沪教版高中数学高二下册第十二章12.3 椭圆的参数方程 教案.doc

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1、圆锥曲线的参数方程椭圆的参数方程教学设计说明教学目标（1）掌握椭圆的参数方程的形式，以及椭圆的参数方程与普通方程的互化；（2）能选取适当的参数求椭圆的参数方程并能利用椭圆的参数方程来解决最值、轨迹、距离等问题。教学重点：（1）椭圆的参数方程与普通方程的相互转化（2）椭圆的参数方程的应用教学难点：椭圆参数方程的应用教材分析相对于曲线的一般方程，参数方程是曲线的另一种代数表现形式，在设动点时减少参数的个数、刻画动点几何性质方面具有一定的优越性，而椭圆的参数方程是其中一个重要的内容。从教材的编排看，椭圆的参数方程被安排在圆的参数方程与双曲线的参数方程之间，它起着衔接，过渡，承前启后的作用。学情分析学

2、生已经掌握了椭圆的标准方程、图像和性质，能够简单的应用，但是对于一些求最值的问题感到计算比较困难。因此本节课椭圆的参数方程的教学应该帮助学生解决好：1、能从类比圆的参数方程的建立得出椭圆的参数方程；2、引导学生通过设置参数，建立椭圆的参数方程，体会椭圆规的设计原理；3、能利用椭圆的参数方程解决有关的问题，椭圆的应用是本节的难点。教学过程设计本节课采用“问题探究”的教学过程，能够在每一个教学环节中设置问题，引导学生去解决问题。而学习探究的题目后面的提示是在学生还不能正确建立M点的坐标时给一定的启发，在多媒体屏幕上展示M点的动画，提示学生哪些量变化，哪些量保持不变，如何建立参数方程，在学生发现轨迹

3、是椭圆时，让学生更清楚自己化简结果的准确性。思考题的设置便于学生对椭圆的参数方程有一个全面的理解，更加深刻的理解椭圆参数的几何意义，利用类比的思想，课后自己推到双曲线的参数方程。例1、主要是让学生准确掌握椭圆参数方程的形式以及椭圆参数方程与普通方程的互化；例2、说明椭圆的参数方程可使椭圆上点的坐标一元化，从而使复杂问题简单化，最值问题得以解决，提现参数方程的优越性；例3主要说明椭圆的参数不是我们误认为的倾斜角，加深对参数的理解；例4主要从实际问题出发，选择参数，建立参数方程，运用所学的知识探究一个实际的轨迹问题，在探究的过程中进一步掌握椭圆的参数方程，以及如何将实际问题中的条件转化为数学模型，

4、通过分析说明，建立参数方程，得到点M运行的轨迹为椭圆，从而说明椭圆规的设计原理是利用了椭圆的参数方程。教学过程：一、复习引入（1）焦点在轴上的椭圆的标准方程： （2）焦点在轴上的椭圆的标准方程：（3）圆的参数方程为：（为参数，）（4）圆的参数方程为：（为参数，）学习探究一：圆的参数方程的推导过程【设计意图】：通过复习焦点在轴、轴上的椭圆的标准方程和圆的参数方程引出本节课的主题：椭圆的参数方程，让学生模仿圆的参数方程的推导过程自己来推导椭圆的参数方程。二、椭圆参数方程的推导1、焦点在轴上的椭圆的参数方程：因为，又；设即，（为参数，且），（的周期）这是中心在原点O,焦点在轴上的椭圆的参数方程。在椭

5、圆的参数方程中，通常规定参数的范围为。2、焦点在轴上的椭圆的参数方程：（为参数）。知识点小结：（1）在椭圆的参数方程中，常数 分别是椭圆的 长半轴长 和 短半轴长 ；（其中） （2）焦点在轴上的椭圆的参数方程为： （为参数，且）；焦点在轴上的椭圆的参数方程为：（为参数，）。【设计意图】：让学生推导出焦点在轴上的椭圆的参数方程，类比写出焦点在轴上的椭圆的参数方程，总结在椭圆的参数方程中，常数的含义。三、椭圆参数方程的应用例1：普通方程与参数方程的互化（学生口答）（1） （2） （3） （4）【设计意图】：让学生口答椭圆的参数方程与普通方程的互化，加深对椭圆参数方程的理解与认识。例2：已知椭圆，求

