2022高考数学一轮复习 第七章 第1讲 不等式的性质与一元二次不等式知识点 新人教A版 .doc

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1、第1讲 不等式的性质与一元二次不等式最新考纲1.了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景；2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图知 识 梳 理1两个实数比较大小的方法(1)作差法(2)作商法2不等式的性质(1)对称性：abba；(2)传递性：ab，bcac；(3)可加性：abacbc；ab，cdacbd；(4)可乘性：ab，c0acbc；ab0，cd0acbd；(5)可乘方：ab0anbn(nN，n1)；(6)可开方：ab0(n

2、N，n2)3三个“二次”间的关系判别式b24ac000二次函数yax2bxc(a0)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两相异实根x1，x2(x1x2)有两相等实根x1x2没有实数根ax2bxc0(a0)的解集Rax2bxc0(a0)的解集x|x1xx2诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)精彩PPT展示(1)abac2bc2.()(2)ab0，cd0.()(3)若方程ax2bxc0(a0)没有实根数，则不等式ax2bxc0的解集为R.()(4)不等式ax2bxc0在R上恒成立的条件是a0且b24ac0.()2(2014四川卷)若ab0，cd0，则一定有()A. B.C.

3、D.解析cd0，0，两边同乘1，得0，又ab0，故由不等式的性质可知0.两边同乘1，得.故选B.答案B3(2014大纲全国卷)不等式组的解集为()Ax|2x1 Bx|1x0Cx|0x1 Dx|x1解析由x(x2)0得x0或x2；由|x|1得1x1，所以不等式组的解集为x|0x1，故选C.答案C4若不存在整数x满足不等式(kxk24)(x4)0，则实数k的取值范围是_解析可判断k0或k0均不符合题意，故k0.于是原不等式即为k(x4)0(x4)0，依题意应有35且k0，1k4.答案1，45(人教A必修5P80A3改编)若关于x的一元二次方程x2(m1)xm0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是

4、_解析由题意知：(m1)24m0.即m26m10，解得：m32或m32.答案(，32)(32，)考点一不等式的性质及应用【例1】 若0，给出下列不等式：；|a|b0；ab；ln a2ln b2.其中正确的不等式是()A B C D 解析法一因为0，故可取a1，b2.显然|a|b1210，所以错误；因为ln a2ln(1)20，ln b2ln(2)2ln 40，所以错误综上所述，可排除A，B，D.深度思考判断不等式是否成立，常采用特殊值法进行排除但为了更好理解不等式的性质，请你利用不等式的性质判断一下法二由0，可知ba0.中，因为ab0，ab0，所以0，0.故有，即正确；中，因为ba0，所以ba

5、0.故b|a|，即|a|b0，故错误；中，因为ba0，又0，则0，所以ab，故正确；中，因为ba0，根据yx2在(，0)上为减函数，可得b2a20，而yln x在定义域(0，)上为增函数，所以ln b2ln a2，故错误由以上分析，知正确答案C规律方法判断多个不等式是否成立，常用方法：一是直接使用不等式性质，逐个验证；二是用特殊法排除而常见的反例构成方式可从以下几个方面思考：(1)不等式两边都乘以一个代数式时，考察所乘的代数式是正数、负数或0；(2)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变；(3)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时取倒数后不等号方向不变等【训

6、练1】 (1)(2014三明模拟)若ab0，则下列不等式一定成立的是()A. Ba2abC. Danbn(2)设ab1，c0，给出下列三个结论：；acbc；logb(ac)loga(bc)其中所有的正确结论的序号是()A B C D解析(1)(特值法)取a2，b1，逐个检验，可知A，B，D项均不正确；C项，|b|(|a|1)|a|(|b|1)|a|b|b|a|b|a|b|a|，ab0，|b|a|成立，故选C.(2)由不等式性质及ab1知，又c0，所以，正确；构造函数yxc，c0，yxc在(0，)上是减函数，又ab1，acbc，知正确；ab1，c0，acbc1，logb(ac)loga(ac)l

7、oga(bc)，知正确答案(1)C(2)D考点二一元二次不等式的解法【例2】 (1)关于x的不等式x22ax8a20)的解集为(x1，x2)，且x2x115，则a()A. B. C. D.解析法一由x22ax8a20，得(x2a)(x4a)0恒成立，则x的取值范围为_解析把不等式的左端看成关于a的一次函数，记f(a)(x2)a(x24x4)，则由f(a)0对于任意的a1，1恒成立，易知只需f(1)x25x60，且f(1)x23x20即可，联立方程解得x3.答案x|x314已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)2x的解集为(1，3)(1)若方程f(x)6a0有两个相等的根，求f(

