数学建模《数学模型》ppt课件.ppt

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1、第第二二章章 数学建模初步数学建模初步2.1 数学模型与数学建模数学模型与数学建模2.2 数学建模的步骤和方法数学建模的步骤和方法2.3 数学建模实例分析数学建模实例分析2.4 数学模型的特点和分类数学模型的特点和分类2.5 数学建模数学建模的学习方法的学习方法 与数学建模竞赛简介与数学建模竞赛简介玩具、照片、飞机模型玩具、照片、飞机模型 直观模型直观模型地图、电路图、分子结构图地图、电路图、分子结构图 符号模型符号模型模型模型集中反映了集中反映了原型原型中人们需要的那一部分特征中人们需要的那一部分特征2.1 数学模型与数学建模数学模型与数学建模我们常见的模型我们常见的模型你碰到过的数学模型你

2、碰到过的数学模型“行程问题行程问题”解：设甲、乙速度分别为解：设甲、乙速度分别为 x、y ，列出方程组：，列出方程组：答：甲速为答：甲速为8686米米/ /分，乙速为分，乙速为7474米米/ /分分. . A、B两地相距两地相距960米，甲乙两人分别从米，甲乙两人分别从A、B两地同时出发。若相向行走，两地同时出发。若相向行走，6分钟相遇；若同向分钟相遇；若同向行走，行走，80分钟甲追上乙。问甲、乙速度各为多少分钟甲追上乙。问甲、乙速度各为多少?x =86y =74求解求解96080)(9606)(yxyx行程问题行程问题建立数学模型的基本步骤建立数学模型的基本步骤 作出简化假设（甲、乙速度为常

3、数）；作出简化假设（甲、乙速度为常数）； 用符号表示有关量（用符号表示有关量（x, y表示甲速和乙速）；表示甲速和乙速）； 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程组）；时间）列出数学式子（二元一次方程组）； 求解得到数学解答（求解得到数学解答（x=86, y=74）；）； 回答原问题（回答原问题（甲速为甲速为86米米/分，乙速为分，乙速为74米米/分分）。）。数学模型数学模型 (Mathematical Model) 建立数学模型的全过程建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、检验等）（包括表述、求解、解释、检验等）

4、对于一个对于一个现实对象现实对象，为了一个，为了一个特定目的特定目的，根据其，根据其内在规律内在规律，作出必要的，作出必要的简化假设简化假设，运用适当的，运用适当的数学工具数学工具，得到的一个得到的一个数学结构数学结构。数学建模（数学建模（Mathematical Modeling)2.2.1 数学建模的基本步骤数学建模的基本步骤模型准备模型准备模型假设模型假设模型构建模型构建模型求解模型求解模型分析模型分析模型检验模型检验模型应用模型应用2.2 数学建模的步骤与方法数学建模的步骤与方法2.2.2 数学建模方法数学建模方法机理分析机理分析测试分析测试分析根据对客观事物特性的认识，找出反映根据对

5、客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律内部机理的数量规律将对象看作将对象看作“黑箱黑箱”，通过对测量数据的，通过对测量数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型统计分析，找出与数据拟合最好的模型综合分析综合分析用机理分析建立模型结构，用测试分析确用机理分析建立模型结构，用测试分析确定模型参数定模型参数2.3 数学建模示例数学建模示例2.3.1 方桌问题方桌问题模模型型假假设设 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形线呈正方形; 地面高度连续变化，可视为数学上的连续面地面高度连续变化，可视为数学上的连续面; 把椅子放在不平的地面上，通常只有三

6、只脚着地，把椅子放在不平的地面上，通常只有三只脚着地，放不稳。然而只需稍微挪动几次，就可以使四只脚同放不稳。然而只需稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，就放稳了。为什么？时着地，就放稳了。为什么？模型构成模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 椅子位置椅子位置利用正方形利用正方形(椅脚连线椅脚连线)的对称性的对称性用用 (对角线与对角线与 x 轴的夹角轴的夹角)表示椅子位置表示椅子位置 四只脚着地四只脚着地距离是距离是 的函数的函数四个距离四个距离(四只脚四只脚)A,C 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 f ( )B,D 两脚

