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1、小论倍长中线法及其应用郑贤镇本讲的主要内容 何为倍长中线法 倍长中线法的初步应用 倍长中线法的进阶应用 小结何为倍长中线法? 倍长中线法:将某个三角形的某条中线延长一倍,之后将新构造所得的端点与该三角形顶点连结,进而构造出一对全等三角形。利用全等三角形的相关知识来证明所给的几何命题。倍长中线法的初步应用例题例题1:如图,在:如图,在ABC中,中,AB=7,AC=5,AD是是BC边的中线。则边的中线。则2AD的取值范围是的取值范围是_.解:不妨延长AD至E,使得DE=AD,连结B,E。则显然AE=2AD,又易证ADC EDB(SAS)。故AC=EB,在ABE中,利用三边的不等关系,AB-BEAE
2、AB+BE,可知22AD12.倍长中线法的初步应用例题例题2:在:在ABC,A,B,C,中中,AD、A,D,分别分别是是BC、B,C,边边的的中线中线,AB=A,B,,AC=A,C,,AD=A,D,,请证明,请证明ABC A,B,C,。证明:分别延长AD至E、A,D,至E,使得DE=AD、D,E,=A,D,,连结B,E、B,E,。可以证明:ADC EDB,A,D,C, E,D,B,(SAS)。故有BE=CA,B, E, =C, A,,1=E,2=E,。由于CA=C, A, ,故BE= B, E, 。进而可证明ABE A,B,E, (SSS),因此E= E,且BAD= B, A, D,故1= 2
3、,BAC= BAD+ 1= B, A, D, + 2= B, A, C, 。 进而可证ABC A,B,C,(SAS)。倍长中线法的进阶应用例题例题3:如图,:如图,CB,CD分别是钝角分别是钝角AEC和锐角和锐角ABC的中线,且的中线,且AC=AB。求证:求证:CE=2CD。证明:延长CD至点F,使DF=CD,连接B,F。则由ADC BDF,可得AC=BF,1=A,由AC=AB得ACB=2因为3=A+ACB,故3=CBF。再由AC=AB=BF=BE及BC=BC,可得CBE CBF,所以CE=CF,即CE=2CD。小结实际上,由倍长中线时的操作便可知,我们总是能通过SAS的全等模型构造全等三角形。之后便能将一些看似“分散”的条件聚集于同一个三角形中,从而将问题明晰。