整数和多项式性质同异比较.doc

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1、!- 学校代码：_ 学 号：_Hefei University 毕业论文（设计）BACHELOR DISSERTATION 论文题目：_整数与多项式性质的异同比较_ 学位类别：_理学_ 学科专业：_信息与计算科学_ 作者姓名：_曾钧鹏_ 导师姓名：_ 余海峰 _ 完成时间：_整数与多项式性质的异同比较摘要：在学习数学的时接触比较多的是数和多项式，今天我们通过对整数与多项式性质的比较来研究它们有哪些相似之处与不同之处，进而更好深入学习整数与多项式。整数理论与多项式理论都是代数的非常基本的研究对象，二者在性质上有着很多相同之处。其概念、结果与方法，是近世代数中抽象概念的非常基本的模型和源泉。本课题

2、尝试对二者的性质异同做一研究和归纳。具体任务为首先对整数与多项式的各种性质进行归纳，其次讨论它们的相似于不同之处，最后从代数观点来分析解释异同原因。 首先，本论文对整数和多项式的多项式各自的性质作了一个归纳，从它们的定义出发，再到它们的一些具体性质，包括整数和多项式的运算，整除性等一些性质。其次我们对整数和多项式的性质进行了一些比较，包括运算律，整除性等一些性质。在本文的最后我们从环和欧氏环的概念上对整数和多项式性质类同的原因做了一些简单的分析。 通过的对整数与多项式的性质的归纳总结，进而让我们更深入了解整数与多项式的性质。然后通过代数观点上进行分析他们性质的异同，更加深入了解各个知识直接的关

3、系与区别，能够更清楚的对整数与多项式进行认知。关键词：整数 多项式 类同 差异 性质The similar and difference between integer and polynomial Abstract: In learning mathematics is more contact number and polynomial, and today we by comparing with polynomial integer nature to study what are the similarities and differences between them, thus

4、better study with polynomial integer.Integer theory and the theory of polynomial algebra is very basic research object, which has a lot in common in nature. The concept, the results and methods, is abstract concept in modern algebra model and the source of the very basic. This topic attempts to do a

5、 research on both the nature of the similarities and differences and induction. Specific tasks for the first, summarized the polynomial for integers and the various properties, secondly discuss them similar to the difference, finally from the algebraic point of view to analysis account for the simil

6、arities and differences.First of all, this thesis for integers and the nature of each of the polynomial of a polynomial made an inductive, from their definition, to their specific properties, including the integer and the polynomial arithmetic, divisible and some properties. Secondly we for integers

7、 and the properties of the polynomial are compared, and some include operation laws, divisible and some properties. At the end of this article, we from the ring and the Euclidean ring on the concept of the cause of the integer polynomial and properties similar to do some simple analysis.Through the

8、sum-up of the integer and the nature of the polynomial, then let us more deeply understand the nature of the integer and polynomials. Then analyze their similarities and differences between the nature of the algebra view, a more in-depth knowledge in direct relationship to the various knowledge and

9、differences, can more clearly to the integer polynomial with cognitive.Keywords:integer poiynomial similar difference nature第一章 整数的概念及其性质5第一节 整数及其运算51.1整数的定义51.2 整数的运算6第二节 整数的整除性62.1整数的带余除法62.2 整数的整除性7第三节 最大公约数与最小公倍数73.1 最大公约数83.2 最小公倍数9第四节 算术基本定理91.4 素数及其性质91.4 算术基本定理10第二章多项式的概念及其性质11第一节 数域11第二节 一元

10、多项式112.1 一元多项式的定义112.2 多项式的相等112.3 多项式的运算11第三节 多项式的整除性123.1 带余除法123.2 多项式的整除12第五节 多项式的因式分解定理14第三章：整数与多项式的性质的比较15第一节：整数和多项式运算性质的比较15第二节：整数和多项式的互素的比较16第四节 多项式与整数的整除性比较164.1整除的概念164.2 最大公因式与最大公约数174.3 最小公倍式与最小公倍数18第四章：整数和多项式性质类同的分析19第一节：欧氏环的定义19第二节 整数环和多项式环都是欧氏环192.1 整数环是欧氏环192.2 多项式环是欧氏环19第三节 性质类同分析19

