《高等数学总复习》PPT课件.ppt

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1、机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 oyzx,0),(zyxr给定与三坐标轴的夹角 , , r为其方向角方向角.方向角的余弦称为其方向余弦方向余弦. 222zyxxcosrxcosrycosrz设1. 向量运算加减:数乘:点积:),(zzyyxxbabababa),(zyxaaaazzyyxxbabababa),(, ),(, ),(zyxzyxzyxccccbbbbaaaa叉积:kjixayazaxbybzbba机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 向量关系:xxabyyabzzab0zzyyxxbabababa/b

2、a 0ba共面cba,0zyxzyxzyxcccbbbaaa0)(cba0ba面与面的关系面与面的关系0212121CCBBAA212121CCBBAA平面平面垂直:平行:夹角公式:),( , 0:111111111CBAnDzCyBxA),( , 0:222222222CBAnDzCyBxA021nn021nn2121cosnnnn 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,1111111pzznyymxxL：直线0212121ppnnmm,2222222pzznyymxxL：212121ppnnmm直线垂直:平行:夹角公式:),(1111pnms ),(2222pnms 021ss021ss2

3、121cosssss 机动 目录 上页 下页 返回 结束 CpBnAm平面:垂直：平行：夹角公式：0CpBnAm直线:),(, 0CBAnDCzByAx),(,pnmspzznyymxx0ns0nsnsnssin机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 求与两平面 x 4 z =3 和 2 x y 5 z = 1 的交线提示提示: 所求直线的方向向量可取为利用点向式可得方程43x) 1,3,4(40151232y15z平行, 且 过点 (3 , 2 , 5) 的直线方程. 21nnskji机动 目录 上页 下页 返回 结束 0101zyxzyx在平面上的投影直线方程.提示提示：过已知直线的

4、平面束方程从中选择01)1(1)1 (1)1 (得001zyxzy这是投影平面0)1()1()1 ()1 (zyx0) 1(1zyxzyx即0zyx使其与已知平面垂直：从而得投影直线方程, 1机动 目录 上页 下页 返回 结束 0502zyxzx且垂直于已知平面,0347zyx求该平面法线的的方向余弦.提示提示: 已知平面的法向量求出已知直线的方向向量取所求平面的法向量,513cos504cos,505cos1nsn)4, 1,7(1n)2,1,1 (s机动 目录 上页 下页 返回 结束 417211kji)4,5,3(2所求为22yxz122zyxyxz122yxyx0122zyxyx求曲线

5、绕 z 轴旋转的曲面与平面 的交线在 xoy 平面的投影曲线方程. 1zyx解：解：旋转曲面方程为交线为此曲线向 xoy 面的投影柱面方程为 此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为 2yz 0 x,它与所给平面的机动 目录 上页 下页 返回 结束 r1101:zyxL绕 z 轴旋转一周, 求此旋转转曲面的方程. 提示提示: 在 L 上任取一点), 1 (000zyM轴绕为设zMzyxM0),(旋转轨迹上任一点,Lxozy0MM则有00zy z22yx 201y得旋转曲面方程1222zyxr，代入第二方程将zy 0机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 0, 00

6、,sinsin),(11yxyxyxyxfxy求证：.0),(lim00yxfyx证证：0),(yxf故0),(lim00yxfyx, 0 20),( 22yxyxfyx 222 yx ,2 时，当022yxxyyx11sinsin总有 2 要证机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2 2 证明证明 不存在不存在 证证26300limyxyxyx 取取,3kxy 26300limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx ,12kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，故极限不存在故极限不存在（1） 令令),(yxP沿沿kxy 趋趋向向于于),(000yxP，若若极极限限值

7、值与与k有有关关，则则可可断断言言极极限限不不存存在在；（2） 找两种不同趋近方式，使找两种不同趋近方式，使),(lim00yxfyyxx存在，存在，但两者不相等，此时也可断言但两者不相等，此时也可断言),(yxf在点在点),(000yxP处极限不存在处极限不存在确定极限确定极限不存在不存在的方法：的方法：多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导根据定义根据定义必要条必要条件件充分条件充分条件反例反例 函数函数),(yxfz 在点在点),(00yx处可微的充分条件是处可微的充分条件是:（1）),(yxf在点

