初中数学课件 关于中点的联想.doc

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1、专题 22 关于中点的联想阅读与思考线段的中点把线段分成相等的两部分，图形中出现中点，可以引起我们丰富的联想：首先它和三角形的中线紧密联系；若中点是在直角三角形的斜边上，又可以引用“斜边上的中线等于斜边的一半”结论；其次，中点又与中位线息息相关；另外，中点还可以与中心对称相连解答中点问题的关键是恰当地添加辅助线，如作中线倍长、作直角三角形的斜边上的中线、构造三角形、梯形中位线、构造中心对称图形等，如图所示： 例题与求解【例1】如图，ABC边长分别为AB14，BC16，AC26，P为A的平分线AD上一点，且BPAD，M为BC的中点，则PM的值为_ (安徽省竞赛试题) 解题思路：A的平分线与BP边

2、上的垂线互相重合，通过作辅助线，点P可变为某线段的中点，利用三角形中位线定理解题【例2】如图，边长为1的正方形EFGH在边长为3的正方形ABCD所在的平面上移动，始终保持EFAB，线段CF，DH的中点分别为M，N，则线段MN的长度为( ) (北京市竞赛试题)A B C D解题思路：连接CG，取CG的中点T，构造三角形中位线、梯形中位线【例3】如图，在ABC中，ABAC，延长AB到D，使BDAB，E为AB中点，连接CE，CD，求证：CD2EC (宁波市竞赛试题) 解题思路：图形中有两个中点E，B，联想到与中点相关的丰富知识，将线段倍分关系的证明转化为线段相等关系的证明，关键是恰当添加辅助线 例3

3、图【例4】如图1，P是线段AB上一点，在AB的同侧作APC和BPD，使APCBPD，PCPA，PDPB，连接CD，点E，F，G，H分别是AC，AB，BD，CD的中点，顺次连接E，F，G，H(1) 猜想四边形EFGH的形状，直接回答，不必说明理由；(2) 当点P在线段AB的上方时，如图2，在APB的外部作APC和BPD，其他条件不变，(1)中的结论还成立吗？说明理由；(3) 如果(2)中，APCBPD90，其他条件不变，先补全图3，再判断四边形EFGH的形状，并说明理由 （营口市中考试题） 图 图 图解题思路：结论随着条件的改变也许发生变化，但解决问题的方法是一致的，即通过连线，为三角形中位线定

4、理的应用创造条件【例5】如图，以ABC的AB，AC边为斜边向形外作直角三角形ABD和ACE，且使ABDACE，M是BC的中点，求证：DMEM （“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：显然DBM不全等于ECM，必须通过作辅助线，构造全等三角形证明DMEM 例5图【例6】如图，已知ABC中，ACB90，AB边上的高CH与ABC的两条内角平分线AM，BN分别交于P，Q两点，PM，QN的中点分别为E，F，求证：EFAB （全国初中数学联赛题）解题思路：从图形的形成过程，逐步探索相应结论将原问题分解为多个小问题 例6图 A 级1如图，若E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，则四边形EFGH是_ (1

5、)如果把条件中的四边形ABCD依次改为矩形、菱形、正方形或等腰梯形，其他条件不变，那么所得的四边形EFGH分别为_；(2)如果把结论中的平行四边形EFGH依次改为矩形、菱形、正方形，那么原四边形ABCD应具备的条件是_ （湖北省黄冈市中考试题） 第1题图 第2题图2如图，已知AGBD，AFCE，BD，CE分别是ABC和ACB的角平分线，若BF2，ED3，GC4，则ABC的周长为_ (重庆市竞赛试题)3如图，在ABC中，ABAC，ADBC于点D，E是AC的中点，若BC16，DE5，则AD_ （南京市中考试题）4 如图，在ABC中，ABAC，M，N分别是AB，AC的中点，D，E为BC上的点，连接D

6、N，EM，若AB13cm，BC10cm，DE5cm，则图中阴影部分的面积为_ （北京市中考试题） 第3题图 第4题图 第7题图5A，B，C，D顺次为四边形ABCD的各边的中点，下面条件中使四边形ABCD为正方形的条件是（ ） A四边形ABCD是矩形 B四边形ABCD是菱形 C四边形ABCD是等腰梯形 D四边形ABCD中，ACBD且ACBD 6若等腰梯形的两条对角线互相垂直，中位线长为8cm，则该等腰梯形的面积为（ ） A16cm2 B32cm2 C64cm2 D112cm2 7如图，梯形ABCD中，ADBC，E，F分别是BD，AC的中点，若AD6cm，BC18cm，则EF的长为（ ） A8cm

