反函数在生活中的应用 毕业论文.doc

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1、 毕业论文题 目：反函数在生活中的应用 院 系： 数学与计算机科学学院 指导教师： 班 级： 08级数应(2)班 姓 名： 完成时间： 2012-4-5 反函数在生活中的应用摘要： 数学是一种应用非常广泛的学科。数学家华罗庚曾经说过：“宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生活之迷、日月之繁，无处不用数学。”这可以说是对数学与生活的关系的完美阐述。新课程标准出现的一类新颖试题,近年来与实际生活相结合的题目屡见不鲜,不仅要求数学教学必须从学生熟悉的生活情景和感兴趣的事物出发，为他们提供观察和操作的机会，使学生有更多的机会从周围熟悉的事物中学习数学和理解数学，体会到数学就在身边，感受到

2、数学的趣味，而且还要激发学生运用数学解决实际问题的兴趣，培养探索精神、应用意识和实践能力，做到学以致用，进一步体会数学的作用和价值，感受到数学的魅力。本文应用分析与综合、比较与分类的数学思维研究方法对数学中的反函数进行探讨来以求解决日常中遇到的实际问题。关键词：反函数 定义域 值域 图像目录：1.反函数的概念：51.1原函数与反函数的关系：51.2反函数的定义：52.反函数的性质：62.1反函数相关性质的总结和分析。62.1.1.互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称；函数及其反函数的图形关于直线y=x对称62.1.2.函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；严格增（减

3、）的函数一定有严格增（减）的反函数。72.1.3.一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；72.1.4.大部分偶函数不存在反函数82.1.5.点P（a，b）关于直线 y=x 对称的点是P1（b，a）。82.1.6.严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数。82.1.7.反函数是相互的且具有唯一性82.1.8.定义域、值域相反对应法则互逆。92.1.9. 原函数一旦确定，反函数即确定。93.反函数在日常生活中的应用：93.1求反函数的步骤：93.1.1、先求出反函数的定义域，因为原函数的值域就是反函数的定义域；93.1.2、反解x，也就是用y来表示x；103.1.3、改写，交换位置，也就

4、是把x改成y，把y改成x；103.1.4、写出原函数及其值域。103.1.5.反函数求解三步骤：103.2数学中反函数的相关例题：103.2.1函数是高中数学中的重要内容，反函数又是函数的重要组成部分，也是同学们学习函数的难点之一。反函数在历年高考中也占有一定的比例。在生活中我们也遇到许多数学问题通过转换成反函数解决更容易。103.2.2互为反函数图象间关系。13引言：数学家波利亚曾说：“数学教师的责任是尽其可能来发展学生解决问题的能力。”可见体会数学的意义和价值，联系生活实际理解并掌握知识，不是我们的最终目标。学以致用，应用所学的知识去发现、分析、直至解决生活中的问题，才是最终的目标。数学源

5、于生活，更应该应用于生活以及在解决数学问题中转换一个角度去考虑问题会更简单易懂。无论我们从事何种学习，其唯一目的就是利用所学知识解决生活中我们遇到的问题，数学中有些函数看似非常复杂如果我们转换成反函数，用反函数的思想去求其定义域及其相关问题会更简单。在初高中的数学教材中都多多少少涉及到了反函数，虽然反函数在中高考中所占比例都不是很大，但这并不能忽视反函数在生活中以及数学中的重要地位。要想充分利用某一知识点解决实际问题，必须对知识做到理解、掌握，从而才可以做到将理论知识灵活应用。本文将通过对反函数的概念、性质等多方面的分析，从而引出反函数日常生活中及在解决数学问题方面的应用。增强同学们换位思考的

6、意识，从而达到解题目的。1.反函数的概念：1.1原函数与反函数的关系： 关于反函数的概念，课本上和很多资料上都是采用由具体到抽象、由特殊到一般的思想方法，即举二到三个具体的函数，如物理中的位移，速度（暂定为常量），时间的关系：，表示位移是时间 的函数，其中是自变量，是函数值；反过来，也可以用位移和速度来表示时间，即 sv，其中是自变量，是函数值. 再进一步分析这两个函数，明确他们之间的关系，进而根据函数的概念概括出反函数的概念。由于函数是一种对应关系，这个概念本身就不好理解，而反函数又是函数中的一种特殊现象，另外，反函数的概念比较抽象，文字叙述又比较长. 所以要弄清反函数的概念，正确理解反函数

7、与函数之间的关系是必不可少的重要环节. 因此，要弄清反函数的概念，又不得不弄清函数和反函数的“三反”关系，再根据函数的概念来理清反函数的概念 1.2反函数的定义：一般地，我们设函数y=f(x)(xA)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x= g(y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x= g(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x= g(y)就表示y是自变量，x是因变量y的函数，这样的函数x= g(y)(yC)叫做函数y=f(x)(xA)的反函数，记作. 反函数的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.（定义域 ：指该函数的有效范围，其关于原点对称是