8、在点),(00yx处连续；处连续；（2）),(yxfx 、),(yxfy 在点在点),(00yx的的 某邻域存在；某邻域存在；（3）yyxfxyxfzyx ),(),(， 当当0)()(22 yx时是无穷小量；时是无穷小量；（4）22)()(),(),(yxyyxfxyxfzyx , 当当0)()(22 yx时是无穷小量时是无穷小量.思考题思考题0,00,)(),(2222232222yxyxyxyxyxf提示提示: 利用 ,222yxyx2122)(41),(yxyxf)0,0(0),(lim00fyxfyx故f 在 (0,0) 连续;, 0), 0()0 ,(yfxf又因0)0 , 0()

9、0 , 0(yxff所以知在点(0,0) 处连续且偏导数存在 , 但不可微 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 而)0 , 0(f,00时，当yx22)0 , 0()()(yxf22222)()( )()(yxyx0所以 f 在点(0,0)不可微 !232222)()( )()(yxyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 复合函数求导的链式法则“分段用乘,分叉用加, 单路全导, 叉路偏导”例如例如, ),(, ),(yxvvyxfuuvyxyxxu1f 3f;1yu2f 3f22. 全微分形式不变性, ),(vufz 对不论 u , v 是自变量还

10、是因变量,vvufuvufzvud),(d),(d设设),(xvufz ，而而)(xu ，)(xv ，则则xfdxdvvfdxduufdxdz ，试试问问dxdz与与xf 是是否否相相同同？为为什什么么？思考题思考题思考题解答思考题解答不相同不相同.等式左端的等式左端的z是作为一个自变量是作为一个自变量x的函数，的函数，而而等等式式右右端端最最后后一一项项f是是作作为为xvu,的的三三元元函函数数， 写出来为写出来为 xxvuxdxduufdxdz),(.),(),(xvuxxvuxfdxdvvf 其中 f 与F分别具,0),(, )(zyxFyxfxz解法解法1 方程两边对 x 求导, 得x

11、zdd)0(23FFfxxzdd1F 23FFfx 1 32FFfx12FFfxffx221FffFxfFx有一阶导数或偏导数, 求fxfxzxyfxdddd132ddddFxzFxyFf fx)dd1 (xy.ddxzxyFdd20dd3xzF机动 目录 上页 下页 返回 结束 0),(, )(zyxFyxfxz方程两边求微分, 得化简消去 即可得yd.ddxzyF d20d3zFyfxd 0dz)d(dddyxfxxfz 0ddd321zFyFxFxfxfd)(xF d1机动 目录 上页 下页 返回 结束 ),(zyxfu 有二阶连续偏导数, 且,sin2txz , )ln(yxt求.,2

12、yxuxu解解:uzyxtxyxxu1f(3 ftxsin2tx cos2)yxu2 12f(13 ftx cos2) 32f 33f)1cos(2yxtx)cossin2(2yxtxtx 3fyxtx1cos222)( yxxyxt1sin)(yx 1cos tyx 1yx 1机动 目录 上页 下页 返回 结束 t dtteyxezxxyx0sin, 2),(zyxfu 有连续的一阶偏导数 , )(xyy 及)(xzz 分别由下两式确定求.ddxu又函数答案答案:321)sin()(1ddfzxzxefxyfxux( 2001考研 ）机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,04222zzyx解

13、法解法1 利用隐函数求导0422xzxzzxzxz2 22zxxz222)( 2xz222xzz0422xz2)(1xz322)2()2(zxz.22xz求机动 目录 上页 下页 返回 结束 再对 x 求导设zzyxzyxF4),(222则,2xFxzxFFxz两边对 x 求偏导)2(22zxxxz2)2()2(zxzxz322)2()2(zxz2zxzx242 zFz机动 目录 上页 下页 返回 结束 为简便起见 , 引入记号,2121vuffuff ),(1zyxzyxff 具有二阶连续偏导数, ),(zyxzyxfw求.,2zxwxw解解: 令,zyxvzyxuxwwvuzyxzyx),

