高中物理奥赛解题方法十假设法.pdf

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1、十、假设法方法简介假设法是对于待求解的问题，在与原题所给条件不相违的前提下，人为的加上或减去某些条件，以使原题方便求解。求解物理试题常用的有假设物理情景，假设物理过程，假设物理量等，利用假设法处理某些物理问题，往往能突破思维障碍，找出新的解题途径，化难为易，化繁为简。赛题精析例 1：如图 101 所示， 一根轻质弹簧上端固定，下端挂一质量为m0的平盘， 盘中有一物体，质量为m 。当盘静止时，弹簧的长度比其自然长度伸长了L 。今向下拉盘使弹簧再伸长 L 后停止，然后松手放开。设弹簧总处在弹性限度以内，则刚松开手时盘对物体的支持力等于（）A、(1 +LL)mg B、(1 +LL)(m + m0)g

2、 C、LLmg D、LL(m + m0)g 解析： 此题可以盘内物体为研究对象受力分析，根据牛顿第二定律列出一个式子，然后再以整体为研究对象受力分析，根据牛顿第二定律再列一个式子和根据平衡位置的平衡条件联立求解，求解过程较麻烦。若采用假设法，本题将变得非常简单。假设题中所给条件 L = 0 ， 其意义是没有将盘往下拉，则松手放开，弹簧长度不会变化，盘仍静止，盘对物体的支持力的大小应为mg 。 以 L = 0 代入四个选项中，只有答案A 能得到 mg 。由上述分析可知，此题答案应为A 。例 2：如图 102 所示，甲、乙两物体质量分别为m1= 2kg ，m2 = 3kg ，叠放在水平桌面上。已知

3、甲、乙间的动摩擦因数为1 = 0.6 ，物体乙与平面间的动摩因数为2 = 0.5 ，现用水平拉力F 作用于物体乙上，使两物体一起沿水平方向向右做匀速直线运动，如果运动中F 突然变为零，则物体甲在水平方向上的受力情况（g 取 10m/s2）A、大小为 12N ，方向向右B、大小为12N ，方向向左C、大小为10N ，方向向右D、大小为10N ，方向向左解析 ：当 F 突变为零时，可假设甲、乙两物体一起沿水平方运动，则它们运动的加速度可由牛顿第二定律求出。由此可以求出甲所受的摩擦力，若此摩擦力小于它所受的滑动摩擦力，则假设成立。 反之不成立。如图 102 甲所示。假设甲、乙两物体一起沿水平方向运动

4、，则由牛顿第二定律得：f2 = (m1 + m2)a f2 = N2 = 2 (m1 + m2)g 由、得：a = 5m/s2可得甲受的摩擦力为f1 = m1a = 10N 因为 f = 1m1g = 12N f1f 所以假设成立，甲受的摩擦力为10N ，方向向左。应选D 。例 3：一升降机在箱底装有若干个弹簧，如图103 所示，设在某次事故中，升降机吊索在空中断裂，忽略摩擦力， 则升降机在从弹簧下端触地后直到最低点的一段运动过程中（）A、升降机的速度不断减小B、升降机的速度不断变大C、先是弹力做的负功小于重力做的正功，然后是弹力做的负功大于重力做的正功D、到最低点时，升降机加速度的值一定大于

5、重力加速度的值解析： 升降机在从弹簧下端触地后直到最低点的一段运动过程，它受重力、弹簧弹力两个力作用。当重力大于弹力时速度继续增大，当重力等于弹力时速度增大到最大，当重力小于弹力时， 速度开始减小， 最后减为零， 因而速度是先增大后减小，所以选项C 正确。假设升降机前一运动阶段只受重力作用，做初速度为零的匀加速直线运动，它下降了h 高度，末速度为v ，则：v2 = 2gh 后一运动阶段升降机只受弹力作用，做初速度为v 、末速度为零的匀减速直线运动，把弹簧压缩了x ，则：v2 = 2ax 所以 2gh = 2ax 而 a =Fm=0kx2m，所以： 2gh = 2 (kx2m)x ，即：kxmg