11、结束语20参考文献：21致 谢22第一章 整数的概念及其性质第一节 整数及其运算1.1整数的定义 由于我们现在研究的整数是在整数环上来研究的，下面我们首先来对环的概念给大家进行一下简单的介绍。1.1.1 环的相关概念 在正式表述环的定义时,我们要用到交换群的概念.这里先就交换群作一点补充说明.定义1.1 设是一个交换群.我们定义上的除法如下:,.显而易见,对于任意的,我们有.因此我们称除法是乘法的逆运算.如果将一个交换群的代数运算叫做加法,并记作,那么习惯上要对术语和记号作相应调整:设是一个交换群.我们定义上的减法如下:,. 显而易见,对于任意的,我们有. 因此我们称减法是加法的逆运算.定义1

12、.2 设是一个非空集合,加法和乘法是上的两个代数运算.若和 满足条件: （1）是一个交换群; (2)适合结合律;(3)对适合分配律,即, ,，则称是一个环;不致混淆时,简称是一个环.当是一个环时,我们就称关于和构成一个环;群称为环R的加群,其零元又称为环R的零元,不致混淆时记作。当是环的零元时,我们当然有,;特别地,我们有,其中第一个表示整数零,后两个表示环的零元。1.1.2 整环的概念整环是抽象代数中最基本的概念之一。一个环是一个集合以及它上面的两种运算，分别称为“加法”和“乘法”，满足以下条件：1、A 关于加法成为一个Abel群（其零元素记作0）；2、乘法满足结合律：；3、乘法对加法满足分

13、配律：；如果环 A 还满足以下乘法交换律，则称为“交换环”：4、乘法交换律：。如果交换环 A 还满足以下两条件，就称为“整环”：5、A 中存在非零的乘法单位元，即存在 A 中的一个元素，记作1，满足1不等于0，且对任意，有：；6、或。1.1.3 整数的概念定义1.3 整数序列，-2，-1，0，1，2，中的数称为整数整数的全体构成整数集，整数对其上的加法和乘法构成一个环，记作Z（现代通常写成空心字母Z）1.2 整数的运算 作为一个环我们可以定义其上运算，主要包括整数的加、减、乘等。下面我们归纳了整数的加法和乘法的一些运算律。 1. 加法交换律： ; 2. 加法结合律： ; 3. 乘法交换律： ;

14、 4. 乘法结合律： ; 5. 乘法对加法的结合律： .第2节 整数的整除性 我们再研究整数的整除性之前，我们要研究整数的带余除法，因为整除的概念是在带余除法的基础上研究的，那么我们首先来介绍下整数的带余除法。2.1整数的带余除法 定义1.4 设为整数，则存在整数和，使得，其中，并且和由上述条件唯一确定；整数被称为被除得的(不完全)商，数称为被除得的余数。注意：共有种可能的取值：0,1，。若，即为被整除的情形；易知，带余除法中的商实际上为（不超过的最大整数），而带余除法的核心是关于余数的不等式：。证明的基本手法是将分解为与一个整数之积，在较为初级的问题中，这种数的分解常通过在一些代数式的分解中

15、取特殊值而产生，下面两个分解式在这类论证中应用很多，若是正整数，则；若是正奇数，则；（在上式中用代）2.2 整数的整除性定义1.5 设是给定的数，若存在整数，使得，则称整除，记作，并称是的一个约数(因子)，称是的一个倍数，如果不存在上述，则称不能整除记作 。由整除的定义，容易推出以下性质：定理1.1 若且，则(传递性质)；定理1.2 若且，则即为某一整数倍数的整数之集关于加、减运算封闭。若反复运用这一性质，易知及，则对于任意的整数有。更一般，若都是的倍数，则。或着，则其中；定理1.3 若，则或者，或者，因此若且，则；定理1.4 如果在等式中取去某一项外，其余各项均为的倍数，则这一项也是的倍数；

16、定理1.5 个连续整数中，有且只有一个是的倍数；定理1.6 任何个连续的整数之积一定是的倍数，特别地，三个连续的正整数之积能被6整除.第三节 最大公约数与最小公倍数最大公约数与最小公倍数是整数中的一个重要的概念，这里我们主要讨论两个整数互素、最大公约数、最小公倍数等基本概念与性质。3.1 最大公约数定义1.6 最大公约数 设不全为零，同时整除的整数（如）称为它们的公约数。因为不全为零，故只有有限多个，我们将其中最大一个称为的最大公约数，用符号表示。显然，最大公约数是一个正整数。 当1（即的公约数只有）时，我们称与互素（互质）。这是数论中的非常重要的一个概念。同样，如果对于多个（不全为零）的整数

