2020届高考数学（理）专题突破练(6)　圆锥曲线定点、定值、最值、范围、探索性问题经典.docx

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1、专题突破练(6)圆锥曲线定点、定值、最值、范围、探索性问题一、选择题1.设AB为过抛物线y22px(p0)的焦点的弦，则|AB|的最小值为()A. Bp C2p D无法确定答案C解析当弦AB垂直于对称轴时|AB|最短，这时x，yp，|AB|min2p.2.已知F是双曲线1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|PA|的最小值为()A.4 B6 C8 D9答案D解析注意到P点在双曲线的右支上，且双曲线右焦点为F(4,0)，于是由双曲线定义得|PF|PF|2a4，故|PF|PA|2a|PF|PA|4|AF|9，当且仅当A，P，F三点共线时等号成立.3.已知M(x0，y0)为抛物线

2、C：x28y上一点，F为抛物线C的焦点，若以F为圆心，|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是()A.(0,2) B0,2C.(2，) D2，)答案C解析由题意知圆心F到抛物线的准线的距离为4，且|FM|4，根据抛物线的定义知|FM|y02，所以y024，得y02，故y0的取值范围是(2，).4.过椭圆1的中心任作一直线交椭圆于P，Q两点，F是椭圆的一个焦点，则PQF周长的最小值是()A.14 B16 C18 D20答案C解析如图，设F为椭圆的左焦点，右焦点为F2，根据椭圆的对称性可知|FQ|PF2|，|OP|OQ|，所以PQF的周长为|PF|FQ|PQ|PF|PF2|2|P

3、O|2a2|PO|102|PO|，易知2|OP|的最小值为椭圆的短轴长，即点P，Q为椭圆的上下顶点时，PQF的周长取得最小值102418.故选C.5.设P，Q分别为圆x2(y6)22和椭圆y21上的点，即P，Q两点间的最大距离是()A.5 B.C.6 D7答案C解析解法一：设Q(x，y)，1y1.因为圆x2(y6)22的圆心为M(0,6)，半径r，则|QM|5，当y时取等号，所以|PQ|max56.故选C.解法二：设Q(cos，sin)，由已知得M(0,6)，则|MQ| 5当sin时取等号，故|PQ|max56.6.已知椭圆C：1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2的斜率的取值

4、范围是2，1，那么直线PA1的斜率的取值范围是()A. B. C. D.答案B解析解法一：设P(x，y)，直线PA1，PA2的斜率分别为k1，k2，易知A1(2,0)，A2(2,0)，则有k1k2，因为2k21，所以k10且21，即12，解得k1.故选B.解法二：设直线PA2的斜率为k2，令k21，则直线PA2的方程为y(x2)，代入椭圆方程并整理得7x216x40，解得x12，x2，从而可得点P的坐标为，于是直线PA1的斜率k1.同理，令k22，可得k1.结合选项知，选项B正确.二、填空题7.2017湖北黄冈中学二模设椭圆y21上任意一点A到两条直线x2y0的距离分别为d1，d2，则d1d2

5、的最大值为_.答案解析设点A的坐标为(2cos，sin)，则d1d2，所以d1d2的最大值为.8.以抛物线y28x上的任意一点为圆心作与直线x20相切的圆，这些圆必过一定点，则定点的坐标是_.答案(2,0)解析抛物线的焦点为F(2,0)，准线l的方程为x2，即x20，又抛物线上任意一点到F与到准线l的距离相等，所以这些圆一定过焦点F(2,0).9.过点(0,3b)的直线l与双曲线C：1(a0，b0)的一条斜率为正的渐近线平行，若双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，则双曲线C的离心率的最大值是_.答案3解析由题意得双曲线的斜率为正的渐近线方程为yx，即bxay0，则直线l的方程为yx3b

6、，即bxay3ab0.因为双曲线的右支上的点到直线l的距离恒大于b，所以渐近线yx与直线l的距离不小于b，即b，结合c2a2b2化简得9a2c2，所以1b0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点A在椭圆C上，|AF1|2，F1AF260，过F2与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于P，Q两点.(1)求椭圆C的方程；(2)若P，Q的中点为N，在线段OF2上是否存在点M(m,0)，使得MNPQ？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由.解(1)由e得a2c.由|AF1|2得|AF2|2a2.由余弦定理得|AF1|2|AF2|22|AF1|AF2|cosF1AF2|F1F2|2，即a23a

