齐次和非齐次线性方程组的解法(汇总整编定稿).doc

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1、.线性方程组解的结构（解法）一、齐次线性方程组的解法【定义】 r(A)= r n ,若AX = 0（A为矩阵）的一组解为 ,且满足：(1) 线性无关;(2) AX = 0 的)任一解都可由这组解线性表示.则称为AX = 0的基础解系. 称为AX = 0的通解 。其中k1,k2, kn-r为任意常数).齐次线性方程组的关键问题就是求通解， 而求通解的关键问题是求基础解系. 【定理】 若齐次线性方程组AX = 0有解，则(1) 若齐次线性方程组AX = 0（A为矩阵）满足，则只有零解；(2) 齐次线性方程组有非零解的充要条件是.（注：当时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式.）注：1

2、、基础解系不唯一，但是它们所含解向量的个数相同，且基础解系所含解向量的个数等于. 2、非齐次线性方程组的同解方程组的导出方程组（简称“导出组”）为齐次线性方程组所对应的同解方程组。由上述定理可知，若是系数矩阵的行数（也即方程的个数），是未知量的个数，则有：（1） 当时，此时齐次线性方程组一定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就一定有非零解；（2）当时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式；（3）当且时，若系数矩阵的行列式，则齐次线性方程组只有零解；（4）当时，若，则存在齐次线性方程组的同解方程组；若，则齐次线性方程组无解。1、求AX = 0（A为矩阵）通解的三步骤

3、（1）（行最简形）; 写出同解方程组CX =0.(2) 求出CX =0的基础解系;(3) 写出通解其中k1,k2, kn-r为任意常数.【例题1】 解线性方程组 解法一：将系数矩阵A化为阶梯形矩阵 显然有，则方程组仅有零解，即.解法二：由于方程组的个数等于未知量的个数（即）（注意：方程组的个数不等于未知量的个数（即），不可以用行列式的方法来判断），从而可计算系数矩阵A的行列式：，知方程组仅有零解，即.注：此法仅对n较小时方便【例题2】 解线性方程组解：将系数矩阵A化为简化阶梯形矩阵 可得，则方程组有无穷多解，其同解方程组为 （其中，为自由未知量）令，得；令，得；令，得，于是得到原方程组的一个基

4、础解系为，.所以，原方程组的通解为 （，）.二、非齐次线性方程组的解法求 AX = b 的解（）用初等行变换求解，不妨设前r列线性无关其中 所以知时,原方程组无解.时,原方程组有唯一解.时,原方程组有无穷多解.其通解为，为任意常数。其中：为AX = b导出组AX = 0的基础解系，为AX = b的特解， 【定理1】 如果是非齐次线性方程组AX=b的解，是其导出组AX=0的一个解，则是非齐次线性方程组AX=b的解。【定理2】如果是非齐次线性方程组的一个特解，是其导出组的全部解，则是非齐次线性方程组的全部解。由此可知：如果非齐次线性方程组有无穷多解，则其导出组一定有非零解，且非齐次线性方程组的全部

5、解可表示为：其中：是非齐次线性方程组的一个特解，是导出组的一个基础解系。【例题3】判断下列命题是否正确, A为mn矩阵.(1)若AX=0只有零解,则AX=b有唯一解. 答:错, 因r(A)=n, r(A)= n = r(A |b)? (2)若AX=0有非零解,则AX=b有无穷多解. 答:错, 因r(A)n, r(A)= r(A |b) ? (3)若AX=b有唯一解,则AX=0只有零解. 答:对, r(A)= r(A |b) =n.(4)若AX=0有非零解,则ATX=0也有非零解. 答:错,A为mn, r(A)=m n, r(AT)=m, 这时ATX=0只有零解. 例如A为34, R(A)=3