7、与地面距离之和两脚与地面距离之和 g ( )两个距离两个距离xBADCOD C B A 椅脚与地面距离为零椅脚与地面距离为零正方形正方形ABCD绕绕O点旋转点旋转正方形正方形对称性对称性f( ) , g ( )是是连续函数连续函数对任意对任意 , f ( ), g ( )至少一个为至少一个为0数学数学问题问题已知：已知： f ( ) , g ( )是是连续函数连续函数 ; 对任意对任意 ， f ( ) g ( )=0 ; 且且 g (0)=0， f (0) 0. 证明：存在证明：存在 0，使，使 f ( 0) = g ( 0) = 0.模型构成模型构成地面为连续曲面地面为连续曲面 椅子在任意位

8、置椅子在任意位置至少三只脚着地至少三只脚着地模型求解模型求解将椅子将椅子旋转旋转900，对角线，对角线AC和和BD互换。互换。由由g(0)=0， f(0) 0 ，知，知f( /2)=0 , g( /2)0.令令h( )= f( )g( ), 则则h(0)0和和h( /2) p2/n2 ，对，对 不公平不公平A p1/n1 p2/n2=5公平分配方案应公平分配方案应使使 rA , rB 尽量小尽量小设设A, B已分别有已分别有n1, n2 席席, 若增加若增加1席席, 问应分给问应分给A, 还是还是B?不妨设分配开始时不妨设分配开始时 p1/n1 p2/n2 ，即对，即对A不公平不公平.),(/

9、21222211nnrnpnpnpA 对对A的的相对不公平度相对不公平度将绝对度量改为相对度量将绝对度量改为相对度量类似地定义类似地定义 rB(n1,n2) 将一次性的席位分配转化为动态的席位分配将一次性的席位分配转化为动态的席位分配, 即即“公平公平”分配方分配方法法若若 p1/n1 p2/n2 ，定义，定义1）若）若 p1/(n1+1) p2/n2 ， 则这席应给则这席应给 A2）若）若 p1/(n1+1) p2/(n2+1)，应计算应计算rB(n1+1, n2)应计算应计算rA(n1, n2+1)若若rB(n1+1, n2) p2/n2 问：问： p1/n1rA(n1, n2+1), 则

10、这席应给则这席应给 B“公平公平”分配方分配方法法当当 rB(n1+1, n2) rA(n1, n2+1), 该席给该席给ArA, rB的定义的定义)1()1(11212222nnpnnp该席给该席给A否则否则, 该席给该席给B, 2 , 1,)1(2innpQiiii 定义定义该席给该席给Q值值较大的一方较大的一方推广到推广到m方方分配席位分配席位minnpQiiii, 2 , 1,)1(2计算计算该席给该席给Q值最大的一方值最大的一方Q 值方法值方法“公平公平”分配方分配方法法三系用三系用Q值方法重新分配值方法重新分配 21个席位个席位按人数比例的整数部分已将按人数比例的整数部分已将19席

11、分配完毕席分配完毕甲系：甲系：p1=103, n1=10乙系：乙系：p2= 63, n2= 6丙系：丙系：p3= 34, n3= 3用用Q值方法分配值方法分配第第20席和第席和第21席席第第20席席3 .964334, 5 .9476632322QQ第第21席席, 4 .80121110321QQ2, Q3同上同上Q3最大，第最大，第21席给丙系席给丙系甲系甲系11席席, 乙系乙系6席席, 丙系丙系4席席Q值方法值方法分配结果分配结果公平吗？公平吗？Q1最大，第最大，第20席给甲系席给甲系, 4 .96111010321Q模型的公理化研究模型的公理化研究Q值方法比值方法比“比例加惯例比例加惯例

12、”方法更公平吗？方法更公平吗？席位分配的公理席位分配的公理 (1974)份额份额qi=Npi /P, 分配名额分配名额ni = ni (N, p1, , pm )已知已知p1, p2, pm , P, N1) qi ni qi+1 (i=1,2, m) 公平分配性公平分配性2) ni (N, p1, , pm ) ni (N+1, p1, , pm) 名额单调性名额单调性 “比例加惯例比例加惯例”方法满足公理方法满足公理 1，但不满足公理，但不满足公理2. Q值方法满足值方法满足公理公理2, , 但不满足公理但不满足公理1（如下例）（如下例） .模型的公理化研究模型的公理化研究pi952171