8、x)的解析式；(2)若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围解(1)f(x)2x0的解集为(1，3)，f(x)2xa(x1)(x3)，且a0，因而f(x)a(x1)(x3)2xax2(24a)x3a.由方程f(x)6a0，得ax2(24a)x9a0.因为方程有两个相等的根，所以(24a)24a9a0，即5a24a10，解得a1或a.由于a0，舍去a1，将a代入，得f(x)x2x.(2)由f(x)ax22(12a)x3aa及a0，可得f(x)的最大值为.由解得a2或2a0在平面直角坐标系中表示直线AxByC0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)不含边界直线不等式AxByC0所表示的平面区域(半

9、平面)包括边界直线(2)对于直线AxByC0同一侧的所有点(x，y)，使得AxByC的值符号相同，也就是位于同一半平面内的点，其坐标适合同一个不等式AxByC0；而位于另一个半平面内的点，其坐标适合另一个不等式AxByC0.(3)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分2线性规划的有关概念名称意义线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组，是对x，y的约束条件目标函数关于x，y的解析式线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数达到最大值或最小值的可行解线性规划问题求线性

10、目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)精彩PPT展示(1)不等式AxByC0表示的平面区域一定在直线AxByC0的上方()(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的()(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上()(4)目标函数zaxby(b0)中，z的几何意义是直线axbyz0在y轴上的截距()2下列各点中，不在xy10表示的平面区域内的是()A(0，0) B(1，1) C(1，3) D(2，3)解析把各点的坐标代入可得(1，3)不适合，故选C.答案C3直线2xy100与不等式组表示的平面区域的公共点有()A0个 B1个 C

11、2个 D无数个解析由不等式组画出平面区域如图(阴影部分)直线2xy100恰过点A(5，0)，且其斜率k2kAB，即直线2xy100与平面区域仅有一个公共点A(5，0)答案B4(2014天津卷)设变量x，y满足约束条件则目标函数zx2y的最小值为()A2 B3 C4 D5解析由线性约束条件画出可行域(如图所示)由zx2y，得yxz，z的几何意义是直线yxz在y轴上的截距，要使z最小，需使z最小，易知当直线yxz过点A(1，1)时，z最小，最小值为3，故选B.答案B5(2014安徽卷)不等式组表示的平面区域的面积为_解析不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分由得A(0，2)，B(2，0)，C(

12、8，2)直线x2y40与x轴的交点D的坐标为(4，0)因此SABCSABDSBCD22224.故答案为4.答案4考点一二元一次不等式(组)表示的平面区域【例1】 (1)若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是()A. B(0，1C. D(0，1(2)若不等式组所表示的平面区域被直线ykx分为面积相等的两部分，则k的值是()A. B. C. D. 解析(1)不等式组表示的平面区域如图(阴影部分)，求A，B两点的坐标分别为和(1，0)，若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线xya的a的取值范围是0a1或a.(2)不等式组表示的平面区域如图所示由于直线ykx过定点.因此只有直线

13、过AB中点时，直线ykx能平分平面区域因为A(1，1)，B(0，4)，所以AB中点D.当ykx过点时，所以k.答案(1)D(2)A规律方法二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域，注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点【训练1】 (1)若函数y2x图象上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为()A. B1C. D2(2)在平面直角坐标系中，若不等式组(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为()A5 B1C2 D3解析(1)在同一直角坐标系中作出函数y2x

14、的图象及所表示的平面区域，如图阴影部分所示由图可知，当m1时，函数y2x的图象上存在点(x，y)满足约束条件，故m的最大值为1.(2)不等式组所围成的平面区域如图其面积为2，|AC|4，从而C点坐标为(1，4)，代入axy10，解得a3，故选D.答案(1)B(2)D考点二简单线性目标函数的最值问题【例2】 (1)(2014新课标全国卷)设x，y满足约束条件则z2xy的最大值为()A10 B8 C3 D2(2)(2014北京卷)若x，y满足且zyx的最小值为4，则k的值为()A2 B2 C. D解析(1)画出可行域如图所示由z2xy，得y2xz，欲求z的最大值，可将直线y2x向下平移，当经过区域

15、内的点，且满足在y轴上的截距z最小时，即得z的最大值，如图，可知当过点A时z最大，由得即A(5，2)，则zmax2528.(2)作出线性约束条件的可行域当k0时，如图1所示，此时可行域为x轴上方、直线xy20的右上方、直线kxy20的右下方的区域，显然此时zyx无最小值当k0时，zyx也无最小值；当k1时，zyx取得最小值2；当k1时，zyx取得最小值2，均不符合题意当1k0时，如图2所示，此时可行域为点A(2，0)，B，C(0，2)所围成的三角形区域，当直线zyx经过点B时，有最小值，即4k.故选D.答案(1)B(2)D规律方法(1)线性目标函数的最大(小)值一般在可行域的顶点处取得，也可能

16、在边界处取得(2)已知目标函数的最值或其他限制条件，求约束条件或目标函数中所含参数的值或取值范围的问题解决这类问题时，首先要注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来，以确定是否符合题意，然后在符合题意的可行域里，寻求最优解，从而确定参数的值【训练2】 (1)(2014安徽卷)x，y满足约束条件若zyax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为()A.或1 B2或 C2或1 D2或1(2)(2014福建卷)若变量x，y满足约束条件则z3xy的最小值为_解析(1)作出可行域(如图)，为ABC内部(含边界)由题设zyax取得最大值的最优解不唯一可知：线性目标函数对应直线与可行域某一边界重合由