8、指它有效值关于原点对称 。）例题1：已知f(x)=(x3)， 求f-1(5)。 解：设f-1(5)=x0， 则 f(x0)=5，即 =5 (x03) x02+1=5x0-5， x02-5x0+6=0。解得x0=3或x0=2(舍)， f-1(5)=3。例题2：已知f(x)=的反函数为f-1(x)=，求a，b，c的值。解：求f-1(x)=的反函数，令f-1(x)=y有yx-3y=2x+5.(y-2)x=3y+5 x=(y2)，f-1(x)的反函数为 y=.即=， a=3， b=5， c=-2。2.反函数的性质： 2.1反函数相关性质的总结和分析。数学知识的性质是指从数学概念直接推导得出的运算法则或

9、者运算公式等延伸的知识，数学知识的概念和性质具有紧密的衔接关系。反函数性质就是指从反函数的概念直接推导出的反函数的运算形式 。2.1.1.互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称；函数及其反函数的图形关于直线y=x对称例题：已知f(x)= (0x4)， 求f(x)的反函数。解： 互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称。0x4，0x216， 925-x225， 3y5， y=， y2=25-x2， x2=25-y2. 0x4，x= (3y5)将x， y互换， f(x)的反函数f-1(x)= (3x5)。2.1.2.函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；严格增（减）的

10、函数一定有严格增（减）的反函数。一般的偶函数一定不存在反函数(但一种特殊的偶函数存在反函数,例f（x）=a（x=0）它的反函数是f（x）=0（x=a）这是一种极特殊的函数)，奇函数不一定存在反函数。关于y轴对称的函数一定没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。例题：已知函数。(1)求函数的单调增区间；(2)求其单调增区间内的反函数。解：复合函数y=fg(x)的单调性与y=f(t)，t=g(x)的单调性的关系：同增异减。(1)函数的定义域x|x2，又t=x2-2x=(x-1)2-1 x(-，0)，t是x的减函数而是减函数， 函数f(x)在(-，0)为增函数。(2)函数f(x)

11、的增区间为(-，0)， 令，则。 ，。 x0，2.1.3.一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；例如： 若函数f(x)在其定义域D上是单调增函数,求证它的反函数f-1(x)也是增函数证明：在f-1(x)的定义域内任取x1,x2且x1x2令 f-1(x1)=y1, f-1(x2)=y2于是有f(y1)=x1; f(y2)=x2 所以 f(y1)f(y2)因为f(x)在其定义域D上是增函数，所以y1y2所以 f-1(x1)f-1(x2)，所以f-1(x)也是增函数2.1.4.大部分偶函数不存在反函数（唯一有反函数的偶函数是f(x)=ax,x0，但是y=k（常数）无法通过水平线测试，所以没有反

12、函数。）。奇函数不一定存在反函数。被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。 2.1.5.点P（a，b）关于直线 y=x 对称的点是P1（b，a）.例题：设点(4，1)既在f(x)=ax2+b (a0)的图象上，又在它的反函数图象上，求f(x)解析式。 解：解得.a=-， b=， f(x)=-x+.2.1.6.严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】。 例题：设函数y=f(x),(xA)是增函数，证明：它的反函数是增函数。证明：设y1,y2f(x)| xA, y1y2，则存在x1,x2使y1=f(x1), y2=f

13、(x2).f(x1)f(x2).f(x)是增函数,x1x2 即f -1(y1)f -1(y2).x= f -1(y)是增函数，即y=f -1(x)是增函数2.1.7.反函数是相互的且具有唯一性例题：求函数y =3x-2的反函数。 解：y=3x-2的定义域为R，值域为R. 由y=3x-2解得 x=1/3(y+2) 将x,y互换,则所求y=3x-2的反函数是 y=1/3(x+2)（x属于R）2.1.8.定义域、值域相反对应法则互逆。2.1.9. 原函数一旦确定，反函数即确定。 通过上面反函数的九个性质的总结，为更好的解决有关反函数的问题提供了解题思路和方法3.反函数在日常生活中的应用：在我们的生活

14、中，处处存在数学知识。只要留意，就能发现.比如：增长率、企业成本与利润的核算、市场调查与分析等等，都可以让我们感受到数学应用的广泛性，并明确数学可以帮助他们更好地认识自然和人类社会，更好的适应生活，有效的进行表达和交流。3.1求反函数的步骤：我们知道在学习过程中，直接求原函数的值域是很困难，但通过求其反函数的定义域来确定原函数的值域，这样，通过反函数来求解很容易解决问题，一般求反函数的步骤是这样的： 3.1.1、先求出反函数的定义域，因为原函数的值域就是反函数的定义域； （我们知道函数的三要素是定义域、值域、对应法则，所以先求反函数的定义域是求反函数的第一步） 3.1.2、反解x，也就是用y来

15、表示x； 3.1.3、改写，交换位置，也就是把x改成y，把y改成x； 3.1.4、写出原函数及其值域。 实例：y=2x+1（值域：任意实数） x=(y-1)/2 y=(x-1)/2（x取任意实数） 特别地，形如kx+ky=b的直线方程和任意一个反比例函数，它的反函数都是它本身。 3.1.5.反函数求解三步骤： 1) 换：X、Y换位 2) 解：解出Y 3) 标：标出定义域。以上即为求解反函数的步骤，掌握这个解题方法就可以很容易将反函数应用到数学问题中了。3.2数学中反函数的相关例题：3.2.1函数是高中数学中的重要内容，反函数又是函数的重要组成部分，也是同学们学习函数的难点之一。反函数在历年高考