13、6151000qi95.21.71.61.5 100ni94222100i=1i=2i=3i=4不存在满足上述公理的不存在满足上述公理的席位分配方法席位分配方法 ( (1982) )公平的席位分配公平的席位分配 建立建立“公平分配席位公平分配席位”模型的关键是建立衡量公模型的关键是建立衡量公平程度的平程度的数量指标数量指标. 在以相对不公平度为衡量指标的前提下在以相对不公平度为衡量指标的前提下, Q值方法值方法比比“比例加惯例比例加惯例”方法更加公平方法更加公平. 如果采用如果采用公理化方法公理化方法提出公平分配席位的提出公平分配席位的理想化原则，那么该问题尚未解决理想化原则，那么该问题尚未解

14、决已证明不已证明不存在满足一组公理的席位分配方法存在满足一组公理的席位分配方法. 年年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999人口人口(亿亿) 5 10 20 30 40 50 60世界人口增长概况世界人口增长概况中国人口增长概况中国人口增长概况 年年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000人口人口(亿亿) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0研究人口变化规律研究人口变化规律控制人口过快增长控制人口过快增长2.3.3 人口发展问题人口发展问题指数增长模型指数增长模型马尔萨斯提出马尔萨斯提出

15、( (1798) )中学数学思想中学数学思想x(t) 时刻时刻t的人口的人口基本假设基本假设 : 人口人口(相对相对)增长率增长率 r 是常数是常数今年人口今年人口 x0, 年增长率年增长率 rk年后人口年后人口0)0(,xxrxdtdxrtextx0)(trextx)()(0trx)1 (0随着时间增加，人口按指数规律无限增长随着时间增加，人口按指数规律无限增长ttrxtxttx)()()(?阻滞增长模型阻滞增长模型( (Logistic模型模型) )人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用资源、环境等因素对人口增长

16、的阻滞作用且阻滞作用随人口数量增加而变大且阻滞作用随人口数量增加而变大假设假设) 0,()(srsxrxrr固有增长率固有增长率(x很小时很小时)xm人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）)1 ()(mxxrxrr是是x的减函数的减函数mxrs 0)(mxrrxdtdx)1 ()(mxxrxxxrdtdxdx/dtx0 xmxm/2xmx txxxemmrt( )()110tx0 x(t)S形曲线形曲线, x增加先快后慢增加先快后慢x0 xm/2阻滞增长模型阻滞增长模型( (Logistic模型模型) )参数估计参数估计用阻滞增长模型作人口预报，必须用阻滞

17、增长模型作人口预报，必须先估计模型参数先估计模型参数 r, xm 利用统计数据用最小二乘法作拟合（用利用统计数据用最小二乘法作拟合（用MATLABMATLAB软件）软件）例：美国人口数据（单位例：美国人口数据（单位百万）百万） 1860 1870 1880 1960 1970 1980 1990 31.4 38.6 50.2 179.3 204.0 226.5 251.4阻滞增长模型阻滞增长模型r=0.2557, xm=392.1x txxxemmrt( )()110模型检验模型检验用模型计算用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较年美国人口，与实际数据比较实际为实际为281.4 (百万百

18、万)5 .274)2000(x模型应用模型应用预报美国预报美国2010年的人口年的人口Logistic 模型在经济领域中的应用模型在经济领域中的应用( (如耐用消费品的售量如耐用消费品的售量) )阻滞增长模型阻滞增长模型( (Logistic模型模型) )x(2010)=306.0 x txxxemmrt( )()110令 t=2000，r=0.2557, xm=392.1相对误差为相对误差为2.5%例例 商人们怎样安全过河商人们怎样安全过河? ?问题问题( (智力游戏智力游戏) ) 3名商人名商人 3名随从名随从随从们密约随从们密约, , 在河的任一岸在河的任一岸, , 一旦随从的人数比商人