17、kAB1，kAC2，kBC，可得a1或a2或a，验证：a1或a2时，成立；a时，不成立，故选D.(2)可行域为如图所示的阴影部分，当目标函数z3xy经过点A(0，1)时，z3xy取得最小值zmin3011.答案(1)D(2)1考点三实际生活中的线性规划问题【例3】 某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为()A31 200元 B36 000元 C36 800元 D38 400元解析设旅行社租用A型客车x辆，B型客车y辆，租金

18、为z，则线性约束条件为目标函数为z1 600x2 400y.画出可行域：如图中阴影部分所示，可知目标函数过点(5，12)时，有最小值zmin36 800(元)答案C规律方法线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题，再按求最优解的步骤解决【训练3】 某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨1.2万元0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润(总利润总销售收入总种

19、植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为()A50，0 B30，20 C20，30 D0，50解析设黄瓜、韭菜的种植面积分别为x，y亩，则总利润z40.55x60.3y1.2x0.9yx0.9y.此时x，y满足条件画出可行域如图，得最优解为A(30，20)，故选B.答案B 微型专题非线性目标函数的最值问题与二元一次不等式(组)表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成常见代数式的几何意义：(1)表示点(x，y)与原点(0，0)的距离；(2)表示点(x，y)与点(a，b)之间的距离；(3)表示点(x，y)到直线AxByC0的距离；(4)

20、表示点(x，y)与原点(0，0)连线的斜率；(5)表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率【例4】 实数x，y满足(1)若z，求z的最大值和最小值，并求z的取值范围；(2)若zx2y2，求z的最大值与最小值，并求z的取值范围点拨先画出可行域，再利用目标函数的几何意义求解解由作出可行域，如图中阴影部分所示(1)z表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此的范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率(直线OA的斜率不存在，即zmax不存在)由得B(1，2)，kOB2，即zmin2，z的取值范围是2，)(2)zx2y2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方因此x2y2的值最小为|OA|2(取不到

21、)，最大为|OB|2.由得A(0，1)，|OA|2()21，|OB|2()25，z的取值范围是(1，5点评在简单的线性规划问题中：一是要把不等式组所表示的平面区域作准确；二是要把握好目标函数的几何意义，这个几何意义决定了目标函数在哪个点处取得最值的情况思想方法1平面区域的画法：线定界、点定域(注意实虚线)2求最值：求二元一次目标函数zaxby(ab0)的最值，将zaxby转化为直线的斜截式：yx，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值最优解在顶点或边界取得3解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题易错防

22、范1画出平面区域避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化2在通过求直线的截距的最值间接求出z的最值时，要注意：当b0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当b0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1(2015泰安模拟)不等式组所表示的平面区域的面积为 ()A1 B. C. D.解析作出不等式组对应的区域为BCD，由题意知xB1，xC2.由得yD，所以SBCD(xCxB).答案D2(2014广东卷)若变量x，y满足约束条件且z2xy的最大值和最小值分别为m和n，则mn()A5 B6 C7 D8解

23、析作出可行域(如图中阴影部分所示)后，结合目标函数可知，当直线y2xz经过点A时，z的值最大，由得则mzmax2213.当直线y2xz经过点B时，z的值最小，由得则nzmin2(1)13，故mn6.答案B3(2013陕西卷)若点(x，y)位于曲线y|x|与y2所围成的封闭区域，则2xy的最小值为()A6 B2C0 D2解析如图，曲线y|x|与y2所围成的封闭区域如图中阴影部分，令z2xy，则y2xz，作直线y2x，在封闭区域内平行移动直线y2x，当经过点(2，2)时，z取得最小值，此时z2(2)26.答案A4(2014成都诊断)在平面直角坐标系 xOy中，P为不等式组所表示的平面区域上一动点，

24、则直线OP斜率的最大值为()A2 B.1 C. D.解析作出可行域如图所示，当点P位于的交点(1，1)时，(kOP)max1，故选B.答案B5(2015济南模拟)已知变量x，y满足约束条件目标函数zx2y的最大值为10，则实数a的值为()A2 B.C4 D8解析结合图形求解作出不等式组对应的平面区域，当目标函数经过点(a，a1)时取得最大值10，所以a2(a1)10，解得a4，故选C.答案C二、填空题6(2015日照调研)若A为不等式组表示的平面区域，则当a从2连续变化到1时，动直线xya扫过A中的那部分区域的面积为_解析平面区域A如图所示，所求面积为S222.答案7在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则|OM|的最小值是_解析如图所示阴影部分为可行域，数形结合可知，原点O到直线xy20的垂线段长是|OM|的最小值，|OM|min