第2章-曲线和曲面造型基础ppt课件.ppt

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1、第第2 2章章 曲线和曲面造型基础曲线和曲面造型基础2.1 微分几何基础微分几何基础2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面2.2 图形变换图形变换2.4 曲线与曲面造型方法曲线与曲面造型方法2.1 微分几何基础微分几何基础111xyzaijk2.1 2.1 微分几何基础微分几何基础121212xxyyzzcabijk12121 2x xy yz za b点乘的几何表示形式为第一个矢量向第二个矢量方向（假设第点乘的几何表示形式为第一个矢量向第二个矢量方向（假设第二个矢量为单位矢量）的投影长度。二个矢量为单位矢量）的投影长度。2.1 微分几何基础微分几何基础矢量叉乘：矢量叉乘：111222sinx

2、yzxyzijka ba bu2.1 微分几何基础微分几何基础叉乘大小的几何意义表示为两个矢量为矢量叉乘大小的几何意义表示为两个矢量为矢量a a和和b b所构所构成的平行四边形的面积。成的平行四边形的面积。 yfx ,0g x y , ,x y zx ty tz t2.1 微分几何基础微分几何基础2210 xy 1/221yx cosxx sinyy2.1 微分几何基础微分几何基础tan1yxt 2211xx ttt 221yy ttt有理多项式参数形式：有理多项式参数形式： 以直线以直线PQPQ与与x x轴的夹角轴的夹角为参数：为参数：2.1 微分几何基础微分几何基础2.1 微分几何基础微分

3、几何基础参数曲线：参数曲线：容易通过指定参数的范围来定义一段曲线。容易通过指定参数的范围来定义一段曲线。因此，在课程中的曲线无特殊说明的都是指参数曲线。因此，在课程中的曲线无特殊说明的都是指参数曲线。推而广之，曲面是指参数曲面。推而广之，曲面是指参数曲面。参数曲线的矢量表示：参数曲线的矢量表示： ,tx ty tz tr2.1 微分几何基础微分几何基础2.1 微分几何基础微分几何基础2.1 微分几何基础微分几何基础不依赖于参数化的曲线性质被称为曲线的内蕴属性。不依赖于参数化的曲线性质被称为曲线的内蕴属性。 单位切矢和曲率是曲线最重要的两个内蕴属性。单位切矢和曲率是曲线最重要的两个内蕴属性。 0

4、sst dtr ddsTr ttTrr弧长弧长 ：单位切矢：单位切矢： 链式法则：链式法则： 2.1 微分几何基础微分几何基础曲率的定义曲率的定义 ：链式法则后：链式法则后： 二维显式曲线二维显式曲线 y = y(x) 的曲率：的曲率： ddsT3r rr 3/221yy2.1 微分几何基础微分几何基础主法矢的定义主法矢的定义 ：副法矢：副法矢：ddtddtddsddsNTTTTBT N切矢、主法矢和副法矢定义切矢、主法矢和副法矢定义了一个坐标系。了一个坐标系。2.1 微分几何基础微分几何基础12.1 微分几何基础微分几何基础2.1 微分几何基础微分几何基础dds BN dds rTddsTN

5、ddsNBTdds BN2.1 微分几何基础微分几何基础隐式曲面：隐式曲面：, ,0g x y z 显式（非参）曲面：显式（非参）曲面：参数曲面：参数曲面：,u vx u vy u vz u vr, ,u vu v z u vr,zz x y或或22210 xyz ,cos cos ,sin cos ,sinu vuvuvvr1/2221zxy2.1 微分几何基础微分几何基础 Ttu tv t u参数域上的二维曲线：参数域上的二维曲线： ,tu tv tx u tv ty u tv tz u tv trr映射为空间中曲面上的曲线：映射为空间中曲面上的曲线：注意等参线的定义。注意等参线的定义。2