14、(vufw 11 fzyf 2),(2zyxzyxfzy则zxw2111 f22221211)(fyfzyxfzxyf yxf 122fy zy121 fyxf 2221,ff机动 目录 上页 下页 返回 结束 求曲面的切平面及法线 (关键: 抓住法向量) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 0),(:zyxF设 有光滑曲面在其上一定点),(000zyxM的切平面的法向量是的切平面的法向量是?)( ),(0000 xxzyxFx曲面 在点 M 的法向量法向量法线方程法线方程 000zzyyxx)( ),(0000yyzyxFy0)(,(0000zzzyxFz),(000zyxFx),(000z

15、yxFy),(000zyxFzMTn),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx复习 目录 上页 下页 返回 结束 )( ),(000 xxyxfx曲面时, ),(yxfz zyxfzyxF),(),(则在点),(zyx故当函数 ),(yxf),(00yx1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx法线方程法线方程,yyfF 1zF令有在点),(000zyx在点有连续偏导数时, )( ),(000yyyxfy0zz,xxfF 切平面方程切平面方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,法向量法向量用2211cosyxff将),(, ),(0000yxf

16、yxfyx,yxff表示法向量的方向角, 并假定法向量方向.为锐角则分别记为则,1cos,1cos2222yxyyxxffffff向上,) 1, ),(, ),(0000yxfyxfnyx复习 目录 上页 下页 返回 结束 3632222zyx在点(1 , 2 , 3) 处的切平面及法线方程. 解解:3632),(222zyxzyxF所以球面在点 (1 , 2 , 3) 处有:切平面方程切平面方程 ) 1(2x03694zyx即法线方程法线方程321zyx)2(8y0)3(18z149法向量令机动 目录 上页 下页 返回 结束 )6,4,2(zyxn )18,8,2()3, 2, 1(n 三元

17、函数 ),(zyxf在点),(zyxP沿方向 l (方向角),为的方向导数为coscoscoszfyfxflf 二元函数 ),(yxf在点),(yxP),的方向导数为coscosyfxflf沿方向 l (方向角为yfxfcossin机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 梯度梯度 三元函数 ),(zyxf在点),(zyxP处的梯度为zfyfxff,grad 二元函数 ),(yxf在点),(yxP处的梯度为),(, ),(gradyxfyxffyx3. 关系关系方向导数存在偏导数存在 可微机动 目录 上页 下页 返回 结束 0gradlflf梯度在方向 l 上的投影.指向 B( 3, 2 ,

18、2) 方向的方向导数是 .在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点Axd d)ln(22zyxu提示提示:31,32,32则cos,cos,cosAxu) 1ln( x1x,21yd dAyu) 11ln(2y0y,0(考研考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 , ) 1 ,2,2(AB0ABl 2121Azucoscoscoszuyuxulu21函数)ln(222zyxu在点)2,2, 1 (M处的梯度Mugrad)2, 2, 1 (,gradzuyuxuuM解解:,222zyxr令则xu21rx2注意 x , y , z 具有轮换对称性)2, 2, 1 (2222,2,2rzryrx)2

19、,2, 1 (92)2,2, 1 (92(考研考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解令令, 632),(222 zyxzyxF, 44 PPxxF, 66 PPyyF, 22 PPzzF故故 zyxFFFn , ,2, 6, 4 ,142264222 n方向余弦为方向余弦为,142cos ,143cos .141cos PPyxzxxu22866 ;146 PPyxzyyu22868 ;148 PPzyxzu22286 .14 PPzuyuxunu)coscoscos( .711 故故定定理理 2 2（充充分分条条件件）设设函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx的的某某邻邻域域

20、内内连连续续，有有一一阶阶及及二二阶阶连连续续偏偏导导数数，又又 0),(00 yxfx, , 0),(00 yxfy， 令令 Ayxfxx ),(00， Byxfxy ),(00， Cyxfyy ),(00，则则),(yxf在点在点),(00yx处是否取得极值的条件如下：处是否取得极值的条件如下：（1 1）02 BAC时具有极值，时具有极值， 当当0 A时有极大值，时有极大值， 当当0 A时有极小值；时有极小值；（2 2）02 BAC时没有极值；时没有极值；（3 3）02 BAC时可能有极值时可能有极值, ,也可能没有极值，也可能没有极值，还需另作讨论还需另作讨论求函数求函数),(yxfz

