不定积分毕业汇报资料.doc

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1、-本科生毕业论文设计不定积分的计算方法及拓展作者姓名：指导教师：所在学院：数学与信息科学学院专业（系）：数学与应用数学班级（届）：201X届数学X班二一五年 四月二十四日目 录中文摘要、关键字11 不定积分的计算方法21.1 分部积分法21.1.1 分部积分法得基本认识21.1.2 函数、的优选判别31.2 第一换元积分法41.2.1 第一换元积分法概念41.2.2 常用凑微分公式41.3 第二换元积分法51.3.1 第二换元积分法概念51.3.2 第二换元法的常用代换52 几种特殊类型函数的积分82.1 计算有理函数的不定积分82.1.1 有理函数的基本认识92.1.2 有理真分式分解及部分

2、分式法92.2 计算三角函数有理式的不定积分112.3 计算某些无理根式的不定积分142.4 计算分段函数的不定积分16参考文献17英文摘要、关键字18不定积分的计算方法及拓展数学与信息科学学院 数学与应用数学指导教师 作者 摘要:不定积分在数学分析学科中的占据着重要地位.不定积分是计算微分的逆运算,是计算函数定积分运算的基本前提,是一种处理具体应用如,物理学运动、液体流速等,经济学函数数量统计,以及几何学上曲线、曲面等问题的重要途径.本文主要阐述了三种常用的计算方法和四类特殊函数的不定积分计算方法.关键字:原函数 不定积分 变量代换 有理式 有理化 三角函数有理式 无理根式引 言不定积分的计

3、算方法的研究不仅仅是某些经验方法的积累它存在着更多哲学的思辨.它依靠一定的逻辑规则为微积分学科的应用与思辩开拓了新途径,是定积分计算的基础.针对有理式、三角函数有理式及无理根式三种特殊函数的不定积分在思想及具体方法进行的探究联系与总结.最终,归纳分类形成合理的统一的公式解法.1 不定积分的计算方法应用基本积分公式表、积分性质以及某些复合运算的技巧可解得一些函数的原函数.而一些不符合基本积分公式的函数计算不定积分经转化最终也可归为基本不定积分.对于如,等这类无法直接应用基本积分公式的初等函数求其原函数,我们需要从一些求导法则去导出相应的不定积分法则,扩充不定积分公式.1.1 分部积分法1.1.1

4、 分部积分法得基本认识定理1 假设有、可导,且存在,于是有不定积分也存在,并有.常简写作1.一般地,被积函数中若含有某些幂函数,无理根式,对数函数,反三角函数等因式时可应用分部积分法计算不定积分,可将这类因式作为;对于容易看出,且的原函数易解得的情况下也可以应用分部积分法3.例1 计算.解:令,则有,.由分部积分公式得.例2 计算.解:令,则,由分部积分公式得.有些情况下,可能需多次应用分部积分法,若循环出现某个积分,可应用解方程的思想求解.例3 计算.分析:应用分部积分法;同时,需作适当的代换求解.解:,由于,可设,;整理得.1.1.2 函数、的优选判别分部积分的难点不仅在于积分方法的正确应

5、用还在于函数、的正确选择8.函数、的选择原则:(1) 由计算要容易求得(应用分部积分公式的前提);(2) 需比更容易导出(应用分部积分公式的目的)4.,类型积分.是关于的次多项式,;其中,所表示的是指其代表的一类函数,是常数.取.例4 计算.分析:令,需重复应用分部积分公式;解:.,类型积分.其中,等表示的是其所属的一类函数.取.例5 计算.分析:依据上述说明,应用适当的根式代换求解即可;解:,.,类型不定积分.需重复应用分部积分公式或应用公式.特别的,;.例6 计算.解:设,则,;,;整理,得.1.2 第一换元积分法1.2.1 第一换元积分法的概念定理2 若被积函数,且,则有2.第一积分换元

6、积分法也称“凑”微分积分法,它常常由基础积分公式转化而来通过凑微分的方法引出新的积分变量.1.2.2 常用凑微分公式.凑常数:.凑幂函数:.凑三角函数:;.凑倒数:,(其中).例7 计算;2）.解:1）令,则有,因,故, .2）令,由于,因此.1.3 第二换元积分法(代换法)1.3.1 第二换元积分法概念定理3 若被积函数,且存在,则有2.第二换元积分法并不是单纯的复合函数求导的逆过程,也涉及到反函数求导定理.第二积分换元法,主要应用于计算无理根式的不定积分.针对此类含根式的不定积分,该方法可设法消去根号,将其转化为简单函数的不定积分.1.3.2 第二换元法的常用代换代换变形去将被积函数化成容