6、.1 微分几何基础微分几何基础2.1 微分几何基础微分几何基础2.1 微分几何基础微分几何基础2.1 微分几何基础微分几何基础uvuvrrrAu 2TTTTrr rrru A Auu Gu uuuvTuvvvr rr rGA Ar rr ruvArr ,Tdtdtdu dt dv dtuvuu2.1 微分几何基础微分几何基础uuuvTuvvvr rr rGA Ar rr r1/2uvSdudvdudvrrG1/2TTr rAuu Gu 2.1 微分几何基础微分几何基础2.1 微分几何基础微分几何基础uuuvuvvuvvu uvuv vuvrrrrrrr 222uuuvvvTuuvvr nrnr

7、nrnu DuuuuvuvvvrnrnDrnrn2.1 微分几何基础微分几何基础ddtd sdtssss srrTTTTN 2sr nN n 2TTTnsN nu Duu Duu Gu2.1 微分几何基础微分几何基础 2.1 微分几何基础微分几何基础 2.1 微分几何基础微分几何基础 2.1 微分几何基础微分几何基础2.2 图形变换图形变换 在在CAD/CAM系统中，几何图形是最基本的元素，无论系统中，几何图形是最基本的元素，无论采用何种几何建模方法表达设计对象，最终都要转化为几何采用何种几何建模方法表达设计对象，最终都要转化为几何图形显示在屏幕上。无论是二维或三维图形，都是由图形的图形显示在

8、屏幕上。无论是二维或三维图形，都是由图形的顶点坐标、顶点之间的拓扑关系以及组成图形的面和线的表顶点坐标、顶点之间的拓扑关系以及组成图形的面和线的表达模型所决定的。达模型所决定的。图形的几何变换只改变图形的顶点坐标和图形的几何变换只改变图形的顶点坐标和面、线的表达模型的参数，不会改变他们的拓扑关系，且面面、线的表达模型的参数，不会改变他们的拓扑关系，且面、线的表达模型参数也是由相关的顶点坐标所确定的。、线的表达模型参数也是由相关的顶点坐标所确定的。因此因此，从原理上讲，图形的几何变换就是将图形上的点的坐标变，从原理上讲，图形的几何变换就是将图形上的点的坐标变换成新图形上对应点的坐标换成新图形上对

9、应点的坐标点的坐标变换。点的坐标变换。 2.2 2.2 图形变换图形变换 2.2 图形变换图形变换 2.2 图形变换图形变换 比例变换（缩小与放大）、对称变换（或映射变换）、旋比例变换（缩小与放大）、对称变换（或映射变换）、旋转变换、平移交换、错切变换、透视变换等。转变换、平移交换、错切变换、透视变换等。 变换矩阵：变换矩阵：abpcdqlmsT2.2 图形变换图形变换 2.2 图形变换图形变换 2.2 图形变换图形变换 2.2 图形变换图形变换 比例变换（缩小与放大）、平移变换、旋转变换、对称比例变换（缩小与放大）、平移变换、旋转变换、对称变换（或映射变换）、错切变换、投影变换和透视变换等变

10、换（或映射变换）、错切变换、投影变换和透视变换等 。 变换矩阵：变换矩阵：abcpdefqTghirlmns2.2 图形变换图形变换 2.2 图形变换图形变换 2.2 图形变换图形变换 2.2 图形变换图形变换 2.2 图形变换图形变换 2.2 图形变换图形变换10),()(0, ttBtnjnjjbpnjttCtBjnjjnnj,.,1 , 0,)1 ()(, B B zierzier曲线的定义曲线的定义jb2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面 2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面Bernstein基函数的性质基函数的性质,( )(1),0,1,.,jjnjj nnBtC ttjn10

11、t,1,0(0)0,0j njjB,1,(1)0,j njnjnB端点处：端点处：2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面njttCtBjnjjnnj,.,1 , 0,)1 ()(, 10 t1)(0, njnjtBnjnjn , jjnjinntttCtt00)()1 ()1(1B2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面njttCtBjnjjnnj,.,1 , 0,)1 ()(, 10 t)1 ()(,tBtBnjnnj jnjjnnjttCtB)1 ()(,jjnjnjjnjnnnjnttCttCtB )1 ()1 ()1 (,2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面1)()()()1 ()(0