6、=2hx因为 hx ，所以kxmg2 ，即： a低=kxmgm2mgmgm= g ，所以选项D 也正确。例 4：一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为 = 30，如图104 所示。一长为 L 的绳（质量不计） ，一端固定在圆锥体的顶点O 处，另一端拴着一个质量为m 的小物体（可看做质点） 。物体以速度v 绕圆锥体的轴线在水平面内做匀速圆周运动。（1）当 v1 =gL6时，求绳对物体的拉力；（2）当 v2 =3gL2时，求绳对物体的拉力。解析 ：当物体以某一速率绕圆锥体的轴线做水平匀面内的匀速圆周运动时，可能存在圆锥体对物体的弹力为零的临界状况，此时物体刚好与

7、圆锥面接触但不发生形变。而当速率变大时，物体将脱离圆锥面，从而导致绳对物体的拉力大小和方向都要变化。因此，此题的关键是先求出临界状态下线速度的值。以小物体为研究对象，假设它与圆锥面接触，而没有弹力作用。受力如图104 甲所示，根据运动定律得：Tcos = mg Tsin =2mvLsin解、得：v =3gL6（1）因为 v1 =gL6v ，所以物体m 与圆锥而接触且有压力，受力如图104 乙所示，由运动定律得：T1cos + Nsin = mg T1sin Ncos = m21vLsin解、得拉力：T1 =mg6(33+ 1) （ 2）因为 v2=3gL2 v ，所以物体m 脱离圆锥面，设绳子

8、与轴线的夹角为 ，受力如图104 丙所示，由运动定律得：T2sin = m22vLsinT2cos = mg 解、得绳子拉力：T2 = 2mg 例 5：如图 105 所示，倾角为的斜面和倾角为的斜面具有共同的顶点P ，在顶点上安装一个轻质小滑轮，重量均为W 的两物块A 、B 分别放在两斜面上，由一根跨过滑轮的细线连接着，已知倾角为的斜面粗糙，物块与斜面间摩擦因数为 ；倾角为的斜面光滑，为了使两物块能静止在斜面上，试列出、 必须满足的关系式。解析 ：因题目中没有给出具体数值，所以精糙斜面上物块的运动趋势就不能确定，应考虑两种可能。令细线的张力为T ， 假设物块A 有沿斜面向上运动的趋势时，对A

9、物块有：T Wcos = Wsin对 B 物块有： T = Wsin两式联立解得：sin = sin + cos同理，假设物块A 有沿斜面向下运动的趋势时，可解得：sin = sin cos 因此，物块静止在斜面上时两倾角的关系为sin cossin sin + cos例 6：如图 106 所示，半径为r 的铅球内有一半径为r2的球形空腔，其表面与球面相切，此铅球的质量为M ，在铅球和空腔的中心连线上，距离铅球中心L 处有一质量为m 的小球（可以看成质点），求铅球小球的引力。解析 ：设想把挖去部分用与铅球同密度的材料填充，填充部分铅球的质量为M1。为了抵消填充球体产生的引力，我们在右边等距离处

10、又放置一个等质量的球体。如图10 6 甲所示。设放置的球体的质量为M1，则：M1 = 143 (r2)3 =18M0 =17M 填补后的铅球质量：M0 = M + M1 =87M 则原铅球对小球引力为：F = F0F1 =02GM mL12GM mr(L)2=28GMm7L24GMm7(2Lr)=4GMm722L21(2Lr)例 7：三个半径为r 、质量相等的球放一在一个半球形碗内，现把第四个半径也为r ，质量也相等的相同球放在这三个球的正上方，要使四个球都能静止，大的半球形碗的半径应满足什么条件？不考虑各处摩擦。解析 ：假设碗的球面半径很大，把碗面变成平面。因为各接触面是光滑的，当放上第四个

11、球后，下面的三个球会散开，所以临界情况是放上第四个球后，下面三个球之间刚好无弹力。把上面的球记为A ，下面三个球分别记为B 、C 、D ，则四个球的球心连起来构成一个正四面体，正四面体的边长均2r ，如图107 所示。设 A 、B 球心的连线与竖直方向的夹角为 ，设碗面球心为O ，O 与 B 球心的连线与竖直方向的夹角为，碗面对上面三个球的作用力都为F ，如图 107 甲所示。先以整体为研究对象，受重力、碗面对三个球的弹力F ，在竖直方向上有：3Fcos = 4mg 再以 B 球为研究对象，受重力mg 、碗面对 B 球的作用力F 、A 球对 B 的压力 FN，根据共点力平衡条件，有：NNFco

