河北省唐山市2019—2020学年度下学期高三4月六校联考（文科）数学 （解析版）.doc

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1、2020年高考数学模拟试卷（文科）（4月份）一、选择题（共12小题）1已知集合MxZ|1x1，NxZ|x（x2）0，则MN（）A1，2B0，1C1，0，1D1，0，1，22若z=3+4i1-i+iz（i是虚数单位），则|z|（）A32B2C52D33已知向量a，b满足|a|=2，|b|=1，且|b+a|=2，则向量a与b的夹角的余弦值为（）A22B23C28D244已知数列an是公比不为l的等比数列，Sn为其前n项和，满足a22，且16a1，9a4，2a7成等差数列，则S3（）A.5B6C7D95若a=(94)12，b3log83，c=(23)13，则a，b，c的大小关系是（）AcbaBabc

2、CbacDcab6如图1为某省2018年14月快递义务量统计图，图2是该省2018年14月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是（）A2018年14月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B2018年14月的业务量同比增长率超过50%，在3月最高C从两图来看，2018年14月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D从14月来看，该省在2018年快递业务收入同比增长率逐月增长7函数f（x）（21+ex-1）cosx（其中e为自然对数的底数）图象的大致形状是（）ABCD8已知实数x，y满足约束条件x+y-12x-y1ya，若目标函数z3xy的最大值为2，则a的值为（

3、）A1B12C1D29已知曲线ysin（2x+6）向左平移（0）个单位，得到的曲线yg（x）经过点（-12，1），则（）A函数 yg（ x ） 的最小正周期T=2B函数 yg（ x ） 在1112，1712上单调递增C曲线 yg（ x ） 关于直线x=6对称D曲线yg（ x ） 关于点（ 23，0）对称10在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为线段CD和A1B1上的动点，且满足CEA1F，则四边形D1FBE所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和（）A有最小值32B有最大值52C为定值3D为定值211斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋

4、线”，是根据斐波那契数列1，1，2，3，5，画出来的螺旋曲线如图，白色小圆内切于边长为1的正方形，黑色曲线就是斐波那契螺旋线，它是依次在以1，2，3，5为边长的正方形中画一个圆心角为90的扇形，将其圆弧连接起来得到的若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A4B39160C19+180D19+28012设F1，F2分别是椭圆E：x2a2+y2b2=1（ab0）的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于A，B两点，且AF1AF2=0，AF2=2F2B，则椭圆E的离心率为（）A23B34C53D74二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13某单位有360名职工，现采用系统抽样

5、方法，抽取20人做问卷调查，将360人按1，2，360随机编号，则抽取的20人中，编号落入区间181，288的人数为 14已知圆C：（x3）2+（y1）23及直线l：ax+y2a20，当直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为 15如图，矩形ABCD中，M为BC的中点，将ABM沿直线AM翻折成AB1M，连结B1D，N为B1D的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的序号是 存在某个位置使得CNAB1；翻折过程中，CN的长是定值；若ABBM，则AMB1D；若ABBM1，当三棱锥B1AMD的体积最大时，三棱锥B1AMD的外接球的表面积是416在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，c

6、4，a=42sinA，且C为锐角，则ABC面积的最大值为 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17已知等差数列an的前n项和为Sn，若S24，S525（1）求数列an的通项公式；（2）记bn=1an+1an+2，求数列bn的前n项和Tn18如图，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDDC2，点E，F分别为AD，PC的中点（）证明：DF平面PBE；（）求点F到平面PBE的距离19近年来，共享单车在我国各城市迅猛发展，为人们的出行提供了便利，但也给城市的

7、交通管理带来了一些困难，为掌握共享单车在C省的发展情况，某调查机构从该省抽取了5个城市，并统计了共享单车的A指标x和B指标y，数据如表所示：城市1城市2城市3城市4城市5A指标24568B指标34445（1）试求y与x间的相关系数r，并说明y与x是否具有较强的线性相关关系（若|r|0.75，则认为y与x具有较强的线性相关关系，否则认为没有较强的线性相关关系）（2）建立y关于x的回妇方程，并预测当A指标为7时，B指标的估计值（3）若某城市的共享单车A指标x在区间（x-3s，x+3s）的右侧，则认为该城市共享单车数量过多，对城市的交通管理有较大的影响，交通管理部门将进行治理，直至A指标x在区间（x