16、中也占有一定的比例。在生活中我们也遇到许多数学问题通过转换成反函数解决更容易。例1. 函数的反函数是（ ）。A BC. D. 解析：这是一个分段函数，对分段函数求反函数要注意分段求解。由函数解析式可知当时，；时。由性质1，可知原函数的反函数在时，则根式前面要有负号，故可排除A、B两项，再比较C、D，易得答案为C。例2. 若函数为函数的反函数，则的值域为_。解析：常规方法是先求出的反函数，再求得的值域为。如利用性质1，的值域即的定义域，可得的值域为。例3. 函数的反函数的图象与轴交于点P（0，2），如下图所示，则方程在1，4上的根是（ ）A.4 B.3 C.2 D. 1解析：利用互为反函数的图象

17、关于直线对称，的图象与轴交于点P（0，2），可得原函数的图象与轴交于点（2，0），即，所以的跟为x =2，应选C。例4. 设函数的图象关于点（1，2）对称，且存在反函数，=0，则=_。解析：由=0，可知函数的图象过点（4，0），而点（4，0）关于点（1，2）的对称点为（，4）。由题意知点（，4）也在函数的图象上，即有，根据性质2，可得。例5 函数=在区间上存在反函数的充要条件是（ ）A. B. C. D. 解析：因为二次函数不是定义域内的单调函数，但在其定义域的子区间或上是单调函数，而已知函数在区间上存在反函数，所以或者，即或，应选C。例6. 已知是定义在R上的单调递增函数，且有，试证明。证明

18、：（反证法）假设存在，使得。是定义在R上的单调递增函数，由性质3知，也是R上的单调递增函数。若，则，即，矛盾。同理，当时，也可推出矛盾，故假设不成立，则。例7. 设，函数的图象与的图象关于直线对称，求的值。解析：函数的图象与的图象关于直线对称。与互为反函数。根据性质4，的反函数为。，得。例8. 设定义域为R的函数、都有反函数，并且函数和的图象关于直线对称，若，求的值。 解析：由已知条件可知与互为反函数，根据性质4，的反函数为，可得。3.2.2互为反函数图象间关系。例题1：函数y=f(x+1)与函数y=f-1(x+1)的图象( )A.关于直线y=x对称 B.关于直线y=x+1对称C.关于直线y=

19、x-1对称 D.关于直线y=-x对称解：y=f(x+1)与y=f-1(x+1)图象是分别将y=f(x)， y=f-1(x)的图象向左平移一个单位所得， y=f(x)与y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称，y=x向左平移一个单位而得y=x+1. 故选B.例题2：已知函数y=log2x的反函数是y=f1(x)，则函数y= f1(1-x)的图象是( )解:由y=log2x得f1(x)2x，所以y=f1(1-x)21-x， 选择C.例题3：:若是上的奇函数，且当时，则的反函数的图象大致是（ ）解：当时，函数单调递减，值域为，此时，其反函数单调递减且图象在与之间，故选A总结： 通过三个月的努力，在老

20、师与同学们的指导帮助下，反函数在生活中的应用顺利的完成了。好多同学都知道无论是在生活中还是在数学学习中，转换一个角度有些看似很难得问题就很容易解决了，反函数正是抓住这点弱点，通关转换角度转换思想，把一个很复杂的函数问题通过转化成反函数的问题就可以很容易求其定义域以及值域，从而达到解决实际问题的目的。 同时，在这次设计中，我也发现了自己的许多不足。首先，最初在学的时侯，对反函数与反比例函数的区别掌握的还不算很全面，走了不少弯路。其次，最初对反函数没有一个完整的概貌，考虑不是很全面，所以在生活中的应用中，碰到不少困难。再次，我还应该多掌握些反函数在生活中其他方领域的应用，不断提高自己在生活中应用反

21、函数的能力。 致谢：本毕业论文是在陈老师的亲切关怀和细心指导下完成的。他严肃的科学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我。从课题的选择到论文的最终完成，陈老师都始终给予我细心的指导和不懈的支持。四年多来，陈老师不仅在学业上给我以精心指导，同时还在思想、生活上给我以无微不至的关怀，在此谨向陈老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意。 在此，我还要感谢在一起愉快的度过四年大学生活的同学们，正是由于你们的帮助和支持，我才能克服一个一个的困难和疑惑，直至本文的顺利完成。在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完成，有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意!最后我还要感谢培养我长大含辛茹苦的父母，谢谢你们!参考书目：1.普通高课程标准实验教科书数学（必修一） 人民教育出版社 课程教材研究所编著2.普通高等教育高等数学教科书 同济大学出版社 上册 第六版3.数学分析清华大学出版社p28294.数学分析（上）辽宁人民出版社 一九八四年.沈阳5.数学教育研究概论 鲁正火等著 教育科学出版社.北京 1998.86普通高课程标准实验教科书数学（必修三） 人民教育出版社 课程教材研究所编著17