12、smgF cosFsinF sin，消去 FN，得：tan =FsinFcosmg、联立，消去F 得：tan =14tan因为四个球的球心构成一个边长为2r 正四面体，如图 107 所示，根据几何关系，可以知道：tan =BOAO=22BOABBO=22232r322 3(2r)(r)3=12代入式得：tan =14 2于是碗面的半径为：R =BO+ r =BOsin+ r =BO21 cot+ r = 7.633r 所以半球形碗的半径需满足R7.633r 。例 8：如图 108 所示，一根全长为L 、粗细均匀的铁链，对称地挂在轻小光滑的定滑轮上，当受到轻微的扰动，铁链开始滑动，当铁链下降L1

13、（ L1L2）的瞬间，铁链的速度多大？解析 ：在铁链下降时， 只有重力做功，机械能守恒。当铁链下降L1时，如图 108 甲所示， 假设此位置是把左侧铁链下端AB = L1段剪下来再接到右侧铁链的下端CD 处实现的。设铁链的总质量为m ，铁链下降到L1时， L1段中心下降 L1高，所以重力做功：W =mLL1g L1 =21mgLL根据机械能守恒定律：12mv2 =21mgLL解得铁链的速度：v =2gLL1例 9：如图 109 所示，大小不等的两个容器被一根细玻璃管连通，玻璃管中有一段水银柱将容器内气体隔开（温度相同），当玻璃管竖直放置时，大容器在上，小容器在下，水银柱刚好在玻璃管的正中间，现

14、将两容器同时降低同样的温度，若不考虑容器的变化，则细管中水银柱的移动情况是（）A、不动B、上升C、下降D、先上升后下降解析 ：只要假设水银柱不动，分析气体压强随温度的变化情况，就可判定水银柱怎样移动。假设水银柱不移动，则两部气体的体积都不变，根据查理定律，有：pT=ppTT，化简为： p =TTp 有： pA =TTpA， pB =TTpB由于 pApB，所以： pA pB，水银柱向下移动。答案： C 例 10：如图 1010 所示，将一定量的水银灌入竖直放置的U 形管中， 管的内径均匀，内直径 d = 1.2cm 。水银灌完后，两管听水银在平衡位置附近做简谐振动，振动周期T = 3.43s

15、。已知水银的密度 = 1.36104kg/m3。试求水银的质量m 。解析 ：题中水银做简谐振动，已知振动周期要求水银的质量 m 。根据简谐振动的周期公式T = 2mk，T 已知，关键是求出k 。简谐振动的物体受的回复力F=kx ，找出 F 与 x 的关系，求出k ，问题就可以求解。如图 1010 所示，设水银离开平衡位置的距离为x ，则回复力为：F =4d22x g 由回复力的大小F = kx ，得： k =Fx=2d2 g 根据 T = 2mk解得水银的质量：m =22T k4=22gT d8=2243.430.0121.36 109.883.14= 9.0kg 例 11：热气球是靠加热气球

16、内部空气排除部分气体而获得上升动力的装置，现外界气体温度是15 ，密度为1.2kg/m3，气球内、外气压相等，要用容积1000m3的气球吊起200kg 的重物，必须把气球内的空气温度加热到多少才行（取g = 10m/s2）？解析： 加热气球内的气体时，气体被排出，质量减少，在浮力不变的情况下，使F浮G总时，热气球升空。这里出现了气体质量减小的变质量问题，为应用三大实验定律只有依靠假设法，在此，为应用等压变化规律，假设升温后排出去的气体与留在热气球内的气体状态相同，如图10 11 所示。初态体积V1 = V0，末态体积V2 = V0 + V0气体质量m = V0 = 1.2kg/m3 1000m