12、01, 11, ttttttnjnjnj，其中，其中，BBBB)()()1 ()1 ()1 ()1 ()()1 ()(1, 11,111111,ttttttCttCttCCttCtnjnjjnjjnjnjjnjnjjnjnjnjjnnj BBBnjttCtBjnjjnnj,.,1 , 0,)1 ()(, 10 t2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面)()()(1,1, 1,ttntnjnjnj BBB)()()1 ()1 ()1 ()()1 ()(1,1, 11111111,ttnttnCttnCttjnCtjtCtnjnjjnjjnjnjjnjnjjnjnjjnnj BBBnjttCtBj

13、njjnnj,.,1 , 0,)1 ()(, 10 t2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面10),()(0, ttBtnjnjjbp00010j,j,)(n , jB njnjnj, 0, 1) 1 (,Bnbpbp) 1 ()0(0通过首、末控制顶点通过首、末控制顶点2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面)()-()()()(11111110tBntBtBntn ,jjjnjn , jn ,jnjjbbbp)()()(1,1, 1,ttntnjnjnj BBB因为因为所以所以)() 1 ()()0(101nnnnbbpbbp类似地有：类似地有：)()(1() 1 ()()(1()0(211

14、0112 nnnnnnnnbbbbpbbbbp跟首末各一条边跟首末各一条边有关有关跟首末各两条边跟首末各两条边有关有关2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面10),()(0, ttBtnjnjjbp1)(0, njnjtB2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面由基函数的对称性由基函数的对称性决定。只要控制顶点顺决定。只要控制顶点顺序颠倒一下，即可实现序颠倒一下，即可实现对曲线的反向。对曲线的反向。)1 ()(,tBtBnjnnj 因为颠倒控制多边形顶点的顺序，即颠倒控制多边形顶点的顺序，即jn*j bb则新曲线为：则新曲线为：)-(1)-(1)-(1)()()(0000ttBtBtBtBtnj

15、n , jjnjn , jnjnnjn , jjnnjn , j*j*pbbbbp2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面10),()(0, ttBtnjnjjbpBzierBzier曲线的实质是一系列绝对矢量曲线的实质是一系列绝对矢量的凸组合（加权组合）。此性质便于确定的凸组合（加权组合）。此性质便于确定BzierBzier 曲线的范围。曲线的范围。凸包示意图凸包示意图2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面10),()(0, ttBtnjnjjbpBzierBzier曲线比其控制多边形更曲线比其控制多边形更光滑，拐折减少。光滑，拐折减少。2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面10),()(0,

16、 ttBtnjnjjbp2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面1 1、 knjnktbbtkbnktBtkjkjjkjknjknjkj,.,2 , 1 , 0,.,2 , 1)1 (0,.,1 , 0),()(1110,bbpBzier曲线的递推定义曲线的递推定义2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面Bzier曲线的分割曲线的分割2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面张量积张量积Bzier曲面曲面 1,0)()()()()()(),(, 1, 0,1 ,0 , 11 , 10 , 1, 01 , 00 , 0, 1, 0 vuvBvBvBuBuBuBvunnnnnmmmnnmmmmbbbbbb

17、bbbp2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面 B-B-样条曲线示例。样条曲线示例。三次均匀三次均匀B-B-样条曲线样条曲线 2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面1. 1. 三次均匀三次均匀B-B-样条曲线段样条曲线段10 )()()()()(3i2i1ii43424140u,uNuNuNuNu,iVVVVpB,MuuuuuuuNuNuNuN32324342414011331036303030141! 311 )()()()(其中：其中：2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面v三次均匀三次均匀B-B-样条曲线段的端点性质样条曲线段的端点性质: :321321331036303030141!