7、易计算的形式.常见的积分的代换有根式代换、三角函数代换、倒置代换5.根式代换当被积函数中为根式如,、,可设.例8 计算1）;2).解:1）设,则,于是,.2) 令,则,;于是.三角函数变换 被积函数含因式,可设或进行转化; 被积函数含因式,可设或进行转化; 被积函数含因式,可设或进行转化.例9 计算1);2);.解:1) 设,则有.于是,;则有整理得 .2) 设,;当时,存在反函数,由此;（方法引入）根据构造参考直角三角形,则有, .例10 (区分变形)计算.分析:利用分部积分法,其中,整理得.倒置代换若被积函数的分母中含因子或分母次数较高时,可令.例11 计算.分析:被积函数分母中含根式,可

8、应用倒置代换;另外,分母中存在形式根式可令进行二次代换.解:令,则有,于是;令,于是.例12 计算.解:若,则,于是.指数代换当被积函数含有因子时,可令以简化被积函数.例13 计算.解:令,则,;于是, .反三角函数代换被积函数中存在反三角函数时某些情况下利用分部积分法即可,而对于较复杂的被积函数如复合函数中存在反三角函数则可考虑代换法.例14 计算.解:若令,则,.于是 .2 几种特殊类型函数的积分在掌握了一些最基本的积分运算方法之后,我们将面临一些特殊类型函数的不定积分,本节内容将针对有理函数,三角函数有理式以及某些无理根式的不定积分进行研究与讨论.然而,无论这些不定积分多么复杂,在原则上

9、我们都可以通过求不定积分的方法与技巧按一定步骤求解得出.2.1 计算有理函数的不定积分2.1.1 有理函数的基本认识有理函数,指由两个多项式的商表示的函数.其具体形式为:,其中,都是非负整数;及都是实数,同时,、为互素的多项式1.有理函数分有真分式和假分式两种类型:若nm,称此有理函数为真分式;若,称此有理函数是假分式.利用多项式除法,假分式可以化为一个多项式和一个真分式之和(称为部分分式分解),因此讨论有理函数的积分只需考虑真分式的积分方法即可1.如果在实数范围内可分解成一次因式与二次质因式()的乘积形式,即,其中,则真分式可以分解为如下部分分式之和形式:.其中,都是常数6.最简真分式只有如

10、下四种:,;,.2.1.2 有理真分式分解及部分分式法依据以上理论,求有理函数的不定积分只需要由分解部分分式分别求其不定积分,应用待定系数法分解部分分式步骤简述如下:对在实系数内进行标准的因式分解:;根据所含各个因子,列出与之对应的部分分式:如,分母含因式,与之对应的部分分式是;对于所有与因式对应的部分分式为.所有部分分式之和为.确定待定系数:一般,所有部分分式经过通分相加,所得分式分母即为,同时,分子必然与原分子恒等.因此,各同幂项系数分别相等,于是我们可得出一个待定系数的线性方程组,方程组的解即为各项所需确定的系数.注:分母中如果含有因子(为关于的一次因式或二次质因式),则分解后为个部分分

11、式之和.计算有理函数积分的步骤:先用待定系数法或赋值法将有理分式转化为部分分式之和的形式,再对各部分分式分别求不定积分.例15 计算.分析:被积函数是有理真分式,若逐步确定比较困难,因此,可令分子应用赋值法转换成与分母的组成因子相关联的形式.方法一 令分子,解得,于是 .方法二 令,那么,则,于是 .当有理真分式的分母次数较大(大于等于4)时,常规的待定系数法显然比较麻烦,此时可以选择采用凑微分法或变量代换的方法;特别地,当被积函数的分母中含有因子()时,一般采用倒置代换可将被积函数的分母中所含变量因子消去.例16 计算.分析:此题中被积函数的分母次数较大,根据其特点使,采用凑微分法可将,消去

12、.解:令,则有,于是整理得,.经过以上探索,我们会发现:有理函数的不定积分一定可以通过初等函数,如对数函数、有理函数及反正切函数等表达出来.那么,求一个函数的原函数就可以予以适当的换元,使被积函数转化为有理函数,于是这个函数的不定积分总能被”积”出这样的方法称为”有理化法”6.2.2 计算三角函数有理式的不定积分三角函数有理式是指三角函数、常数经过有限次的四则运算构成的函数,记为;所谓计算三角函数有理式的不定积分,即计算;求三角函数有理式的不定积分,其基本思想为:通过适当的变换,从而将三角函数的积分化成有理函数的积分,转化的过程通常利用到三角函数的”万能公式”3.求,通常通过变换使,则有,;.