8、-3s，x+3s）内现已知C省某城市共享单车的A指标为13，则该城市的交通管程部门是否需要进行治理？试说明理由，参考公式；回归直线ybx+a中斜率和截距的最小二乘估计分别为b=i=1n (xi-x)(yi-y)i=1n (xi-x)2，a=y-bx，相关系数r=i=1n (xi-x)(yi-y)i=1n (xi-x)2i=1n (yi-y)2参考数据：s=15i=15 (xi-x)2=2，0.30.55，0.90.9520已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的四个顶点围成的四边形的面积为215，原点到直线xa+yb=1的距离为304（1）求椭圆C的方程；（2）已知定点P（0，2），是否

9、存在过P的直线l，使l与椭圆C交于A，B两点，且以|AB|为直径的圆过椭圆C的左顶点？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由21已知函数f（x）=a2（x1）2x+lnx（a0）（1）讨论f（x）的单调性；（2）若1ae，试判断f（x）的零点个数选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：4cos，直线l的参数方程为x=3+12ty=32t（t为参数）直线l与曲线C分别交于M，N两点（1）写出曲线C和直线l的普通方程；（2）若点P（3，0），求|1|PM|-1|PN|的

10、值23已知函数f（x）|1xa|+|2ax|（1）若f（1）3，求实数a的取值范围；（2）若a23，xR，判断f（x）与1的大小关系并证明参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合MxZ|1x1，NxZ|x（x2）0，则MN（）A1，2B0，1C1，0，1D1，0，1，2【分析】求出集合M，N，由此能求出MN解：集合MxZ|1x11，0，1，NxZ|x（x2）0xZ|0x20，1，2，MN0，1故选：B【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2若z=3+4i1-i+iz（i是虚数

11、单位），则|z|（）A32B2C52D3【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由商的模等于模的商求解解：z=3+4i1-i+iz，z（1i）=3+4i1-i，则z=3+4i(1-i)2=3+4i-2i，|z|3+4i-2i|=|3+4i|-2i|=52故选：C【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础的计算题3已知向量a，b满足|a|=2，|b|=1，且|b+a|=2，则向量a与b的夹角的余弦值为（）A22B23C28D24【分析】利用已知条件，结合斜率的数量积转化求解向量a与b的夹角的余弦值解：由题意可知|a|=2，|b|=1，且|b+a|=2，可得

12、3+2ab=4，解得ab=12，向量a与b的夹角的余弦值：cosa，b=122=24故选：D【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查运算求解能力4已知数列an是公比不为l的等比数列，Sn为其前n项和，满足a22，且16a1，9a4，2a7成等差数列，则S3（）A.5B6C7D9【分析】设等比数列的公比为q，且q不为1，由等差数列中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，再由等比数列的求和公式，可得所求值解：数列an是公比q不为l的等比数列，满足a22，且16a1，9a4，2a7成等差数列，可得a1q2，18a416a1+2a7，即9a1q38a1+a1q6，解得q2，a11，则则S

13、3=1-231-2=7故选：C【点评】本题考查等差数列中项性质和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题5若a=(94)12，b3log83，c=(23)13，则a，b，c的大小关系是（）AcbaBabcCbacDcab【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解解：a=(94)12=32，b3log83log23log28=32，c=(23)13（23）01，a，b，c的大小关系是cab故选：D【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题6如图1为某省2018年14月快递义务量统计图，图2是该省201

14、8年14月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是（）A2018年14月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B2018年14月的业务量同比增长率超过50%，在3月最高C从两图来看，2018年14月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D从14月来看，该省在2018年快递业务收入同比增长率逐月增长【分析】根据统计图，结合对应数据分别进行判断即可解：选项A，B显然正确；对于选项C，2月份业务量同比增长率为53%，而收入的同比增长率为30%，所以C是正确的；对于选项D，1，2，3，4月收入的同比增长率分别为55%，30%，60%，42%，并不是逐月增长，D错误故选：D

15、【点评】本题主要考查合情推理的应用，结合统计数据进行判断是解决本题的关键比较基础7函数f（x）（21+ex-1）cosx（其中e为自然对数的底数）图象的大致形状是（）ABCD【分析】判断f（x）的单调性，再根据f（x）在（0，2）上的函数值的符号得出答案解：f（x）（21+ex-1）cosx=1-ex1+excosx，f（x）=1-e-x1+e-xcos（x）=ex-1ex+1cosxf（x）f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除A，C；当0x2时，ex1，cosx0，f（x）=1-ex1+excosx0，故选：B【点评】本题考查了函数图象的判断，只有函数单调性、奇偶性的应用，属于中档题8已