7、3c2，解得c1，a2，b2a2c23.所以椭圆C的方程为1.(2)存在这样的点M符合题意.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，N(x0，y0).由F2(1,0)，设直线PQ的方程为yk(x1)，由得(4k23)x28k2x4k2120，得x1x2，故x0.又点N在直线PQ上，所以y0，所以N，.因为MNPQ，所以kMN，整理得m0，.所以在线段OF2上存在点M(m,0)，使得MNPQ，m的取值范围为0，.12.2018贵州毕节适应性检测已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，直线y2与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|2|PQ|.(1)求C的方程；(2)过焦点F的直线l的斜率为

8、1，判断C上是否存在两点M，N，使得M，N关于直线l对称？若存在，求出|MN|；若不存在，说明理由.解(1)设Q(x0,2)，P(0,2)，因为点Q在抛物线C上，所以42px0得x0，所以|PQ|.又因为F，0，所以|QF|.又因为|QF|2|PQ|，所以 ，解得p2，所以C的方程为y24x.(2)过焦点F且斜率为1的直线l的方程为xy10，假设抛物线C上存在两点M，y1，N，y2满足题设条件，则直线MN的斜率kMN，MN的中点T的坐标为，即T，由M，N关于直线l对称，则MNl，即1，且中点T在直线l上，即1，由得y1y24，代入，左边2，即右边1，不成立，所以y1，y2无解，即满足的y1，y

9、2不存在.所以C上不存在两点M，N关于直线l对称.13.2017广东四校联考在空间中，取直线l为轴，直线l与l相交于O点，夹角为30，l围绕l旋转得到以O为顶点，l为母线的圆锥面已知直线l平面，l与的距离为2，平面与圆锥面相交得到双曲线.在平面内，以双曲线的中心为原点，以双曲线的两个焦点所在直线为y轴，建立直角坐标系.(1)求双曲线的方程；(2)在平面内，以双曲线的中心为圆心，半径为2的圆记为曲线，在上任取一点P，过点P作双曲线的两条切线交曲线于两点M，N，试证明线段MN的长为定值，并求出这个定值.解(1)如图，设O为双曲线的中心，则轴l与平面的距离为|OO|2，A为双曲线的一个顶点，AOO6

10、0，所以|OA|2.在轴l上取点C，使得|OC|4，过C作与轴l垂直的平面，交圆锥面得到圆C，圆C与双曲线相交于D，E两点.设DE的中点为B，易知|CB|2，|CD|4，可得|BD|2，从而可知双曲线的实半轴长为2，且过点(2，4).设双曲线的标准方程为1，将点(2，4)代入方程得b24，所以双曲线的标准方程为1.(2)证明：在条件(1)下，显然双曲线的两切线PM，PN都不垂直x轴.设点P的坐标为(x0，y0)，令过点P的切线的斜率为k，则切线方程为yk(xx0)y0，由消去y，得(k23)x22k(kx0y0)x(kx0y0)2120，由0，化简得(x4)k22x0y0k(y12)0.令PM

11、，PN的斜率分别为k1，k2，则k1k2，由点P(x0，y0)在圆上，得xy8，得1，k1k21.所以PMPN，线段MN是圆的直径，为定值，|MN|4.14.2017辽宁沈阳一模已知椭圆C：1(ab0)的左焦点为F1(，0)，离心率e.(1)求椭圆C的方程；(2)如图，设R(x0，y0)是椭圆C上一动点，由原点O向圆(xx0)2(yy0)24引两条切线，分别交椭圆于点P，Q，若直线OP，OQ的斜率均存在，并记为k1，k2.求证：k1k2为定值；(3)在(2)的条件下，试问OP2OQ2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.解(1)由题意得c，又因为e，解得a2，则b26，所以椭圆方程为1.(2)证明：由已知，直线OP：yk1x，OQ：yk2x，且与圆R相切，所以2，化简得(x4)k2x0y0k1y40，同理(x4)k2x0y0k2y40，所以k1，k2是方程(x4)k22x0y0ky40的两个不相等的实数根，所以x40，0，k1k2，因为点R(x0，y0)在椭圆C上，所以1，即y6x，所以k1k2.(3)OP2OQ2是定值18.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立解得所以xy，同理，得xy.所以OP2OQ2xyxy18.8