点在点x0处的导数处的导数f (x0)，重要结论：重要结论：如果函数如果函数y=f(x)在点在点x0处可导处可导,那么那么函数函数y=f(x)在点在点X0处处_.0)()(0 xxxfxf等于等于_在点在点x0处的函数值。处的函数值。(2)物体在物体在t0时刻的瞬时速度时刻的瞬时速度: (

4、1)曲线在曲线在P(x0,y0)的切线斜率的切线斜率:4.导数的实际意义：导数的实际意义：(3)物体在物体在t0时刻的瞬时时刻的瞬时加加速度速度: 5.几种常见函数的导函数：几种常见函数的导函数：公式公式3 (sinx)= 公式公式4 (cosx)= 公式公式1 C = (C为常数为常数)公式公式2 (xn) = (nQ)(ln x ) a5 (log x) 公公式式x6 (a ) 公公式式 x( e) 6,函数四则运算的导数：函数四则运算的导数：(uv ) (1)和和(或差或差)的导数的导数:(2)积的导数积的导数:(u v ) (3)商的导数商的导数:u() ;(v0 )v 7,复合函数求

5、导复合函数求导:x,u( x )xu( x ),一一般般地地 设设函函数数在在 处处有有导导数数uyf(u)xuyf(u),函函数数在在在在点点 的的对对应应点点 处处有有导导数数y f ( ( x )x 则则复复合合函函数数 = =在在点点 处处也也有有导导数数，xy 且且13.2导数的应用导数的应用1.函数的单调性函数的单调性(1)(1)一般地一般地, ,设函数设函数y=f(x)在某个区间内可导在某个区间内可导, ,f ( x )0如如果果f ( x )0如如果果(2)利用结论求可导函数单调区间的一般步骤：利用结论求可导函数单调区间的一般步骤：求函数的求函数的_._.求求f(x),令令f(

6、x)=0,_， 求出它在定义域内的实根求出它在定义域内的实根.利用上面的实根把利用上面的实根把_分成若干小区间分成若干小区间.确定确定f(x)在各小区间内的在各小区间内的_,根据根据f(x)的的 _判断函数判断函数f(x)在相应小区间上的单调性在相应小区间上的单调性.2.可导函数的极值可导函数的极值.一般的，设函数一般的，设函数f(x)在点在点x0_，如果对如果对x0附近的附近的_，都有，都有_,则则f(x0)是函数是函数f(x)的一个极大值的一个极大值, 记作记作y极大值极大值= f(x0)如果对如果对x0附近的附近的_，都有，都有_,oxyoxy0 x0 x使函数取得极值的使函数取得极值的

7、点点x0称为称为_(1)函数极值的概念：函数极值的概念：则则f(x0)是函数是函数f(x)的一个极小值的一个极小值, 记作记作y极小值极小值= f(x0)求求_求求_(2)可导函数极值的判断可导函数极值的判断 一般地一般地,当当f(x)在点在点x0处连续时处连续时, A.如果在如果在x0附近的左侧附近的左侧f (x)_0，右侧，右侧f (x)_0，则则f (x0 )是极大值；是极大值；B.如果在如果在x0附近的左侧附近的左侧f (x)_0，右侧，右侧f (x)_0，则则f (x0 )是极小值；是极小值；(极值即峰、谷处的值）极值即峰、谷处的值）(3)求可导函数极值的步骤：求可导函数极值的步骤：

8、判断方程根左右导函数的正负判断方程根左右导函数的正负,求出极值求出极值.小结：极值点发生在单调性改变的位置小结：极值点发生在单调性改变的位置.求原函数求原函数_例例 求函数求函数 y=(x2-1)3+1 的极值。的极值。解解：发现发现f(x0)=0时，时，x0_是极值点是极值点.若极值点处的若极值点处的_存在，则一定有存在，则一定有f (x0)=0 . yxO3,极值与极值与f (x0)=0的关系：的关系：aby f(x)x1 f (x1) 0 x2 f (x2) 0 x3 f (x3) 0 x4 f (x5) 0 x5(1) f (x0)=0时时，f(x0)_是极值是极值.(2)f(x0)是

