斐波那契数列斐波那契ppt课件.ppt

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1、极限存在准则及其应用极限存在准则及其应用数理系数理系苑静苑静 第一章 二二 、极限存在准则的应用、极限存在准则的应用一、极限存在准则一、极限存在准则极限存在准则及其应用极限存在准则及其应用 内容回顾：内容回顾：数列的定义数列的定义：自变量取正整数的函数称为数列数列，记作)(nfxn或，nxnx称为通项。数列极限的定义数列极限的定义：无限增大时，数列无限趋近于则称该数列以如果nnx，aa为极限极限。常数单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限一、极限存在准则一、极限存在准则Mxxxxnn121mxxxxnn121)(limMaxnn)(limmbxnnnx1nxM1x2xxamnx1nx1x2x

2、xb二二 、极限存在准则的应用、极限存在准则的应用!1! 31! 21! 111nxn例1 已知数列证明 此数列极限存在。证：nx显然单调递增，且,nx其中nxn321132112111111221212111n21121-11n21121-112121211112nnenn)!1! 31! 21! 111 (lim7182818. 2e自然对数之底自然对数之底321111此数列极限必然存在。 意大利商人兼数学家 他在著作算盘书中，首先引入阿拉伯数字，將十进位值记数法介绍给欧洲人认识，对欧洲的数学发展有深远的影响。 假设一对初生兔子要一个月才到成熟期，而一对成熟兔子每月会生一对兔子，那么，由一

3、对初生兔子开始，12 个月后会有多少对兔子呢？1 月 1 对1 月 1 对2 月 1 对1 月 1 对2 月 1 对3 月 2 对1 月 1 对2 月 1 对3 月 2 对4 月 3 对1 月 1 对2 月 1 对3 月 2 对4 月 3 对5 月 5 对令3 , 2 , 1n依次写出数列，就是，55,34,21,13,8 ,5,3,2,1 ,1这就是斐波那契数列斐波那契数列，其中的任一个数，都叫做斐波那契数斐波那契数。用nF表示第n个月的兔子的对数，则有如下递推公式递推公式5 , 4 , 3,12121nFFFFFnnn 与斐波那契数列密切相关的一个重要极限重要极限是）（1618. 0215

4、lim1nnnFF或者）（2618. 1215lim1nnnFF下面我们先来说明）（2式的含义并证明（至于）（1 式的含义见本例稍后的说明。）记，nnnFFb1则%1001 ）（nb就是第) 1( n月相对于第n月的兔子对数增长率3 , 2 , 1n若nnblim存在，则) 1lim(nnb表示许多年后兔子对数的月增长率。并求此极限。并求此极限。证：，11b23232bb，nnnFFb1其中其中例例2 2 证明数列证明数列nb), 2 , 1(111111nbFFFFFbnnnnnnn用数学归纳法容易证明：数列nb2是单调减少单调减少的。1 -2nb是单调增加单调增加的；数列又对一切成立，是有

5、界的有界的。21,nbn即数列nb21 -2nb的极限存在，的极限存在，根据“单调有界数列必有极限”的准则，的极限存在， *b与*bnb21 -2nb分别记作知数列即*2*1 -2limlimbbbbnnnn，分别对12211nnbb与2-21 -211nnbb的两边取极限，得与*11bb*11bb整理，得1* bbb与1* bbb两式相减，得0-*bb即nnnnbb21 -2limlim因此nnblim存在，记作b即bbnnlim对111nnbb两边取极限，得bb11解此方程，得因为, 1nb618. 1251b即，618. 1limlim1nnnnnFFb从而618. 01limnnb如图

6、,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果黄金分割（黄金分割（Golden SectionGolden Section）ACBCABAC那么称线段AB被点C黄金分割黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比黄金比。ACB1:618. 01:215:ABAC那么，黄金分割与斐波那契数列有何关系呢？那么，黄金分割与斐波那契数列有何关系呢？原来，黄金分割点的位置恰好是数列1nnFF当n时的极限618. 0215见（1）式。黄金分割在建筑、文艺、工农业生产和科学实 验中有着广泛而重要的应用。 图中主叶脉与叶图中主叶脉与叶柄和主叶脉的长柄和主叶脉的长度之和比约为度之和比

7、约为0.6180.618 文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异。高（文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异。高（137137米）与底边长（米）与底边长（227227米）之比为米）之比为0.629,0.629,但这些金字塔底但这些金字塔底面的边长与高之比都接近于面的边长与高之比都接近于0.618.0.618. 蒙娜丽莎的头和两肩在整幅画面中都处于完美的体蒙娜丽莎的头和两肩在整幅画面中都处于完美的体现了黄金分割，使得这幅油画看起来是那么的和谐和完现了黄金分割，使得这幅油画看起来是那么的和谐和完美美. .大自然中的斐波那契大自然中的斐波那契数数列列花瓣的花瓣的数数目目海棠（海棠（2 2）钱兰钱兰（3 3）大自然中的斐波那契大自然中的斐波那契数数列列花瓣的花瓣的数数目目洋紫荊（洋紫荊（5 5）黃黃蝉蝉（5 5）蝴蝶蝴蝶兰兰（5 5）大自然中的斐波那契大自然中的斐波那契数数列列花瓣的花瓣的数数目目雏菊雏菊（1313）雏菊雏菊（1313）斐波那契斐波那契数数列列与与音音乐乐3 32 25 53 3斐波那契斐波那契数数列列与与音音乐乐8 85 5内容小结内容小结1. 数列极限的存在准则2. 单调有界准则的应用3. 斐波那契数列和黄金分割单调有界准则 作业作业P30 1, 3 (2) , 4 P56 4 (1) , (3)4 (3) 提示:222nx12nx可用数学归纳法证 2nx