21、极值的一般步骤：极值的一般步骤：第第一一步步 解解方方程程组组, 0),( yxfx0),( yxfy求出实数解，得驻点求出实数解，得驻点.第二步第二步 对于每一个驻点对于每一个驻点),(00yx，求求出出二二阶阶偏偏导导数数的的值值 A、B、C. 第三步第三步 定出定出2BAC 的符号，再判定是否是极值的符号，再判定是否是极值.1222222czbyax的切平面,使其在三坐标轴上的截距的平方和最小, 并求切点. 解解: 设, 1),(222222czbyaxzyxF切点为),(000zyxM则切平面的法向量为,220ax,220by202czM即zczybyxax20202012202202

22、20czbyax1切平面方程0)(2020zzcz)(2020yyby )(2020 xxax机动 目录 上页 下页 返回 结束 ),(zyxFFFn 问题归结为求222222zcybxas在条件1222222czbyax下的条件极值问题 .设拉格朗日函数222222zcybxaF1222222czbyax)0,0,0(zyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 切平面在三坐标轴上的截距为,02xa,02yb02zc2222xaxaFx022ax0222222byybybFy0222222czzczcFz1222222czbyaxcbaaaxcbabbycbaccz由实际意义可知cbacccba

23、bbcbaaaM,为所求切点 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 唯一驻点22yxz求旋转抛物面与平面之间的最短距离.解：解：2261zyxd设为抛物面上任一点， 则 P ),(zyxP22yxz的距离为022zyx问题归结为(min)22(2zyx约束条件:022zyx目标函数:22 zyx作拉氏函数)()22(),(222yxzzyxzyxF机动 目录 上页 下页 返回 结束 到平面)()22(),(222yxzzyxzyxF.81,41,41zyx令22yxz解此方程组得唯一驻点02)22(2yzyxFy0)2)(22(2zyxFz02)22(2xzyxFx由实际意义最小值存在 ,24

24、1414161mind647故机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 画出积分域 选择坐标系 确定积分序 写出积分限 计算要简便域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积好算为妙图示法不等式( 先积一条线, 后扫积分域 )充分利用对称性应用换元公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 xysinxyo21d),(Dyxfyyxyxfarcsinarcsind),(10dyIxyyxfsin0d),(0d x0sind),(xyyxf2d xyyxyxfarcsin2arcsind),(01dy如图所示交换下列二次积分的顺序:xyyxfxI

25、sin020d),(d1D2D2d),(Dyxf解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,d222DyxR其中D 为圆周xRyx22所围成的闭区域.提示提示: 利用极坐标cosRr 原式cos022dRrrRr2033d)sin1(32R)34(313RyDR xo:Dcos0Rr 2222d机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3 3解解. 10, 11:.2 yxDdxyD其中其中计算计算 1D2D3D先去掉绝对值符号，如图先去掉绝对值符号，如图 dxydyxdxyDDDD 321)()(222 1211021122)()(xxdyxydxdyyxdx.1511 ,dd)(222yxe

26、yxxIyxD其中:(1) D为圆域; 122 yx(2) D由直线1,1,xyxy解解: (1) 利用对称性.yox1DyxxIDdd20dd)(2122yxyxD10320dd21rr4yxeyxDyxdd22围成 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 yxeyxDyxdd122o1yx11D2Dxyxy , xy将D 分为,21DDyxxIDdd2yxeyxDyxdd22200dd1112xyxx32添加辅助线利用对称性 , 得机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1 1. 1:222 zyxdvez，计计算算 解解法法，故采用先二后一，故采用先二后一为圆域为圆域的函数，截面的函数，截