6、n时, 可以r(A |b) =n+1. 唯一解： 线性方程组有唯一解【例题4】 解线性方程组解： 可见，则方程组有唯一解，所以方程组的解为 无解：线性方程组无解（或若阶梯形方程组出现，则原方程组无解）【例题5】解线性方程组解：，可见，所以原方程组无解. 无穷多解：线性方程组有无穷多解【例题6】解线性方程组解：可见，则方程组有无穷多解，其同解方程组为 （其中,为自由未知量）令得原方程组的一个特解.又原方程组的导出组的同解方程组为（其中,为自由未知量）令，得；令，得，于是得到导出组的一个基础解系为 ，。所以，原方程组的通解为 （，）.【例题7】 求线性方程组： 的全部解.解： 可见，所以方程组有无

7、穷多解，其同解方程组为 （其中为自由未知量） 令，可得原方程组的一个特解.又原方程组的导出组的同解方程组为（其中为自由未知量）令（注：这里取-2为了消去分母取单位向量的倍数），得，于是得到导出组的一个基础解系为.所以，原方程组的通解为 （）.【例题8】求非齐次线性方程组的全部解。解： 因为，所以非齐次线性方程组有无穷多组解，取自由未知量为，原方程组与方程组同解取自由未知量为，得原方程组的一个特解： 再求其导出组的基础解系，其导出组与方程组同解对自由未知量分别取，代入上式得到其导出组的一个基础解系为：则原方程组的全部解为：三、证明与判断【例题9】已知是齐次线性方程组AX0的一个基础解系，证明也是

8、齐次线性方程组AX0的一个基础解系。证：由已知可得：齐次线性方程组AX0的基础解系含有3个解向量，并且由齐次线性方程组解的性质可知都是AX0的解；因此只要证明线性无关即可。设存在数使 成立。整理得： （1）已知是齐次线性方程组AX0的一个基础解系，即得线性无关，则由(1)得，解得： 所以线性无关。即也是齐次线性方程组AX0的一个基础解系。【例题10】已知是齐次线性方程组AX0的一个基础解系，若 。讨论t满足什么条件时,是齐次线性方程组AX0的一个基础解系解：首先，是齐次线性方程组AX0的解，只须证线性无关.由已知有：因为：线性无关， 即，所以当t 1时, 是齐次线性方程组AX0的一个基础解系【

9、例题11】已知n阶矩阵A的各行元素之和均为零,且r(A)=n-1,求线性方程组AX=0的通解.解 ：由r(A)=n-1知AX=0的基础解系有一个非零解向量. 又， 即（k为任意常数）为所求通解.【例题12】设X1,X2, Xt 是非齐次线性方程组 AX =b0 的解向量,证明： 对于X0=k1 X1+k2 X2+kt Xt 当k1 +k2+kt =1时, X0是AX=b的解；当k1 +k2+kt =0时, X0是AX=0的解.证 ：AX0=A(k1 X1+k2 X2+kt Xt) =k1 AX1+k2 AX2+ktAXt=k1 b+k2 b+ktb=(k1+k2+kt)b故：当k1+k2 +k

10、t=1时, AX0 =b 当k1 +k2+kt =0时, AX0=0 由此可见, 非齐次方程组的解对于线性组合并不一定封闭,只有组合系数的和等于1的时候,解向量组的线性组合才是非齐次方程组的解!【例题13】已知为的两个不同解,是的一个基础解系.为任意常数. 则的通解为（ ） 答案B 【例题14】设是四元非齐次线性方程组AXb的三个解向量，且矩阵A的秩为3，求AXb的通解。解：因为A的秩为3，则AX0的基础解系含有431个解向量。由线性方程组解的性质得：是AX0的解，则解得AX0的一个非零解为：。由此可得AXb的通解为：。【例题15】设A是4阶方阵, (0)是41矩阵, 是的解,且满足 试求方程组的通解.解：先求的一个特解再求的一个基础解系，因为线性无关，所以是的一个基础解系.故方程组的通解是， 为任意常数.【例题16】设矩阵A。证明：AB0的充分必要条件是矩阵B的每一列向量都是齐次方程组AX=0的解。证：把矩阵B按列分块：，其中是矩阵B的第i列向量，零矩阵也按列分块则必要性：AB0可得： ，即是齐次方程组AX=0的解。充分性：矩阵B的每一列向量都是齐次方程组AX=0的解，即有 得：，即证。