19、多一旦随从的人数比商人多, , 就杀人抢货就杀人抢货. .但是乘船渡河的方案由商人决定但是乘船渡河的方案由商人决定. .商人们怎样才能安全过河商人们怎样才能安全过河?问题分析问题分析多步决策过程多步决策过程决策决策 每一步每一步( (此岸到彼岸或彼岸到此岸此岸到彼岸或彼岸到此岸) )船上的人员船上的人员要求要求在安全的前提下在安全的前提下( (两岸的随从数不比商人多两岸的随从数不比商人多),),经有经有 限步使全体人员过河限步使全体人员过河. .河河小船小船(至多至多2人人)模型构成模型构成xk第第k次渡河前此岸的商人数次渡河前此岸的商人数yk第第k次渡河前此岸的随从数次渡河前此岸的随从数xk

20、, yk=0,1,2,3; k=1,2, sk=(xk , yk) 状态状态S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2S 允许状态集合允许状态集合uk第第k次渡船上的商人数次渡船上的商人数vk第第k次渡船上的随从数次渡船上的随从数dk=(uk , vk) 决策决策D=(u , v) u+v=1, 2 允许允许决策决策集合集合uk, vk=0,1,2; k=1,2, sk+1=sk dk +(-1)k 状态转移律状态转移律求求dk D(k=1,2, n), 使使sk S, 并并按按转转移律移律由由 s1=(3,3)到达到达 sn+1=(0,

21、0).多步决策多步决策问题问题模型求解模型求解 穷举法穷举法 编程上机编程上机 图解法图解法状态状态s=(x,y) 16个格点个格点 10个个 点点允许决策允许决策 移动移动1或或2格格; k奇奇,左下移左下移; k偶偶,右上移右上移.d1, ，d11给出安全渡河方案给出安全渡河方案评注和思考评注和思考规格化方法规格化方法, ,易于推广易于推广考虑考虑4名商人各带一随从的情况名商人各带一随从的情况xy3322110s1sn+1d1d11允许状态允许状态S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2应用领域应用领域人口、交通、经济、生态人口、交

22、通、经济、生态 数学方法数学方法初等数学、微分方程、几何、统计初等数学、微分方程、几何、统计 表现特性表现特性优化、预报、决策优化、预报、决策 建模目的建模目的了解程度了解程度白箱白箱灰箱灰箱黑箱黑箱确定和随机确定和随机静态和动态静态和动态线性和非线性线性和非线性离散和连续离散和连续2.4 数学模型的分类数学模型的分类 电子计算机的出现及飞速发展；电子计算机的出现及飞速发展； 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。数学建模的具体应用数学建模的具体应用 预报与决策预报与决策 控制与优化控制与优化2.5 数学建模的学习方法与数学建模竞赛数学建模的学习方法与数学

23、建模竞赛2.5.1 数学建模的重要意义数学建模的重要意义2.5.2 数学建模的学习方法数学建模的学习方法数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术技术大致有章可循技术大致有章可循艺术无法归纳成普遍适用的准则艺术无法归纳成普遍适用的准则想像力想像力洞察力洞察力判断力判断力 学习、分析、评价、改进别人作过的模型学习、分析、评价、改进别人作过的模型 亲自动手，认真作几个实际题目亲自动手，认真作几个实际题目美国MCM竞赛规模我国CUMCM竞赛规模学生欢迎：学生欢迎：“一次参赛，终身受益一次参赛，终身受益”研究生导师们的认同研究生导师们的认同企业界的认同赞助企业

24、界的认同赞助教育改革同行的认同：教育改革同行的认同：“成功范例成功范例”国际同行的认同国际同行的认同竞赛的反响竞赛的反响IBM 中国研究中心中国研究中心- 招聘条件招聘条件Position title: Business Optimization(BJ)1Background in industrial engineering, operations research, mathematics, Artificial Intelligence, management science etc. 2. Knowledge in network design, job scheduling, data analysis, simulation and optimization 3. Award in mathematical contest in modeling is a plus 4. Experience in industry is a plus 5. Experience in eclipse or programming model / architecture design is a plus -Feb. 18, 2010, http:/