9、极值时，是极值时，_有有f (x0)=0.3: yx ,x00例例在在时时导导数数等等于于 ，但但不不是是极极值值例：如图例：如图x4的位置的位置,没有切线没有切线(此点不可导此点不可导).(3)若极值点处的若极值点处的_存在，则一定有存在，则一定有f (x0)=0 .(2)极值与最值有何关系：极值与最值有何关系： yxOx4x3x1a y=f(x)x5bx2极限是极限是_概念；最值是概念；最值是_概念。概念。极值极值_是最值，最值也是最值，最值也_是极值是极值4.函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值(1)连续函数的最大值和最小值定理：连续函数的最大值和最小值定理： f(x)在闭区间在闭区

10、间 a , b上有最大值和最小值。上有最大值和最小值。如果如果f(x)是闭区间是闭区间a , b上的连续函数，那么上的连续函数，那么(3)求可导函数的最值的步骤：求可导函数的最值的步骤：设函数设函数f(x)在在a , b上连续，在上连续，在(a , b)内可导内可导求求 f(x) 在在_；将将f(x)的极值点的的极值点的_与与_比较；比较；最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。以下为完整版以下为完整版13.1导数的概念及运算导数的概念及运算(A)函数函数f(x)在在点点x0处的导数处的导数的概念的概念0f ( x )xyx如如果果函函数数在在处处的的增

11、增量量与与自自变变量量的的增增量量的的比比值值，00 x0 x0f ( xx )f ( x )yx0limlimxx 当当时时的的极极限限存存在在，则称则称y=f(x)在点在点x0处可导，并称称此极限值为函数处可导，并称称此极限值为函数y=f(x)在在x0处的导数处的导数.00 x xf ( x )y记记 或或作作：(B)由定义求点由定义求点求求函数函数y=f(x)在在x0处的导数的方法：处的导数的方法： 00(1)yf ( xx )f ( x );求求增增量量 00f ( xx )f ( x )y(2 ) ;xx算算比比值值 x0y(3)ylim.x求求极极限限 1.导数的概念导数的概念00

12、 xx0f ( x )f ( x )limxx2，导，导(函函)数的概念：数的概念：这时，对于开区间这时，对于开区间 (a,b)内每一个确定的值内每一个确定的值 x0，都对应着一个确定的导数都对应着一个确定的导数 f (x0)，这样就在开区，这样就在开区间间(a,b)内构成了一个新的函数，我们把这一新函内构成了一个新的函数，我们把这一新函数叫做数叫做 f(x) 在开区间在开区间(a,b)内的内的导函数导函数，简称为简称为导数导数，记作，记作:f (x)如果函数如果函数 f(x)在开区间在开区间 (a,b) 内每一点都可导，内每一点都可导，就说就说f(x)在开区间在开区间 (a,b)内可导内可导

13、x(y )需需指指明明自自变变量量时时记记作作y 或或 3，f (x0)与与f (x)之间的关系：之间的关系：当当x0(a,b)时时,函数函数y=f(x)在点在点x0处的导数处的导数f (x0)，重要结论：重要结论：如果函数如果函数y=f(x)在点在点x0处可导处可导,那么那么函数函数y=f(x)在点在点X0处处_.0)()(0 xxxfxf等于等于_在点在点x0处的函数值。处的函数值。(2)物体在物体在t0时刻的瞬时速度时刻的瞬时速度: 0vs(t )0kf ( x )斜斜率率(1)曲线在曲线在P(x0,y0)的切线斜率的切线斜率:4.导数的实际意义：导数的实际意义：(3)物体在物体在t0时

14、刻的瞬时时刻的瞬时加加速度速度: 0av(t )连续连续导函数导函数f (x)5.几种常见函数的导函数：几种常见函数的导函数：公式公式3 (sinx)=cosx公式公式4 (cosx)= -sinx公式公式1 C = 0 (C为常数为常数)公式公式2 (xn) =nxn-1 (nQ)1(ln x )xaa15 (log x)log ex公公式式xx6 (a )a lna公公式式 xx( e)e 6,函数四则运算的导数：函数四则运算的导数：vuvu )( (1)和和(或差或差)的导数的导数:(2)积的导数积的导数:vuvuvu )( (3)商的导数商的导数:2uu vuv() ;(v0 )vv

15、7,复合函数求导复合函数求导:x,u( x )xu( x ),一一般般地地 设设函函数数在在 处处有有导导数数uyf(u)xuyf(u),函函数数在在在在点点 的的对对应应点点 处处有有导导数数y f ( ( x )x 则则复复合合函函数数 = =在在点点 处处也也有有导导数数，xuxyy u且且13.2导数的应用导数的应用1.函数的单调性函数的单调性(1)(1)一般地一般地, ,设函数设函数y=f(x)在某个区间内可导在某个区间内可导, ,f ( x )0如如果果f ( x )0如如果果(2)利用结论求可导函数单调区间的一般步骤：利用结论求可导函数单调区间的一般步骤：求函数的求函数的_._.

