高一数学必修2教案：2.2.2直线与圆的位置关系.pdf

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1、 2.2.2 直线与圆的位置关系教学目标：1依据直线和圆的方程，能熟练求出它们的交点坐标2能通过比较圆心到直线的距离和半径之间的大小关系判断直线和圆的位置关系3 理解直线和圆的三种位置关系与相应的直线和圆的方程所组成的二元二次方程组的解的对应关系4会初步处理直线与圆相交时所得的弦长有关的问题，渗透方程思想，巩固基本量的求法教学重点：依据直线和圆的方程，求它们的交点坐标，理解直线和圆的三种位置关系与相应的直线和圆的方程所组成的二元二次方程组的解的对应关系教学难点：直线与圆相交时所得的弦长有关的问题教学过程：1问题情境(1)情境：圆心到直线的距离决定直线与圆的位置关系，那么已知圆22(1)(2)4

2、xy和直线1:4lx，2:0ly，3:10lxy(2)问题：判断该圆与三条直线的位置关系2直线l与圆C的方程分别为：220,0AxByCxyDxEyF如果直线l与圆C有公共点， 由于公共点同时在l和C上，所以公共点的坐标一定是这两个方程的公共解；反之，如果这两个方程有公共解，那么以公共解为坐标的点必是l与C的公共点由l与C的方程联立方程组220,0,AxByCxyDxEyF我们有如下结论：位置关系：相离相切相交drdrdr方程组无解方程组仅有一组解方程组有两组不同的解drd=rdr3例题讲解例 1求直线4340 xy和圆22100 xy的公共点坐标，并判断它们的位置关系解：直线4340 xy和

3、圆22100 xy的公共点坐标就是方程组224340100 xyxy的解解这个方程组，得11100 xy，22145485xy所以公共点坐标为14 48(10,0),(,)55所以，直线4340 xy和圆22100 xy有两个公共点，即直线和圆相交yxA(-1,4)OyxMABO例 2自点( 1,4)A作圆22(2)(3)1xy的切线l,求切线l的方程解法 1：当直线l垂直于x轴时，直线:1lx与圆相离，不满足条件，当直线l不垂直于x轴时，可设直线l的方程为4(1),yk x即(4)0kxyk，如图，因为直线与圆相切，所以圆心(2,3)到直线l的距离等于圆的半径，故223(4)11kkk解得0

4、k或34k因此，所求直线l的方程是4y或34130 xy解法 2：当直线l垂直于x轴时，直线:1lx与圆相离，不满足条件当直线l不垂直于x轴时，可设直线l的方程为4(1),yk x由于直线l与圆相切，所以方程组224(1)(2)(3)1yk xxy仅有一组解由方程组消去y，得关于x的一元二次方程2222(1)(224)240kxkkxkk，因为一元二次方程有两个相等实根，所以判别式2222(224)4(1)(24)0kkkkk，解得0k或34k，因此，所求直线l的方程是4y或34130 xy结论：相离0；相切0；相离0变式： (1)当点A的坐标为(2, 2)时，切线l的方程(2)当点A的坐标为

5、(1,1)，切线l的方程解： (1)由题意得：A (2, 2)在圆22(2)(3)1xy上所以直线AO的方程为2x，因为AO与切线l垂直，所以切线l的方程为2y说明：求圆的切线方程首先应判断点是否在圆上(2)由题意：当直线l垂直于x轴时，直线:1lx与圆相切，满足条件当 直 线l不 垂 直 于x轴 时 ， 可 设 直 线l的 方 程 为1(1)yk x， 即(1)0kxyk，22(1)0(2)(3)1kxykxy2222(1)2(22)(47) 0kxkkxkk，22224(22)4(1)(47)0kkkkk334k，经检验433k练习：已知圆22:4C xy，直线:lxyb，(1)b为何值时

6、l与圆C相切，并求出切点坐标；(2)b为何值时l与圆C相交，并求出弦长解答见苏大教学与测试105P例 1例 3求直线32 30 xy被圆224xy截得的弦长解法 1：2232 304xyxy，解得1131xy，2202xy，即公共点坐标为(3,1),(0,2)，则弦长为22(30)(12)2解法 2：如图，设直线32 30 xy与圆224xy交于,A B两点，弦AB的中点为M，则OMAB(O为坐标原点 )，所以22002 33,1(3)OM所以2222222 2( 3)2ABAMOAOM例 4已知圆C：22(1)(2)25xy，直线l：(21)(1)740mxmym()mR，(1)证明：不论m

7、取什么实数，直线l与圆恒交于两点；(2)求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程分析：若直线和圆相交，则圆心到直线的距离小于半径；若直线过圆内一点，则直线和圆相交，涉及相交弦问题，要注意运用弦长，半径及弦心距三者之间的关系解： (1)由题意直线方程可变形为(27)(4)0 xymxy,mR27040 xyxy，31xy，直线l必过定点(3,1)A，又22(3 1)(1 2)525，点(3,1)在圆C内，故l必与圆C相交(2) 要使弦长最小时，必须,lAC圆心(1,2)C和定点(3,1)A所在的直线1l的斜率112k，l的斜率2k，所以，直线l的方程为250 xy例 5已知圆22:2440C xyxy，是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆C截得的弦AB为直径经过原点？若存在， 求出l的方程；若不存在， 说明理由解答见苏大教学与测试105P例 24课堂小结(1)直线和圆的三种位置关系与圆心到直线的距离和半径之间的大小关系的对应关系(2)直线和圆的三种位置关系与相应的直线和圆的方程所组成的二元二次方程组的解的对应关系(3)相交弦问题，要注意运用弦长，半径及弦心距三者之间的关系