13、所以,.三角有理式的积分分类:.若是关于的奇函数,即,令即可;例17 计算.分析:是关于的奇函数,可利用代换求解.解:令,则,于是,整理得.若是关于的奇函数,即,令即可;例18 计算.分析:是关于的奇函数,使用代换求解.解:令,则,于是,整理得.若,令即可;例19 计算.分析:可令进行代换.解:令,于是,整理得.被积函数形如,其原函数的计算具体情形分为两种:若、至少存在一个为奇数,假如有(),则可设.如, .若、均为偶数,可借用三角函数的二倍角公式:,将被积函数化简,所得结果为含或奇数次幂时可借情形求解;另外,若同时含、的偶数次幂则需继续应用公式化简,化为含或的幂函数形式,以下情形类推.例20

14、 计算.分析:被积函数三角函数次数均为偶数,可利用公式”降次升倍”代换化简.解:,整理得.形如,可应用积化和差公式进行代换:;.例21 求.解: .2.3 计算某些无理根式的不定积分.型根式不定积分().令可化为有理函数的积分.其中均为常数,正整数;由得,于是(其中,).有理函数所求导数仍是有理函数,即为关于的有理函数.例22 计算.分析:将有理化,于是有,可应用上述代换.解:令,于是,; .拓展1 对于(其中,为常数且,为元有理函数.)型根式不定积分的.对此,设,为的公分母,即可将此无理根式的不定积分转化为有理函数的积分.例23 计算.分析:这里,于是,解:令,则,整理得.型根式的不定积分(

15、时;时).由于,若取,于是,函数有三种表示;.于是可转化为;类型的积分计算1.例24 计算解:.拓展2 对;型无理根式的不定积分.采用三角换元法代换求解,具体代换如下:,可使或;,可使;,可使.二项微分式的积分,形如,(,且均不为0),此类积分在三种情况下可转化为有理函数的积分:为整数;是整数;是整数3.可使,为的公分母;情况、可使或,为的分母.例25 计算.分析:,其中,于是符合上述.解:设,则,于是,整理得.2.4 计算分段函数的不定积分若分段函数连续,则原函数连续.在分别计算得到各区间的函数的原函数后,需由原函数在分界点的连续性确定得出各积分常数的关系7.例26 已知且,求.分析:由于与

16、在处连续,则该函数的原函数也连续.解:令,则,又有,得;因在处连续,于是,因此,参考文献1华东师范大学数学系.数学分析(上册)M.-3版.北京:高等教育出版社,20012毕志伟.经济数学微积分题解M.武汉:华中科技大学出版社,2003.103张伟,汪赛,朱金艳.微积分（经济管理）学习辅导M.北京:机械工程出版社4朱孝春.不定积分分部积分中渗透逻辑推理与辩证法则的教学研究J.浙江同济科技职业学院.高师理科学刊,2013,9.第33卷,第5期.975刘玉琏.数学分析讲义(上册)M.第五版,高等教育出版社.6刘正荣.数学分析:全2册M.北京:科学出版社,2012.7孙明岩,冯明军.微积分学习指导M.

17、沈阳:东北大学出版社,2011.98孙振绮,(乌克兰)O.包依丘克.工科数学分析教程M.-2版.北京:机械工业出版社,2007.5The calculation methods of indefinite integral and expandAbstract: The indefinite integral in mathematical analysis course occupies an important position. The indefinite integral is the inverse operation of calculating differential, th

18、e basic premise is the calculation of definite integral function operation, Is an important way to deal with the specific application problems, such as, the problem of motion , the velocity of the liquid in Physics, the curve, and the surface geometry. This paper mainly expounds the indefinite integral of three kinds of commonly used calculation method and calculation method of four kinds of special functions.Key: The original function; The indefinite integral; Variable substitution; The rational formula; The rational; The rational formula of trigonometric function; Irrational root