18、311)(iiiiuuuuVVVVp)(21 2 )()()0()(21)0()4(61) 1 ()4(61)0(12112232121iiiiiiiiiiiiiiiiiiiVVVVVVVpVVpVVVpVVVp2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面 局部性。局部性。 保凸性。保凸性。 对称性对称性 曲线易于反向。曲线易于反向。 与与。2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面二次均匀二次均匀B B样条曲线样条曲线：10 )()()()(2i1ii323130u,uNuNuNu,iVVVp端点性质端点性质：)(21) 1 ()(21)0(211iiiiiiVV

19、pVVp121) 1 ()0(iiiiiiVVpVVp2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面1. 1. 均匀均匀B B样条存在的问题样条存在的问题2. 2. 非均匀非均匀B B样条基函数的定义样条基函数的定义: :2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面1,01,11,1111( )0( )( )( )000iiiii mi mi mimi mii miifuuuNuotherwiseuuuuNuNuNuuuuu 规定 ,),)(21122111 ,iiiiiiiiiiiuuuuuuuuuuuuuuuN B-样条基函数的支撑样条基函数的支撑区间为区间为u i , u i+m+12.3 NURBS

20、曲线与曲面曲线与曲面 ,),)(21122111 ,iiiiiiiiiiiuuuuuuuuuuuuuuuN21 iiuu2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面,00(,)()()mniji kj liju vNuNv pdkl次次B B样条曲面可以表达为：样条曲面可以表达为：其中，其中， 为呈拓扑矩形排列的曲面的控制顶点阵列。为呈拓扑矩形排列的曲面的控制顶点阵列。B-样条样条曲面为张量积曲面。曲面为张量积曲面。, ijd2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面NURBSNon-Uniform Rational B-SplineBezier方法、方法、B样条方

21、法回顾与分析，有待解决的一个重要问题是自由样条方法回顾与分析，有待解决的一个重要问题是自由曲线曲面和解析曲线曲面（二次曲线弧与二次曲面）的精确统一表示。曲线曲面和解析曲线曲面（二次曲线弧与二次曲面）的精确统一表示。1974 ，美国的，美国的K. J. Versprille以博士论文的形式发表了第以博士论文的形式发表了第1篇有关篇有关NURBS的文章，以后的文章，以后L. Piegl 和和W. Tiller对对NURBS进行了深入研究，使之进行了深入研究，使之在理论和应用上趋于成熟。在理论和应用上趋于成熟。IGES和和STEP标准分别将其列为优化类型标准分别将其列为优化类型和唯一的自由曲线曲面表

22、示方法。和唯一的自由曲线曲面表示方法。2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面 学习学习NURBSNURBS重点掌握的问题：重点掌握的问题： 1. NURBS的定义的定义 2. 权因子的意义权因子的意义 3. 圆锥截线的圆锥截线的NURBS表示表示 4. NURBS的各种算法的各种算法 5. 各种构型曲面的各种构型曲面的NURBS表示表示 2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面 有理分式表示有理分式表示: :noikiinoikiiiuNuNu)()()(,dpi , i=0,1,n 为与控制顶点为与控制顶点 相联系的权因子。相联系的权因子。 0， n0其余其余i 0。 N i,k为为k次规范次

23、规范B样条基函数。样条基函数。id2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面noikiiuRu)()(,dpnojkjjkiikiuNuNuR)()()(,，则，则，则，则，则，则，则，则, 0)(1,kiikiuuuuR1)(,noikiuR0)(,uRki1)(,uRkiij0)(,uRki0iCrkCnjj,.,2 , 1, 1 otherwiseuNUifuBuRkikkkiki)(,.,.,),()(,1111002.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面0,0,ifZYXifZYXzyxZYXH的直线的无限远点在从原点通过2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面iiiiiiiiizyxiid

24、D )()()()()(0,00,0,nikiininikiiikiiinikiiuNuNyuNxuNuDP1nikiinikiiinikiinikiiinikiinikiiiuNuNuNuNyuNuNxu0,0,0,0,0,0,)()()()()()()(dp2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面i)1(1:pmpd:nmndii2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面圆锥截线的圆锥截线的NURBS表示表示 1 , 1 , 1 , 0 , 0 , 032323131U 1 , 1 , 1 , 0 , 0 , 0434342424141U2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面用如图所示的标准型二