17、，可类似地定义它们的最大公约数。若，则称互素。请注意，此时不能推出两两互素；但反过来，若两两互素，则显然有。由最大公约数的定义，我们不难得出最大公约数的一些简单性质：例如任意改变的符号，不改变的值，即；可以交换，；为了更详细地介绍最大公约数，我们给出一些常用的一些性质：定理1.7 设是不全为0的整数，则存在整数，使得；定理1.8（裴蜀定理）两个整数互素的充要条件是存在整数，使得；事实上，条件的必要性是性质（1）的一个特例。反过来，若有使等式成立，不妨设，则，故及，于是，即，从而。定理1.9 若，则，即的任何一个公约数都是它们的最大公约数的约数；定理1.10 若，则；定理1.11 若，则，因此两

18、个不互素的整数，可以自然地产生一对互素的整数；定理1.12 若，则，也就是说，与一个固定整数互素的整数集关于乘法封闭。并由此可以推出：若，对于有，进而有对有。定理1.13 设，若，则；定理1.14 设正整数之积是一个正整数的次方幂（），若（）1，则都是整数的次方幂。一般地，设正整数之积是一个正整数的次方幂（），若两两互素，则都是正整数的次方幂。3.2 最小公倍数定义1.7 设是两个非零整数，一个同时为倍数的数称为它们的公倍数，的公倍数有无穷多个，这其中最小的一个称为的最小公倍数，记作，对于多个非零实数，可类似地定义它们的最小公倍数。最小公倍数主要有以下几条性质：定理1.15 与的任一公倍数都是

19、的倍数，对于多于两个数的情形，类似结论也成立；定理1.16 两个整数的最大公约数与最小公倍满足：（但请注意，这只限于两个整数的情形，对于多于两个整数的情形，类似结论不成立）；定理1.17 若两两互素，则；定理1.19 若，且两两互素，则。第四节 算术基本定理1.4 素数及其性质 正整数分为三类：（1）单位数1；（2）质数（素数）：一个大于1的正整数，如果它的因数只有1和它本身，则称为质（素）数；（3）如果一个自然数包含有大于1而小于其本身的因子，则称这个自然数为合数。（1）若，则的除1以外的最小正因数是一个质（素）数。如果，则；（2）若是质（素）数，为任一整数，则必有或1；（3）设为个整数，为

20、质（素）数，且，则必整除某个；1.4 算术基本定理定理1.20 （算术基本定理）任何一个大于1的正整数，能唯一地表示成质（素）因数的乘积（不计较因数的排列顺序）；注：任何大于1的整数能唯一地写成的形式，其中为质（素）数。上式叫做整数的标准分解式；若的标准分解式为，的正因数的个数记为，则。第二章多项式的概念及其性质第一节 数域 定义2.1 设P是由一些复数组成的集合，其中包括0与1，如果P中任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍是P中的数，则称P为一个数域常见数域： 复数域C；实数域R；有理数域Q；数域的性质1）若数集P中任意两个数作某一运算的结果仍在P中，则说数集P对这个运算是封闭的2）数

21、域的等价定义：如果一个包含0，1在内的数集P对于加法，减法，乘法与除法（除数不为0）是封闭的，则称集P为一个数域3）任意数域P都包括有理数域Q即，有理数域为最小数域第二节 一元多项式2.1 一元多项式的定义定义2.2 设是一个符号（或称文字），是一个非负整数，形式表达式其中称为数域P上的一元多项式常用等表示2.2 多项式的相等 若多项式与的同次项相同，则称与相等。即， 。2.3 多项式的运算 从环的概念上，我们可以定义出多项式的加，减，乘等运算，多项式的运算满足一下一下运算性质。1. 加法交换律： ;2. 加法结合律： ;3. 乘法交换律： ;4. 乘法结合律： ;5. 乘法对加法的结合律：

22、. 第三节 多项式的整除性3.1 带余除法对于中任意两个多项式与，其中，一定有中的多项式存在，使成立，其中或者，并且这样的是唯一决定的。带余除法中所得的通常称为除的商，称为除的余式。3.2 多项式的整除定义 2.3 数域P上的多项式称为整除，如果有数域上的多项式使等式成立，我们用表示整除，用表示不能整除。当时，就称为的因式，称为的倍式。定理 2.4 对于数域P上的任意两个多项式与，其中，的充分必要条件是除的余式为零。 下面介绍整除性的几个常用的性质： 1.如果,那么，其中c为非零常数； 2.如果，那么; 3.如果，那么，其中是数域P上任意的多项式。第四节 最大公因式 如果多项式既是的因式，又是