16、知实数x，y满足约束条件x+y-12x-y1ya，若目标函数z3xy的最大值为2，则a的值为（）A1B12C1D2【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值解：作出不等式对应的平面区域如图，A（a1，a），B（a+12，a），C（0，1），由z3xy，得y3xz，由图象可知当直线y3xz，经过点B时，直线y3xz的截距最大，此时z最大为2，即3xy2，3a+12-a2，得a1，故选：C【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法，要熟练掌握目标函数的几何意义9已知曲线ysin（2x+6）向左平移（0）个单位，得到的曲线yg（

17、x）经过点（-12，1），则（）A函数 yg（ x ） 的最小正周期T=2B函数 yg（ x ） 在1112，1712上单调递增C曲线 yg（ x ） 关于直线x=6对称D曲线yg（ x ） 关于点（ 23，0）对称【分析】利用函数yAsin（x+）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象和性值质，可得结论解：把曲线ysin（2x+6）向左平移（0）个单位，得到的曲线yg（x）sin（2x+2+6），由于所得曲线经过点（-12，1），sin（-6+2+6）sin21，=4，yg（x）sin（2x+2+6）cos（2x+6），故g（x）cos（2x+6） 的最小正周期为22=，故

18、A错误； 在1112，1712上，2x+62，故函数 yg（ x ） 在1112，1712上单调递减，故B错误；当x=6时，g（x）0，故g（x）的图象关于点（6，0）对称，故C错误；当x=23时，g（x）0，故g（x）的图象关于点（23，0）对称，故D正确，故选：D【点评】本题主要考查函数yAsin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于基础题10在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为线段CD和A1B1上的动点，且满足CEA1F，则四边形D1FBE所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和（）A有最小值32B有最大值52

19、C为定值3D为定值2【分析】分别在后，上，左三个平面得到该四边形的投影，求其面积和即可【解答】解：依题意，设四边形D1FBE的四个顶点在后面，上面，左面的投影点分别为D，F，B，E，则四边形D1FBE在上面，后面，左面的投影分别如上图所以在后面的投影的面积为S后111，在上面的投影面积S上DE1DE1DE，在左面的投影面积S左BE1CE1CE，所以四边形D1FBE所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和SS后+S上+S左1+DE+CE1+CD2故选：D【点评】本题考查了正方体中四边形的投影问题，考查空间想象能力属于中档题11斐波那契螺旋线，也称“黄金

20、螺旋线”，是根据斐波那契数列1，1，2，3，5，画出来的螺旋曲线如图，白色小圆内切于边长为1的正方形，黑色曲线就是斐波那契螺旋线，它是依次在以1，2，3，5为边长的正方形中画一个圆心角为90的扇形，将其圆弧连接起来得到的若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A4B39160C19+180D19+280【分析】由几何概型中的面积型得：矩形ABCD的长为8，宽为5，即面积S矩8540，阴影部分的面积S阴（1-4）+4+44+94+254=192+1，则P（A）=S阴S矩=192+140=19+280，得解解：由由已知可得：矩形ABCD的长为8，宽为5，即面积S矩8540，阴影

21、部分的面积S阴（1-4）+4+44+94+254=192+1，设在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分为事件A，则P（A）=S阴S矩=192+140=19+280，故选：D【点评】本题考查了几何概型中的面积型，属中档题12设F1，F2分别是椭圆E：x2a2+y2b2=1（ab0）的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于A，B两点，且AF1AF2=0，AF2=2F2B，则椭圆E的离心率为（）A23B34C53D74【分析】设|AB|3m，|AF2|2|F2B|，可得|AF2|2m，|F2B|m，|AF1|2a2m，|BF1|2am由AF1AF2=0，可得ABAF1，利用勾股定理即可得出解：设|

22、AB|3m，|AF2|2|F2B|，|AF2|2m，|F2B|m，|AF1|2a2m，|BF1|2amAF1AF2=0，ABAF1，4c2（2m）2+（2a2m）2，（2am）2（3m）2+（2a2m）2，即m=13a，4c2=49a2+169a2，9c25a2，ca=53故选：C【点评】本题考查了椭圆与圆的定义标准方程及其性质、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13某单位有360名职工，现采用系统抽样方法，抽取20人做问卷调查，将360人按1，2，360随机编号，则抽取的20人中，编号落入区间181，288的人数为6【分析】计算出样