27、面被积函数仅为被积函数仅为2221)(zyxzDz 上上dvedvezz2 10)(2dzedxdyzzD 102)1(2dzezz.2 ,d)(22vzy其中是由 xoy平面上曲线xy225x所围成的闭区域 .提示提示: 利用柱坐标sincosrzryxx原式522drx绕 x 轴旋转而成的曲面与平面5221 xr100 r20rr d100320d3250:zxyo5机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,)0(, 0)0(,)(存在设ffCuf，求)(1lim40tFtt)(tF解解: 在球坐标系下trrrftF02020d)(dsind)(trrrf02d)(440)(limttFt利用

28、洛必达法则与导数定义,得3204)(4limtttftttft)(lim0)0(f0)0(Fzyxzyxftzyxddd)(2222222其中 0)0(f 机动 目录 上页 下页 返回 结束 曲线积分第一类 ( 对弧长 )第二类 ( 对坐标 )(1) 统一积分变量转化定积分用参数方程用直角坐标方程用极坐标方程(2) 确定积分上下限第一类: 下小上大第二类: 下始上终机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1) 利用对称性简化计算 ;(2) 利用积分与路径无关的等价条件;(3) 利用格林公式 (注意加辅助线的技巧加辅助线的技巧) ; (4) 利用两类曲线积分的联系公式 .机动 目录 上页 下页 返

29、回 结束 ,d)(d)(22LyxyxyxI其中L 是沿逆时针方向以原点为中心,CoyxABL解法解法1 令,22xyQyxP则xQ这说明积分与路径无关, 故yxyxyxIABd)(d)(22aaxx d2332a1yPa 为半径的上半圆周.机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,BA它与L所围区域为D,CoyxABLDyxdd0yxyxyxBAd)(d)(22xxaad2D(利用格林公式)思考思考:(2) 若 L 同例2 , 如何计算下述积分:LyxyxyxId)(d) (2222yLyxyxyxId)(d)(2213332a(1) 若L 改为顺时针方向,如何计算下述积分:BALyxyxyxI

30、d)(d)(22则添加辅助线段机动 目录 上页 下页 返回 结束 LyxyxyxId)(d)(2213(1)ABABLDyxdd2)32(2aaLyxyxyxId)(d) (2222y(2)Lyxyxyxd)(d)(22Lxy d2ttadsin303,sin,cos:taytaxL332a13223 a32a0: t332aICoyxABLD机动 目录 上页 下页 返回 结束 曲面积分第一类( 对面积 )第二类( 对坐标 )转化二重积分(1) 统一积分变量 代入曲面方程(2) 积分元素投影第一类: 始终非负第二类: 有向投影(3) 确定二重积分域 把曲面积分域投影到相关坐标面机动 目录 上页

31、 下页 返回 结束 (1) 利用对称性简化计算(2) 利用高斯公式注意公式使用条件添加辅助面的技巧(辅助面一般取平行坐标面的平面)(3) 两类曲面积分的转化机动 目录 上页 下页 返回 结束 2121I9) 1(16)2(5122yxz23222)(ddddddzyxyxzxzyzyxI2221:yxz解解: 取足够小的正数, 作曲面取下侧 使其包在 内, 2为 xoy 平面上夹于之间的部分, 且取下侧 ,1与21ozyx取上侧, 计算, )0( z则机动 目录 上页 下页 返回 结束 21ozyx)2(133I2121Ivd01dddddd13yxzxzyzyx22322)(dd0yxyx2

32、第二项添加辅助面, 再用高斯公式计算, 得机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明证明: 设(常向量)则单位外法向向量, 试证Sdcoscoscoscoscoscos0vzyxd)cos()cos()cos(zyddcosxzddcosyxddcos设 为简单闭曲面, a 为任意固定向量, n 为的 . 0d)cos(Sa,nSa ,nd)cos(Sand0)cos,cos,(cosn)cos,cos,(cos0a机动 目录 上页 下页 返回 结束 yxrzxzryzyrxIdddddd333其中,222zyxr.:2222取外侧Rzyx解解:yxzxzyzyxRIdddddd13zyxRdd

33、d3134思考思考: 本题 改为椭球面1222222czbyax时, 应如何计算 ?提示提示: 在椭球面内作辅助小球面取2222zyx内侧, 然后用高斯公式 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2. 正项级数审敛法必要条件0limnnu不满足发 散满足比值审敛法 limn1nunu根值审敛法nnnulim1收 敛发 散1不定 比较审敛法用它法判别积分判别法部分和极限1机动 目录 上页 下页 返回 结束 为收敛级数1nnuLeibniz判别法判别法: 若,01nnuu且,0limnnu则交错级数nnnu1) 1(收敛