23、的因式，那么就称为与的一个公因式。在公因式中占有特殊重要地位的是所谓最大公因式。定义2.5 设，是中两个多项式。中多项式称为，的一个最大公因式，如果它满足下面两个条件：（1）是，的公因式；（2），的公因式全是的因式。 定理 2.1 对于中任意两个多项式，在中存在一个最大公因式，且可以表成，的一个组合，即有中多项式使 。 求最大公因式一般用辗转相除法来求。这里我们就不讨论辗转相除法的具体方法了。定义2.6 中两个多项式，称为互素（也称互质）的，如果。定理 2.2 中两个多项式，称为互素的冲分必要条件是有中的多项式 使。定理 2.3 如果，且，那么。第五节 多项式的因式分解定理定义2.7 数域P上

24、次数的多项式称为P上的不可约多项式，如果它不能表成数域P上两个次数比的次数低的多项式的乘积。定理 2.4 如果是不可约多项式，那么对于任意两个多项式，由 一定推出或者。定理 2.5 因式分解及唯一性定理 数域P上每一个次数的多项式都可以唯一的分解数域P上一些不可约多项式的乘积。所谓唯一性就是说如果有两个分解式，那么必有，并且适当排列因式的次序后有，其中是一些非零常数。第六节 多项式函数定义2.8 设 是中的多项式，是P中的数，在中用代所得的数称为当时的值，记为。这样一来，多项式就定义离开一个数域P上的函数。可以由一个多项式来定义的函数称为数域P上的多项式函数。当P是实数域是，这就是数学分析中所

25、讨论的多项式函数。定理 2.6余数定理 用一次多项式去除多项式，所得的余式是一个常数，这个常数等于函数值。如果在时函数值，那么就称为的一个根或零点。定义2.9 重根 称为的k重根，如果是的k重因式。当时，称为单根，当时，称为重根。定理 2.7 中n次多项式在整数域P中的根本不可能多于n个，重根按重数计算。定理 2.8 如果多项式，的次数都不超过n，而它们对个不同的数有相同的值，即，那么。第三章：整数与多项式的性质的比较 以上为两者的一些性质，通过这些性质我们可以看到他们又许许多多的相似之处。下面我们来对它们来简单的比较一下： 第一节：整数和多项式运算性质的比较 它们满足加法交换律，加法结合律，

26、乘法交换律，乘法结合律以及乘法对加法的分配律；首先是加法交换律，整数加法交换律为：，多项式加法交换为：，依次比较加法结合律，乘法交换律，结合律以及乘法与加法的结合律。我们可以看到:整数为 ： ; ; ; ; .多项式为：; ; ; . 通过比较我们可以看出他们之间除了一个是整数一个是多项式，他们的运算规律是完全相同的。第二节：整数和多项式的互素的比较 它们两者之间都有互素的概念，由上面给出的性质我们可以看到它们都有一个相似的充要条件，那就是以及;第三节：整数和多项式的分解的比较 任意的两个整数(多项式)，它们都可以分解因数（式）并且可以分解成几个相同的数（式）相乘的形式也就是我们所说的重因数（

27、重因式） 例如8=2*2*2，=（x+1）（x+1）（x+1），2和（x+1）就分别是它们的重因数和重因式，它们两者分解之后同样有最大公因数（式）。第四节 多项式与整数的整除性比较 一元多项式理论是高等代数中的一个重要内容。同时,它与初等数学知识联系紧密。对相关内容作一分析、对比,可以加深对这一理论的理解。本文通过对多项式与整数的整除性概念、公约数与公因式及因式(数) 分解定理等方面加以比较、分析,并略举几例说明它们之间的联系。4.1整除的概念设,(以表示数域F 上的一元多项式的全体作成的集合) ,如果存在,使,则有。相仿地,设(以表示整数集) ,如果存在,使,则有。整除关系性质比较(以下假设