23、本间隔，然后进行计算即可解：样本间隔为3602018，在区间181，288内共有288181+1108人，108186，即在区间181，288内的抽取人数为6人，故答案为：6【点评】本题主要考查系统抽样的应用，求出样本间隔是解决本题的关键14已知圆C：（x3）2+（y1）23及直线l：ax+y2a20，当直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为xy0【分析】由题得直线l过定点P（2，2），当直线l垂直于过点P的圆C的半径时，l被截得的弦长最短，利用垂直关系得直线l的斜率即可求解方程解：根据题意，直线l：ax+y2a20，变形可得a（x2）+y20，则不论a取何值，直线l恒过点P（2，2），

24、又由（23）2+（21）23，则点P（2，2）在圆C内故当直线l垂直CP时，直线l被圆C截得的弦长最短，此时KCP=2-12-3=-1，则Kl1，故直线l的方程为xy0；故答案为：xy0【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查直线方程及圆的几何性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题15如图，矩形ABCD中，M为BC的中点，将ABM沿直线AM翻折成AB1M，连结B1D，N为B1D的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的序号是存在某个位置使得CNAB1；翻折过程中，CN的长是定值；若ABBM，则AMB1D；若ABBM1，当三棱锥B1AMD的体积最大时，三棱锥B1AMD的外接球的表面积是4

25、【分析】对于，取AD中点E，连接EC交MD与F，可得到ENNF，又ENCN，且三线NE，NF，NC共面共点，不可能，对于，可得由NECMAB1（定值），NE=12AB1（定值），AMEC（定值），由余弦定理可得NC是定值 对于，取AM中点O，连接B1O，DO，易得AM面ODB1，即可得ODAM，从而ADMD，显然不成立对于：当平面B1AM平面AMD时，三棱锥B1AMD的体积最大，可得球半径为1，表面积是4解：对于：如图1，取AD中点E，连接EC交MD与F，则NEAB1，NFMB1，如果CNAB1，可得到ENNF，又ENCN，且三线NE，NF，NC共面共点，不可能，故错对于：如图1，可得由NEC

26、MAB1（定值），NE=12AB1（定值），AMEC（定值），由余弦定理可得NC2NE2+EC22NEECcosNEC，所以NC是定值，故正确 对于：如图2，取AM中点O，连接B1O，DO，易得AM面ODB1，即可得ODAM，从而ADMD，显然不成立，可得不正确对于：当平面B1AM平面AMD时，三棱锥B1AMD的体积最大，易得AD中点H就是三棱锥B1AMD的外接球的球心，球半径为1，表面积是4故正确故答案为：【点评】本题主要考查了线面、面面平行与垂直的判定和性质定理，考查了空间想象能力和推理论证能力，考查了反证法的应用，属于中档题16在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，c4，a=4

27、2sinA，且C为锐角，则ABC面积的最大值为4+42【分析】由已知利用正弦定理可求sinC=22，结合C为锐角，可求C=4，利用余弦定理，基本不等式可求ab的最大值，进而根据三角形面积公式即可计算得解解：因为c4，又csinC=asinA=42，所以sinC=22，又C为锐角，所以C=4因为c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-2ab(2-2)ab，所以ab162-2=8(2+2)，当且仅当a=b=8(2+2)时等号成立，即SABC=12absinC=24ab4+42，即当a=b=8(2+2)时，ABC面积的最大值为4+42故答案为：4+42【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，

28、基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17已知等差数列an的前n项和为Sn，若S24，S525（1）求数列an的通项公式；（2）记bn=1an+1an+2，求数列bn的前n项和Tn【分析】（1）直接利用等差数列的定义求出数列的通项公式（2）利用数列的通项公式的求法及应用，进一步利用裂项相消法求出数列的和解：（1）设首项为a1，公差为d的等差数列an的前n项和为Sn，若S24，

29、S525则：2a1+d=45a1+542d=25，解得a1=2d=1，所以an1+2（n1）2n1（2）由于an2n1，所以bn=1an+1an+2=1(2n+1)(2n+3)=12(12n+1-12n+3)则Tn=12(13-15+15-17+12n+1-12n+3)=12(13-12n+3)=n6n+9【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型18如图，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDDC2，点E，F分别为AD，PC的中点（）证明：DF平面PBE；（）求点F到平面PBE的距离【