6、：（1）椭圆的内接矩形面积的最大值；（2）若是椭圆上任意一点，求的最值；（3）若点是椭圆上的任意一点，求点到直线距离的最小值，并求出此时的坐标。【设计意图】：在学生熟悉椭圆的普通方程的基础上，利用椭圆的参数方程来求解。如果直接设的坐标，则所求的表达式中有两个变量，虽然可以借助椭圆方程转化为一个变量，但表达式比较复杂，而利用参数方程来解，只有一个参变量j，可以简化表达式，学生可以感受曲线的参数方程在代数“消元”中具有重要作用，体现了参数方程的优越性。 例3、是椭圆（为参数，）上一点，且在第一象限，（为原点）的倾斜角为 ，则点的坐标为（ ） A) B) C) D) 【设计意图】：本例主要说明椭圆参

7、数方程中的参数并不是我们想当然认为的的倾斜角，挑选易犯错的学生来回答本问题，刚开始为不完整解答，讲完例4之后再给出本例的完整解答过程。学习探究二：例4：下图是用来画某种曲线的一种器械。它的构造如图所示：在一个十字形的金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定滑块, 它们可分别在纵槽和横槽中滑动，在直尺上的点处用套管装上铅笔，使直尺转动一周就画出一条曲线，试指出这种曲线的类型并能说明它的构造原理（提示：可以用直尺和横槽所成的角为参数，求出点的轨迹的参数方程）。思考：椭圆的参数方程中参数的意义与圆的参数方程（是参数，）中参数的意义类似吗？【设计意图】：本例从实际问题出发，引导学生观察点运动时

8、的“变”与“不变”，线段长度保持不变，角度发生变化，因此选择角度作为参数，求出点的运行轨迹是一个椭圆，运用所学的新知识探究一个实际的轨迹问题，在探究的过程中进一步掌握椭圆的参数方程，感受参数方程在建立轨迹方程中的重要作用，以及在“如何分析实际问题中的条件并建立数学模型”方面积累经验。四、课堂总结（1）焦点在轴上的椭圆的参数方程：（为参数）；（2）焦点在轴上的椭圆的参数方程：（为参数）；（3）本节课利用到的数学思想求最值时用到函数的思想和推导椭圆参数方程时的类比思想（4）利用参数方程求最值，把三角函数与解析几何很好的结合起来，降低运算量，体现参数方程的优越性本课要求大家了解了椭圆的参数方程及参数

9、的意义，通过推导椭圆的参数方程，体会求曲线参数方程的方法和步骤。对椭圆的参数方程常见形式要理解和掌握，并能选择适当的参数方程正确使用参数式来求解最值、轨迹、距离等问题。【设计意图】再现课堂，小结提升，有助于学生明确重点，巩固所学的知识内容、数学思想和方法，以求达到教学目标。五、课后作业（1）作业36（2）课后探究：证明椭圆内接矩形面积的最大值.类比椭圆的参数方程，研究如何建立双曲线的参数方程.如右图，以原点为圆心，分别以为半径作两个圆，以为半径的圆为大圆，以为半径的圆为小圆。设为大圆上的任意一点，连接,与小圆交于点。过点作，垂足为，过点作，垂足为，求当半径绕点旋转一周时点的轨迹。分析：设以为始

10、边，为终边的角为，点的坐标是。那么点的横坐标为，点的纵坐标为。由于点均在角的终边上，由三角函数的定义有：；当半径绕点旋转一周时，就得到了点的轨迹，它的参数方程是：（是参数），这是中心在原点焦点在轴上的椭圆的参数方程。 圆的参数方程中是轴逆时针旋转到的旋转角即，那么椭圆的参数方程中是不是上图中轴逆时针旋转到的旋转角呢？由图可以看出，参数是点所对应的圆的半径（或）的旋转角（称为点的离心角），不是的旋转角。【设计意图】让学生课后自己思考一般椭圆内接矩形面积的最大值；由于教学大纲中对椭圆参数的几何意义不做要求，因此可以让学生自己查阅资料来探讨参数的几何意义，加深对椭圆参数方程的理解。六、板书设计椭圆的参数方程1、 焦点在轴上的椭圆的参数方程：（为参数）； 3、利用参数方程求最值的一般步骤（1）利用参数设出点的坐标（2）坐标带入，转化为三角函数问题（3）利用三角函数的范围求最值2、焦点在轴上的椭圆的参数方程：（为参数）； 4、例题分析