17、3 = 1.2103kg F浮= 空gV0 G总= (m + m物)g 代入已知数据：1.2 10 103(m + 200) 10 得 m 1.0 103kg 其中 m 是加热前热气球内空气质量，m 为加热后热气球内空气质量。 m = mm= 1.2 103kg10 103kg = 200kg 当密度相同时，mm=0VV，所以： V =mmV0 = 200m3对等质量、等压的气体应用盖吕萨克定律：初态 V = V0 = 103m3T1 = 273 + 15 = 288k 未态 V2 = V0 + V = 1.2 103m3根据：12VV=12TT解得加热后气体温度：T2 =21VVT1 = 3

18、45.6K = 72.6 例 12：0.2L 的氧气瓶内，装有4g 氧气，在室温为0时，瓶内氧气的压强是多少？解析 ：本题乍一看似乎缺少已知量，更无法利用理想气体状态方程，但当我们假设这些氧气的标准状态为初态时，则问题就可以解决了。假设这些氧气的初态为标准状态，则有：V1 =432 22.4L ，p1 = 1atm ，T1 = 273K 由已知该氧气的末状态为V1 = 0.2L ，T2 = 273K ，p2未知，由于 T1 = T2，所以根据玻意耳定律p1V1 = p2V2解得： p2 = 1.4atm 例 13：如图 1012 所示，用导热材料制成的两端开口的U 型管 ABCD ，其中AB高

19、 L1 = 24cm ，CD 高 L2 = 20cm ，截面积分别为SAB = 1cm2，SCD = 2cm2，开始时两管均有高 h = 16cm 的水银柱，现用两个橡皮帽将两个管口封闭，打开下方的阀门K ，有注射器从底部缓慢抽出水银，当其中的一个管内的水银被抽干时立即关闭阀门K（已知大气压强为 p0 = 75cmHg ） 。（1）请你判断首先被抽干的是哪一管中的水银？（2）另一只管中剩余的水银柱高度为多少？解析 ：求解这一类题时，应根据可解的情况先做出必要的假设，然后按着所做出的假设进行推理，在推理过程中，对所做假设做出否定或认同即可求解。假设左管内水银先被抽干，并设这时右管内剩余水银柱的高

20、度为 x，对左管内封闭气体用玻意耳定律有：p1V1 = 1p1V可得：1p=11VVp1 =(14 16)S24S 75 = 25cmHg 所以右管内气体压强为：2p= (25 x)cmHg 再对右管内被封气体，根据玻意耳定律得：75 (2016)SCD = (25x)(20 x)SCD 整理得： x245x + 200 = 0 解得： x = 5cm 或 40cm（不合题意舍去）在根据以上假设列的方程中，有满足题设的实数解，故所做假设成立，即左管内水银先抽干，且此时右管内剩余水银柱高度为5cm 。例 14：如图 10 13 所示，正四面体ABCD 各面均为导体，但又彼此绝缘，已知带电后四个面

21、的电势分别为1，2，3，4，求四面体中心点的电势。解析 ：保持四面体不动，假设按照一定方式调换四个面上的电荷，即假设四个面的电荷绕中心O 转动，结果会得到正四面体的四个面的若干带电模式，由于转动时并未改变各面电荷之间的相对位置，所以各种模式在中心O 点的电势0都相同。 现假设将四种模式叠加，则O 点电势应为40。另一方面，四处模式叠加后，正四面体的每个面的电势皆为1 + 2 + 3 + 4，这时正四面体构成一近似封闭的等势面，它所包围的空间（其中无电荷）就近似为一等势体，因此O 点的电势为1 + 2 + 3 + 4。所以上分析得出：40 = 1 + 2 + 3 + 4所以中心点的电势：0 =1

22、4(1 + 2 + 3 + 4) 例 15：有一半径为R 的不导电的半球薄壳，均匀带电，倒扣在xOy 平面上，如图1014 所示，图中O 为球心， ABCD 为球壳边缘，AOC 为直径。有一电电为q的点电荷位于 OC 上的 E 点， OE = r 。已知将此点电荷由E 点缓慢移至球壳顶点T 时，外力需要做功 W（W0） ，不计重力影响。（1）试求将此点电荷由E 点缓慢移至A 点外力需做功的正负、大小，并说明理由；（2）P 为球心正下方的一点，OP = R 。试求将此点电荷由E 点缓慢移至P 点，外力需做功的正负及大小，并说明理由。解析 ： （1）假设取另一完全相同的带电半球壳扣在题给的半球壳下