34、 ,概念概念:且余项.1nnur1nnu若收敛 ,1nnu称绝对收敛1nnu若发散 ,1nnu称条件收敛机动 目录 上页 下页 返回 结束 标准形式幂级数: 先求收敛半径 R , 再讨论Rx 非标准形式幂级数通过换元转化为标准形式直接用比值法或根值法处的敛散性 . 求下列级数的敛散区间:;)11 ()2(12nnnxn.2)4(21nnnxn练习练习:机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 解解:nnnnnna)11 (limlim当ex1因此级数在端点发散 ,enn1)11 (nneu nn)11 ( nn)11 ( )(01ne. )1,1(eee时,12)11 ()2(nnnxn,1eR

35、 exe11即时原级数收敛 .故收敛区间为机动 目录 上页 下页 返回 结束 nnnxn212)4()()(lim1xuxunnn解解: 因) 1(2121nnxn22xnnxn22,122x当时，即22x,2时当x故收敛区间为. )2,2(级数收敛;一般项nun不趋于0,nlim级数发散; 机动 目录 上页 下页 返回 结束 .) 1(31的收敛半径求幂级数nnnnxn解解: 分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数,lim1nnaannnnalim极限不存在1)(kkx,24212kkkxk1)(kkx12112122kkkxk)()(1limxxnnn,)4(2x411R)()(1limxxnn

36、n,)2(2x212R 原级数 =1)(kkx1)(kkx 其收敛半径4121,minRRR注意: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求部分和式极限求和 映射变换法 逐项求导或求积分nnnxa0)(*xS对和式积分或求导)(xS难直接求和: 直接变换,间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值求部分和等 初等变换法: 分解、套用公式（在收敛区间内） 数项级数 求和机动 目录 上页 下页 返回 结束 nnnxa0.!) 12(1) 1(120的和函数nnnxnn法法1 易求出级数的收敛域为),(022)(! ) 12(1) 1(21nnnxn原式120! ) 12() 1(21nnnxnx)sin

37、(21xx,cos2sin21xxx ),(x机动 目录 上页 下页 返回 结束 .) 1()4(1nnnnx;212) 1() 1(21nnnxn解解: (1) )(21121nnnx原式) 120(2x12)2(1nnxx222211xxx22xx222)2(2xx显然 x = 0 时上式也正确,. )2,2(x故和函数为而在2xx0,)2(2)(222xxxS级数发散,机动 目录 上页 下页 返回 结束 (4)nnxnn1111原式xnntt011dxnnttx01d1ttxd110tttxxd1100 x)1ln(x)1(ln11xx)1(ln)11(1xx) 10( xttnnxd1

38、10ttxnnxd110机动 目录 上页 下页 返回 结束 1) 1(nnnnx, )1(ln)11(1xx显然 x = 0 时, 和为 0 ; 根据和函数的连续性 , 有)(xS110, )1(ln)11(1xxxx及0 0 x，1 1x，10 xx = 1 时, 级数也收敛 . 即得机动 目录 上页 下页 返回 结束 的和的和由此求级数由此求级数为周期的付氏级数，并为周期的付氏级数，并以以内展开成内展开成将函数将函数 1212)11(2)(nnxxxf例例3 3解解,)11(2)(是是偶偶函函数数 xxxf 100)2(12dxxa, 5 101cos)2(12dxxnxan 10cos2

39、xdxnx 10sin2xnxdn1)1(222 nn机动 目录 上页 下页 返回 结束 12,42, 022knnkn), 2 , 1( k, 0 nb 122)12cos()12(4252kxkkx故故 122.)12()12cos(425kkxk)11( x), 2 , 1( n机动 目录 上页 下页 返回 结束 , 0 x取取由上式得由上式得 122,)12(14252kk 122,8)12(1kk 121212)2(1)12(11kknkkn而而,141)12(11212 kkkk3481212 nn.62 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束