28、所有多项式都属于) :多项式整除的性质整数整除的性质性质1若,则若,则性质2若,则, 若,那么,或性质3若,则对任意的多项式,恒有若b| ai ,那么整除的一个判别法:若,则的充分必要条件是除的余式。类似地,有的充分必要条件是b除a的余数。例题1证明的充分必要条件是 ,其中 是非负整数。证明充分性设 ,假定,则 ,从而,有必要性设,假定或 ,如果,那么,由充分性的证明知, ,故,但是,矛盾,必有 ,这就证明了。4.2 最大公因式与最大公约数数域F 上的任意两个不全为零的多项式与 的首项系数为1的最大公因式 一定存在且唯一;同样,两个不同时为0的两个整数,它们非负的最大公约数也一定存在且唯一。

29、设,则,这就是多项式的最大公因式的一个重要的性质;同时,整数的最大公约数也有相应的性质。 多项式的最大公因式与整数的最大公约数都可以辗转相除法求得。由辗转相除法可知,若是与 的最大公因式,则必有,满。 同理可得,若,那么有整数存在,使得。由此可进一步知道:两个整数与互质的充要条件是存在整数,使得;两个多项式与 互素的充要条件是存在,使得。互素(质) 的性质比较:多项式整除的性质整数整除的性质性质1若,则若,则性质2,且,则有若,且,则有性质3若且则有若,且,则有4.3 最小公倍式与最小公倍数 设,则不同时为零的两个多项式与的首项系数为1的最小公倍式是唯一的,而与的其它最小公倍式都是的非零常数倍

30、;对于不同时为零的整数,它们的非负的最小公倍数也是唯一的。而且最大公因式与最小公倍式具有下列关系:若,则,是与的一个最小公倍式。第四章：整数和多项式性质类同的分析第一节：欧氏环的定义定义4.1 具有单位元的整环R叫做一个欧几里得环（简称欧氏环），假如（1）存在一个从到非负整数集的一个映射，这里是R的所有非零元的集合；（2）设,对于任何，都存在，使，这里或。第二节 整数环和多项式环都是欧氏环2.1 整数环是欧氏环 整数环Z是一个欧氏环，因为，对于任何，规定（表示的绝对值），是非负整数集的映射，并且对于任何，存在，使，这里。2.2 多项式环是欧氏环 数域上多项式环是一个欧氏环，因为，对于任何，规定

31、，是非负整数集的映射，并且对于任何，存在，使，这里或。第三节 性质类同分析首先，我们从环的定义可以看出，作为环，无论是整数环和多项式环都是应该满足加法和乘法的交换律，结合律，分配律等一下性质。其次，通过上面我们证明了整数环和多项式环都是欧氏环，我们从欧氏环定义可以看出欧氏环是的基础是带余除法，而整数环和多项式环的整除性都是通过带余除法得出来的，当时就得出了整数与多项式的政策性。所以从根本上，整数和多项式的整除性是相同的。 结束语 我们可以知道,整数的整除性与多项式的整除性有相同或相似之处,而且对于多项式的因式分解问题,与整数的因数分解也有相类比之处。实际上,关于整数与多项式的整除性还有很多类似

32、的结论和性质,在此不再说明了。在我们学习的过程中有许多内容是有共同的地方的，这就是我在学习数学的过程当中在学习它们的性质时发现的一点规律,由于能力有限可能没有完全总结出他们的类同和差异之处希望大家指正。参考文献：1闵嗣鹤、严士健. 初等数论.北京:高等教育出版社,2003.07第三版.2张禾瑞、郝炳新编.高等代数. 北京:高等教育出版社,1983.07第三版3冯克勤、余红兵. 整数与多项式.北京:高等教育出版社,1999.104 石生明.近世代数初步.北京:高等教育出版社,2002.2 5.网上与整数和多项式整除性理论相关的资料。6 课外数学天地, 福建教育出版社编。7初等整数论, 熊全沦, 武汉、湖北教育出版社.8 高等代数, 高等教育出版社。9 张禾瑞 郝鈵新编.高等代数M（第四版）。高等教育出版社，2003年5月10 milksea 整数 http:/ 谢 毕业论文致谢词模版本论文是在导师余海峰副教授的悉心指导下完成的。导师渊博的专业知识，严谨的治学态度，精益求精的工作作风，诲人不倦的高尚师德，严以律己、宽以待人的崇高风范，朴实无华、平易近人的人格魅力对我影响深远。不仅使我树了远大的学术目标、掌握了基本的研究方法，还使我明白了许多待人接物与为人处世的道理。本论文从选题到完成，每一步都是在导师的指导下完成的，倾注了导师大量的心血。在此，谨向导师表示崇高的敬意和衷心的感谢！