23、面，构成一个完整的地均匀带电球壳，则球壳及其内部各点电势都相等，令 U 表示此电势。根据对称性可知，上下两个半球壳分别在圆面ABCD上各点引起的电势是相等的，再由电势叠加原理可知，当只有上半球壳存在时， 圆面 ABCD 上各点的电势都应为完整球壳内电势的一半，即U2，所以将电荷由E点移至 A 点的过程中，外力做功为零。（2）对完整球壳，E 点与 T 点等势，电势差为零。由电势叠加原理可知，若上半球壳在 T 、E 两点形成的电势差为(UT UE)，则下半球壳在T 、E 两点形成的电势差必为(UTUE) 。已知 W = q (UTUE) 。所以在下半球产生的电场中，q 由 E 到 T 外力做功必为

24、 W 。由对称性可知，在上半球壳产生的电场中，q 由 E 到 P 外力的功刀必为W 。例 16：无穷方格电阻丝网格如图1015 所示，其中每一小段电阻丝的电阻均为r ，试求相邻两个格点A 、 B 间的等效电阻RAB。解析 ：假设从A 点注入电流I ，根据对称性，追踪一条支路，再根据欧姆定律可求出 RAB。假设电流I 从 A 点流入，不从B 点流出， I 将分流到无穷远处。据对称性，其中有I4流经 AB 段。再假设电流I 不是从 A 点流入， 而是从无穷远处流向B 点，从 B 点流出，据对称性，其中也有I4流经 AB 段。现在假设电流I 从 A 点流入，经过足够长的时间达稳定后，从B点流出的电流

25、也应为I ， 经 AB 段的电流为两个I4的叠加，如图1015甲所示，即为I2，于是有UAB =I2r 。所以 AB 间的等效电阻RAB =ABUI=r2。例 17：如图 1016 所示，在半径为r 的圆柱形区域内，充满与圆柱轴线平行的匀强磁场，一长为3r 的金属棒MN 与磁场方向垂直地放在磁场区域内，棒的端点MN 恰在磁场边界的圆周上，已知磁感应强度B 随时间均匀变化，其变化率为Bt= k ，求 MN 中产生的电动势为多大？解析 ：由题可知， MN上有感应电动势，这种感应电动势无法直接计算。但如果注意MN 的长为3r ，结合题意，可虚构两根与NM 完全相同的金属棒与MN 棒一起刚好构成圆的内

26、接正三角形，如图21016甲所示。由法拉第电磁感应定律，这一回路中的感应电动势 =t=BtS3 34kr2。MN 上的感应电动势是整个回路中电动势的13，所以：MN =13 =34kr2。针对训练1两个物体A 和 B ，质量分别为M 和 m ，用跨过定滑轮的轻绳相连，A 静止于水平地面上，如图1017 所示，不计摩擦，A 对绳的作用力的大小与地面对A 的作用力的大小分别为（） A 、mg ，(M m)g B、mg ， Mg C、(M m)g ，Mg D、(M+m)g ，(M m)g 2如 1018 所示， A 、B 是静止在水平地面上完全相同的两块长木板，A 的左端和B 的右端相接触， 两板的

27、质量皆为M = 2.0kg ，长度皆为L = 1.0m ，C 是质量为m = 1.0kg的小物块。现给它一个初速度v0= 2.0m/s ，使它从板B 的左端向右滑动，已知地面是光滑的，而 C 与板 A、B 之间的动摩擦因数皆为 = 0.10 ，求最后 A 、B 、C 各以多大的速度做匀速运动。取重力加速度g = 10m/s2。3质量为m 的物体 A 置于质量为M 、倾角为的斜面体B 上， A 、B 之间光滑接触，B 的底面与水平地面也是光滑接触。设开始时A 与 B 均静止， 而后 A 以某初速度沿B的斜面向上运动，如图1019 所示，试问A 在没有到达斜面顶部前是否会离开斜面？为什么？讨论中不