30、分析】（）取PB的中点G，连接EG、FG，由已知结合三角形中位线定理可得DEFG且DEFG，得四边形DEGF为平行四边形，从而可得DFEG，再由线面平行的判定可得DF平面PBE；（）利用等积法可得：VDPBEVPBDE，代入棱锥体积公式可得点F到平面PBE的距离【解答】（）证明：取PB的中点G，连接EG、FG，则FGBC，且FG=12BCDEBC且DE=12BC，DEFG且DEFG，四边形DEGF为平行四边形，DFEG，又EG平面PBE，DF平面PBE，DF平面PBE；（）解：由（）知，DF平面PBE，点D到平面PBE的距离与F到平面PBE的距离相等，故转化为求D到平面PBE的距离，设为d，利

31、用等体积法：VDPBEVPBDE，即13SPBEd=13SBDEPDSBDE=12DEAB=1，PE=BE=5，PB=23，SPBE=6d=63【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题19近年来，共享单车在我国各城市迅猛发展，为人们的出行提供了便利，但也给城市的交通管理带来了一些困难，为掌握共享单车在C省的发展情况，某调查机构从该省抽取了5个城市，并统计了共享单车的A指标x和B指标y，数据如表所示：城市1城市2城市3城市4城市5A指标24568B指标34445（1）试求y与x间的相关系数r，并说明y与x是否具有较强的线性相关关系

32、（若|r|0.75，则认为y与x具有较强的线性相关关系，否则认为没有较强的线性相关关系）（2）建立y关于x的回妇方程，并预测当A指标为7时，B指标的估计值（3）若某城市的共享单车A指标x在区间（x-3s，x+3s）的右侧，则认为该城市共享单车数量过多，对城市的交通管理有较大的影响，交通管理部门将进行治理，直至A指标x在区间（x-3s，x+3s）内现已知C省某城市共享单车的A指标为13，则该城市的交通管程部门是否需要进行治理？试说明理由，参考公式；回归直线ybx+a中斜率和截距的最小二乘估计分别为b=i=1n (xi-x)(yi-y)i=1n (xi-x)2，a=y-bx，相关系数r=i=1n

33、(xi-x)(yi-y)i=1n (xi-x)2i=1n (yi-y)2参考数据：s=15i=15 (xi-x)2=2，0.30.55，0.90.95【分析】（1）计算相关系数r0.950.25，所以x与y具有较强的线性相关关系；（2）先得线性回归方程，再代入x7可得；（3）由题得（x-3s，x+3s）（1，11），由1311可得解：（1）由题得x=2+4+5+6+85=5，y=3+4+4+4+55=4，所以i=15 （xi-x）（yi-y）6，i=15 （xi-x）220，i=15 （yi-y）22，则r=6252=0.90.95，因为r0.25，所以x与y具有较强的线性相关关系（2）由（1

34、）得b=620=0.3，a=y-bx=40.352.5，所以线性回归方程为y=0.3x+2.5，当x7时，y=0.37+2.54.6，所以当A指标为7时，B指标的估计值为4.6（3）由题得（x-3s，x+3s）（1，11），因为1311，所以该城市的交通管程部门需要进行治理【点评】本题考查了独立性检验，属中档题20已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的四个顶点围成的四边形的面积为215，原点到直线xa+yb=1的距离为304（1）求椭圆C的方程；（2）已知定点P（0，2），是否存在过P的直线l，使l与椭圆C交于A，B两点，且以|AB|为直径的圆过椭圆C的左顶点？若存在，求出l的方程；若

35、不存在，请说明理由【分析】（1）利用已知条件列出方程组，求出a，b，即可得到椭圆方程（2）设出直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，使以|AB|为直径的圆过椭圆C的左顶点D(-5，0)，则DADB=0，转化求解K，即可得到直线方程解：（1）直线xa+yb=1的一般方程为bx+ayab0依题意2ab=215aba2+b2=304a2=b2+c2，解得a=5b=3，故椭圆C的方程式为x25+y23=1（2）假若存在这样的直线l，当斜率不存在时，以|AB|为直径的圆显然不经过椭圆C的左顶点，所以可设直线l的斜率为k，则直线l的方程为ykx+2由y=kx+23x2+5y2=15，得（3+5k2）x2+