7、 B7cm C6cm D5cm 8如图，在梯形ABCD中，ADEFGHBC，AEEGGB，AD18，BC32，则EFGH（ ） A40 B48 C50 D56 （泰州市中考试题） 第8题图 第9题图9如图，在ABC中，B2C，ADBC于点D，M是BC的中点，求证：DMAB10 如图，在ABC中，BDCE，BE，CD的中点分别是M，N，直线MN分别交AB，AC于点P，Q，求证：APAQ 第10题图11在图1至图3中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点四边形BCGF和CDHN都是正方形AE的中点是M（1）如图1，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，求证：FM = MH，

8、FMMH；（2）将图1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图2，求证：FMH是等腰直角三角形；（3）将图2中的CE缩短到图3的情况，FMH还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由） (2009年河北省中考试题)图1AHC(M)DEBFG(N)G图2AHCDEBFNMAHCDE图3BFGMN12在六边形ABCDEF中，ABDE，BCEF，CDFA，ABDEBCEF，A1，B1，D1，E1分别是边AB，BC，DE，EF的中点，A1D1B1E1求证：CDEAFE 第12题图B 级1如图，正方形ABCD两条对角线相交于点E，CAD的平分线AF交DE于点G，交DC于点F，若GE24，则FC_2如图，四边形

9、ABCD的对角线AC，BD相交于点F，M，N分别是AB，CD的中点，MN分别交BD，AC于点P，Q，且FPQFQP，BD10，则AC_ （重庆市竞赛试题）第1题图 第2题图 第3题图3如图，在ABC中，BAC120，以AB，AC为边分别向形外作正三角形ABD和正三角形ACE，M为AD的中点，N为AE的中点，P为BC的中点，则MPN_ （北京市竞赛试题）4如图，已知A为DE的中点，设DBC，ABC，EBC的面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的关系是（ ）AS2(S1S3) BS2(S3S1) CS2(S1S3) DS2(S3S1) 5如图，在图形ABCD中，ABDC，M为DC的中

10、点，N为AB的中点，则 ( )AMN(ADBC) BMN(ADBC) CMN(ADBC) D无法确定MN与(ADBC)的关系 第4题图第5题图第6题图第7题图6如图，凸四边形ABCD的面积是a，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，那么图中的阴影部分的面积为( ) Aa Ba Ca Da （江苏省竞赛试题）7 如图，在ABC中，D为AB的中点，分别延长CA，CB到点E，F，使DEDF，过E，F分别作CA，CB的垂线，相交于点P求证：PAEPBF （全国初中数学联赛试题）8如图，锐角ABC中，作高BD和CE，过顶点B，C分别作DE的垂线BF和CG，求证：EFDG（全俄奥林匹克数学竞赛

11、试题） 第8题图9 如图，在ABC中，AD是BC边上的中线，点M在AB边上，点N在AC边上，并且MDN90，如果BM2CN2DM2DN2求证：AD2(AB2AC2) （北京市竞赛试题） 第9题图10已知：ABD和ACE都是直角三角形，且ABDACE90如图1，连接DE，设M为DE的中点(1)求证：MBMC；(2)设BADCAE，固定ABD，让RtACE绕顶点A在平面内旋转到图2的位置，试问：MBMC是否还成立?请说明理由 （江苏省竞赛试题）11已知OAB，OCD都是等腰直角三角形，AOBCOD90(1) 如图1，点C在OA边上，点D在OB边上，连接AD，BC，M为线段AD的中点，求证：OMBC

12、(2) 如图2，在图1的基础上，将OCD绕点O逆时针旋转(为锐角)，M为线段AD的中点求证：OMBC；OMBC是否还成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由 12如图1，在ABC中，点P为BC边的中点，直线a绕顶点A旋转，若点B，P在直线a的异侧，BM直线a于点M，CN直线a于点N，连接PM，PN(1)延长MP交CN于点E(如图2)求证：BPMCPE；求证：PMPN(2)若直线a绕点A旋转到如图3的位置时，点B，P在直线a的同侧，其他条件不变，此时PMPN还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由(3) )若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，其他条件不变请直接判断四边形MBCN的形状及此时PMPN是否成立不必说明理由 （沈阳市中考试题）