28、必考虑B 向前倾倒的可能性。4半径为r 、质量为m 的三个相同的球放在水平桌面上，两两互相接触。用一个高为 1.5r 的圆柱形圆筒（上下均无底）将此三球套在筒内，圆筒的内径取适当值，使得各球间以及球与筒壁之间均保持无形变接触。现取一质量亦为m 、半径为R 的第四个球，放在三球的上方正中。设四个球的表面、圆筒的内壁表现均由相同物质构成，其相互之间的最大静摩擦系数为 =315（约等于0.775） ，问 R 取何值时，用手缓慢竖直向上提起圆筒即能将四个球一起提起来？5如图1020 所示的一段封闭、水平放置的粗细均匀的玻璃管中，有水银柱将气体隔成了体积不同的左右两部分，初温T左T右，当两部分气体升高相

29、同的温度时，判断水银柱如何移动。 （提示：假设用一装置将水银柱固定住，两边气体作等容变化。）6如图 1021 所示， A 、 B 两容器容积相等，用粗细均匀的细玻璃管相连，容器内装有不同气体，细管中央有一段水银且保持平衡，此时A 中气体的温度为0 ，B 中气体温度为20 ，若将它们的温度都降低10 ，则水银柱将（） A 、向 A 移动B、向 B 移动C、不动D、不能确定7如图 1022 所示， 半径为 R 的大球 O 被内切地挖去半径为R2的小球 O，大球余下的部分均匀带电量为Q ，试求距大球球心O 点 r 处（ rR）P 点的场强。已知OP 的连线经过小球球心。8如图1023 所示，两种电路

30、中电源相同，各电阻器阻值相等，各电流表的内阻相等且不可忽略，电流表A1、A2、A3和 A4读出的电流值分别为I1、I2、I3和 I4。下列关系式中正确的是（） A 、I1 = I3B、I1I4 C、 I2 = 2I1 D、I2I3 + I49如图 1024 所示，匀强磁场的磁感应强度为B ，方向垂直纸面向里，质量为m 、电量为 +q 的微粒在磁场中由静止开始下落，空气阻力不计。 求微粒下落的最大高度和最大速度。10两根相距d = 0.2m 的平行光滑金属长轨道与水平方向成30角固定，匀强磁场的磁感应强度B = 0.2T ，方向垂直两导轨组成的平面。两根金属棒ab、cd 互相平行且始终与导轨垂直

31、地放在导轨上，它们的质量m1 = 0.1kg ， m2 = 0.02kg ， 两棒电阻均为0.02 ，导轨的电阻不计。如图 10 25 所示， ab 棒在平行于导轨平面斜向上的外力作用下，以 v = 1.5m/s 的速度沿斜面匀速向上运动，求在此过程中金属棒cd 运动的最大速度。11两个定值电阻R1、R2串联后接在输出电压U 稳定于 12V 的直流电源上。有人把一个内阻不是远大于R1、 R2的电压表接在R1两端， 如图 1026 所示，电压表的示数8V ，如果把此电压表改接在R2的两端，则电压表的示数将（）A、小于 4V B、等于 4V C、大于 4V ，小于 8V D、等于或大于8V 12如

32、图 1027 所示的电路中，电池的电动势为，内阻为r ，R1和 R2是两个阻值固定的电阻。 当可变电阻R 的滑片向a 点移动时， 通过 R1的电流 I1和通过 R2的电流 I2将发生如下的变化中，正确的是（）A、 I1变大， I2变小B、 I1变大， I2变大C、 I1变小， I2变大D、 I1变小， I2变小参考答案1、A 2、vA =2(16)15m/s ，vA =4610m/s ，vC =215(1 +6)m/s 3、不会离开斜面，因为A 与 B 的相互作用力为2mMgcosMmsin，始终为正值。4、(2331)rR(223331)r 5、水银柱将向左移动6、A 7、4KQ722r21(2rR)8、BD 9、dm =2222m gq B，vm =2mgqB10、v = 1m/s ，方向沿斜面向下11、A 12、C