16、求求f(x),令令f(x)=0,_， 求出它在定义域内的实根求出它在定义域内的实根.利用上面的实根把利用上面的实根把_分成若干小区间分成若干小区间.确定确定f(x)在各小区间内的在各小区间内的_,根据根据f(x)的的 _判断函数判断函数f(x)在相应小区间上的单调性在相应小区间上的单调性.f(x)为为增增函函数数f(x)为为减减函函数数定义域定义域解此方程解此方程定义域定义域符号符号符号符号2.可导函数的极值可导函数的极值.一般的，设函数一般的，设函数f(x)在点在点x0_，如果对如果对x0附近的附近的_，都有，都有_,则则f(x0)是函数是函数f(x)的一个极大值的一个极大值, 记作记作y极

17、大值极大值= f(x0)如果对如果对x0附近的附近的_，都有，都有_,oxyoxy0 x0 x使函数取得极值的使函数取得极值的点点x0称为称为_(1)函数极值的概念：函数极值的概念：则则f(x0)是函数是函数f(x)的一个极小值的一个极小值, 记作记作y极小值极小值= f(x0)所有点所有点f(x)f(x0)附近有定义附近有定义极值点极值点求求_求求_(2)可导函数极值的判断可导函数极值的判断 一般地一般地,当当f(x)在点在点x0处连续时处连续时, A.如果在如果在x0附近的左侧附近的左侧f (x)_0，右侧，右侧f (x)_0，则则f (x0 )是极大值；是极大值；B.如果在如果在x0附近

18、的左侧附近的左侧f (x)_0，右侧，右侧f (x)_0，则则f (x0 )是极小值；是极小值；(极值即峰、谷处的值）极值即峰、谷处的值）(3)求可导函数极值的步骤：求可导函数极值的步骤：导数导数f (x)方程方程f (x)=0的根的根判断方程根左右导函数的正负判断方程根左右导函数的正负,求出极值求出极值.小结：极值点发生在单调性改变的位置小结：极值点发生在单调性改变的位置.求原函数求原函数_定义域定义域例例 求函数求函数 y=(x2-1)3+1 的极值。的极值。x(-,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,+)y000y解解：定义域为：定义域为R， y=6x(x2-1)2由由y=0可得可

19、得x1=-1, x2=0 ，x3=1当当x变化时，变化时，y , y的变化情况如下表：的变化情况如下表：因此，当因此，当x=0时，时， y极小值极小值=0+无极值无极值极小值极小值无极值无极值发现发现f(x0)=0时，时，x0_是极值点是极值点.若极值点处的若极值点处的_存在，则一定有存在，则一定有f (x0)=0 .不一定不一定导数导数 yxO3,极值与极值与f (x0)=0的关系：的关系：aby f(x)x1 f (x1) 0 x2 f (x2) 0 x3 f (x3) 0 x4 f (x5) 0 x5(1) f (x0)=0时时，f(x0)_是极值是极值.(2)f(x0)是极值时，是极值

20、时，_有有f (x0)=0.3: yx ,x00例例在在时时导导数数等等于于 ，但但不不是是极极值值例：如图例：如图x4的位置的位置,没有切线没有切线(此点不可导此点不可导).(3)若极值点处的若极值点处的_存在，则一定有存在，则一定有f (x0)=0 .不一定不一定不一定不一定导数导数(2)极值与最值有何关系：极值与最值有何关系： yxOx4x3x1a y=f(x)x5bx2极限是极限是_概念；最值是概念；最值是_概念。概念。极值极值_是最值，最值也是最值，最值也_是极值是极值4.函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值(1)连续函数的最大值和最小值定理：连续函数的最大值和最小值定理： f(x)在闭区间在闭区间 a , b上有最大值和最小值。上有最大值和最小值。如果如果f(x)是闭区间是闭区间a , b上的连续函数，那么上的连续函数，那么局部局部区间区间不一定不一定不一定不一定(3)求可导函数的最值的步骤：求可导函数的最值的步骤：设函数设函数f(x)在在a , b上连续，在上连续，在(a , b)内可导内可导求求 f(x) 在在_；将将f(x)的极值点的的极值点的_与与_比较；比较；最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。(a , b)内的极值内的极值极值极值端点值端点值f(a), f(b)