25、次用如图所示的标准型二次有理有理Bzier曲线（曲线（NURBS的的一个特例）表示给定的圆锥截一个特例）表示给定的圆锥截线，主要任务是确定线，主要任务是确定w1。2210222211002)1 (2)1 ()1 (2)1 ()(uuuuuuuuubbbp0)(m,bbp1)()(202121)(,bp1121)(111202141121412411121041211)()(bbbbbbpnf11111111)11mbmnn-mb(nbmn(2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面21221coscos1cosmbmn202110bbbbbb，直线）（，椭圆弧）（），（，抛物线）（，双曲线）（），

26、（和），一对直线即00100111(111211211211ff1111mbmn2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面 minjljkijiminjljkijijivNuNvNuNvu00,00,)()()()(d),(p mrnslskrsrljkijiljkiminjljkijivNuNvNuNvuRvuRvu00,;,00,;,)()()()(),(),(),(dp2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面拟合：拟合：2.4 曲线与曲面造型方法曲线与曲面造型方法 2.4 曲线与曲面造型方法曲线与曲面造型方法光顺：光顺：2.4 曲线与曲面造型方法曲线与曲面造型方法几何连续性：几何连续性：2.4

27、 曲线与曲面造型方法曲线与曲面造型方法参数连续性：参数连续性：2.4 曲线与曲面造型方法曲线与曲面造型方法几何连续性：几何连续性：2.4 曲线与曲面造型方法曲线与曲面造型方法裁剪曲面：裁剪曲面：2.4 曲线与曲面造型方法曲线与曲面造型方法曲面设计：曲面设计：2.4 曲线与曲面造型方法曲线与曲面造型方法拉伸：拉伸：截面曲线确定深度生成拉伸拉伸曲面图2.25 拉伸曲面生成过程2.4 曲线与曲面造型方法曲线与曲面造型方法miikiuRu0,)()(drRmijjijkivuRvu010,1 ,;,d),(),(pRdd,dd1 ,0,diiii2.4 曲线与曲面造型方法曲线与曲面造型方法旋转：旋转：

28、图2.26 旋转曲面生成过程母线旋转轴旋转旋转角度生成旋转曲面2.4 曲线与曲面造型方法曲线与曲面造型方法旋转曲面的数学表示：旋转曲面的数学表示：nijljvRv0,)()(drminjjiljivuRvu00,;2,d),(),(pmiji,.,1 , 0,，d2.4 曲线与曲面造型方法曲线与曲面造型方法扫成：扫成：2.4 曲线与曲面造型方法曲线与曲面造型方法变剖面扫成：变剖面扫成：图2.28 可变剖面的扫成（a） 轨迹曲线组（c） 辅助轨迹曲线组（d）可变剖面扫成曲面箭头方向（b） 设定原始轨迹选为原始轨迹2.4 曲线与曲面造型方法曲线与曲面造型方法水水 箱箱 NURBS 曲曲 面面2.4 曲线与曲面造型方法曲线与曲面造型方法蒙皮：蒙皮：单向蒙皮曲面的生成过程单向蒙皮曲面的生成过程选取参考截面线单向蒙皮曲面生成2.4 曲线与曲面造型方法曲线与曲面造型方法2.4 曲线与曲面造型方法曲线与曲面造型方法2.4 曲线与曲面造型方法曲线与曲面造型方法涡涡 轮轮 叶叶 片片排排 气气 管管 NURBS 曲曲 面面型型 芯芯 NURBS 曲曲 面面 2.4 曲线与曲面造型方法曲线与曲面造型方法柴油机汽缸盖柴油机汽缸盖手电钻手电钻整体叶轮整体叶轮2.4 曲线与曲面造型方法曲线与曲面造型方法The End