36、20kx+50由400k220（3+5k2）0，得k(-，-55)(55，+)记A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则x1+x2=-20k3+5k2，x1x2=53+5k2，而y1y2（kx1+2）（kx2+2）k2x1x2+2k（x1+x2）+4要使以|AB|为直径的圆过椭圆C的左顶点D(-5，0)，则DADB=0，即y1y2+(x1+5)(x2+5)=(k2+1)x1x2+(2k+5)(x1+x2)+9=0，所以(k2+1)53+5k2-(2k+5)20k3+5k2+9=0，整理解得k=255或k=855，所以存在过P的直线l，使l与椭圆C交于A，B两点，且以|AB|为直径的

37、圆过椭圆C的左顶点，直线l的方程为y=255x+2或y=855x+2【点评】本题考查椭圆的简单性质椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力21已知函数f（x）=a2（x1）2x+lnx（a0）（1）讨论f（x）的单调性；（2）若1ae，试判断f（x）的零点个数【分析】（1）先对函数进行求导，然后对a进行分类讨论即可求解函数的单调区间；（2）由（1）知函数f（x）在（1，+），（0，1a）单调递增，在（1a，1）单调递减，然后判断出f（1）10，f（1a）=a2-12a-lna-10及x0，f（x），x+时，f（x）+，即可判断解：（1）f（x）=a2（x1）2x

38、+lnx（a0），定义域（0，+），f（x）a（x1）1+1x=a(x-1a)(x-1)x，当0a1时，令f（x）0可得，x1a或x1，令f（x）0可得，1x1a，函数f（x）单调递增区间（1a，+），（0，1），单调递减区间（1，1a）；a1时，f（x）0恒成立，故函数在（0，+）上单调递增；当a1时，令f（x）0可得，0x1a或x1，令f（x）0可得，1ax1，函数f（x）单调递增区间（1，+），（0，1a），单调递减区间（1a，1）；（2）若1ae，由（1）知函数f（x）在（1，+），（0，1a）单调递增，在（1a，1）单调递减，f（1）10，f（1a）=a2-12a-lna-1，令g（

39、a）=a2-12a-lna-1，1ae，则g(a)=12+12a2-1a=(a-1)22a20恒成立，g（a）在（1，e）上单调递增，g（1）g（a）g（e）0，即f（1a）=a2-12a-lna-10，x0，f（x），x+时，f（x）+，函数的图象与x轴只有一个交点即f（x）的零点个数为1【点评】本题主要考查了利用导数求解函数的单调性及利用函数的单调性判断函数的零点个数，还考查了考生的逻辑思维能力，具有一定的综合性一、选择题22在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：4cos，直线l的参数方程为x=3+12ty=32t（t为参数）直线l与曲线C分别交于M，N

40、两点（1）写出曲线C和直线l的普通方程；（2）若点P（3，0），求|1|PM|-1|PN|的值【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出结果（2）直接利用直接利用直线和曲线的位置关系式的应用和一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果解：（1）曲线C：4cos，整理得：24cos，根据x=cosy=sin2=x2+y2转换为直角坐标方程为x2+y24x，即（x2）2+y24，直线l的参数方程为：直线l的参数方程为x=3+12ty=32t（t为参数，直线l的普通方程为：3x-y-33=0（2）直线l的参数方程为x=3+12ty=32t（t为参数），代入x2+y

41、24x，得t2+t30，t1+t21，t1t23，|1|PM|-1|PN|=|1|t1|-1|t2|=|t2|-|t1|t1|t2|=|t2+t1|t1t2|=13【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型23已知函数f（x）|1xa|+|2ax|（1）若f（1）3，求实数a的取值范围；（2）若a23，xR，判断f（x）与1的大小关系并证明【分析】（1）通过讨论a的范围，去掉绝对值，解不等式，确定a的范围即可；（2）根据绝对值不等式的性质判断即可解：（1）因为f（1）3，所以|a|+|12a|3，当a0时，得a+（12a）3，解得：a-23，所以-23a0；当0a12时，得a+（12a）3，解得a2，所以0a12；当a12时，得a（12a）3，解得：a43，所以12a43；综上所述，实数a的取值范围是（-23，43）（2）f（x）1，因为a23，所以f（x）|1xa|+|2ax|（1xa）（2ax）|13a|3a11【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查不等式的证明，是一道中档题