第02讲 最值问题（二）(学生版)A4-精品文档资料整理.docx

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1、初中数学 高斯教育学科教师辅导讲义学员姓名：年 级：辅导科目：学科教师：五块石1上课时间授课主题第02讲 最值问题（二）知识图谱错题回顾顾题回顾最值问题（二）知识精讲一将军饮马问题如图所示，将军在观望烽火之后从山脚下的点出发，走到河边饮马后再到点宿营请问怎样走才能使总的路程最短？如图所示，从出发向河岸引垂线，垂足为，在的延长线上，取关于河岸的对称点，连结，与河岸线相交于点，则点就是饮马的地方，将军只要从出发，沿直线走到，饮马之后，再由沿直线走到营地，所走的路程就是最短的二将军饮马问题模型1.如图，直线和的异侧两点、，在直线上求作一点，使最小2.如图，直线和的同侧两点、，在直线上求作一点，使最小

2、3如图，直线和同侧两点、，在直线上求作一点，使最大4如图，直线和异侧两点、，在直线上求作一点，使最大5如图，点是内的一点，分别在，上作点，使的周长最小6如图，点，为内的两点，分别在，上作点，使四边形的周长最小7如图，点是外的一点，在射线上作点，使与点到射线的距离之和最小8如图，点是内的一点，在射线上作点，使与点到射线的距离之和最小 三造桥选址问题如图，和两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥，桥造在何处才能使从到的路径最短？（假设河两岸、平行,桥与河岸垂直） 四利用三边关系 关于最短距离，我们有下面几个相应的结论：（1）在连接两点的所有线中，线段最短（两点之间，线段最短）；（2）三角形的两边之

3、和大于第三边，两边之差小于第三边；（3）在三角形中，大角对大边，小角对小边一般说来，线段和最短的问题，往往把几条线段连接成一条线段，利用两点之间线段最短或者三角形两边之和大于第三边来加以证明，另外，在平移线段的时候，一般要用到平行四边形的判定和性质（判定：如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形；性质：平行四边形的对边相等）三点剖析一考点：1将军饮马问题；2造桥选址问题二重难点：1将军饮马问题的8大模型；2造桥选址问题模型及其变式三易错点： 1无论是将军饮马问题还是造桥选址问题给定的都是两个定点，很多学生可以直接套模型，但是如果两个点中只有一个定点，另外一个点是动点就要结

4、合其它与最值有关的知识点，比如最常见的就是“垂线段最短”2很多学生在利用将军饮马和造桥选址模型求解最短路径问题时，往往自己做对称点，其实很多时候图形都是很特殊的，都自带对称图形，这样就直接在已有的线段上找对称点，然后再求解，这样会简单很多1将军饮马问题；2造桥选址问题题模精讲题模一：轴对称与最值问题例1.1.1我们曾学过“两点之间线段最短”的知识，常可利用它来解决两条线段和最小的相关问题，下面是大家非常熟悉的一道习题：如图1，已知，A，B在直线l的同一侧，在l上求作一点，使得最小我们只要作点B关于l的对称点B，（如图2所示）根据对称性可知，因此，求最小就相当于求最小，显然当A、P、B在一条直线

5、上时最小，因此连接AB，与直线l的交点，就是要求的点P有很多问题都可用类似的方法去思考解决探究：（1）如图3，正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，P是BD上一动点连结EP，CP，则EP+CP的最小值是_；（2）如图4，A是锐角MON内部任意一点，在MON的两边OM，ON上各求作一点B，C，组成ABC，使ABC周长最小；（不写作法，保留作图痕迹）（3）如图5，平面直角坐标系中有两点、，在y轴上找一点C，在x轴上找一点D，使得四边形ABCD的周长最小，则点C的坐标应该是_，点D的坐标应该_例1.1.2如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a0）的顶点坐标为（4，-），且与y轴交于点C（0，2

6、），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）（1）求抛物线的解析式及A、B两点的坐标；（2）在（1）中抛物线的对称轴l上是否存在一点P，使AP+CP的值最小？若存在，求AP+CP的最小值，若不存在，请说明理由；（3）以AB为直径的M相切于点E，CE交x轴于点D，求直线CE的解析式例1.1.3小明在学习轴对称的时候，老师留了这样一道思考题：如图，已知在直线l的同侧有A、B两点，请你在直线l上确定一点P，使得的值最小小明通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确方法，他的作法是这样的：作点A关于直线l的对称点连结，交直线l于点P则点P为所求APBl请你参考小明的作法解决下列问题：（1）如图1，在中

7、，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使得的周长最小在图1中作出点P（三角板、刻度尺作图，保留作图痕迹，不写作法）请直接写出周长的最小值_EDACB图1（2）如图2在矩形ABCD中，G为边AD的中点，若E、F为边AB上的两个动点，点E在点F左侧，且，当四边形CGEF的周长最小时，请你在图2中确定点E、F的位置（三角板、刻度尺作图，保留作图痕迹，不写作法），并直接写出四边形CGEF周长的最小值_ADGCB图2题模二：三角形三边关系与最值问题例1.2.1如图1，点为正方形的中心（1）将线段绕点逆时针方向旋转，点的对应点为点，连结，请依题意补全图1；（2）根

8、据图1中补全的图形，猜想并证明与的关系；（3）如图2，点是中点，是等腰直角三角形，是的中点，绕点逆时针方向旋转角度，请直接写出旋转过程中的最大值图1图2例1.2.2如图1，在ABC中，ACB=90，点P为ABC内一点（1）连接PB，PC，将BCP沿射线CA方向平移，得到DAE，点B，C，P的对应点分别为点D，A，E，连接CE依题意，请在图2中补全图形；如果BPCE，BP=3，AB=6，求CE的长（2）如图3，连接PA，PB，PC，求PA+PB+PC的最小值小慧的作法是：以点A为旋转中心，将ABP顺时针旋转60得到AMN，那么就将PA+PB+PC的值转化为CP+PM+MN的值，连接CN，当点P落

9、在CN上时，此题可解请你参考小慧的思路，在图3中证明PA+PB+PC=CP+PM+MN并直接写出当AC=BC=4时，PA+PB+PC的最小值例1.2.3在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，且，点M为线段AB的中点（1）如图1，线段OM的长度为_；（2）如图2，以AB为斜边作等腰直角三角形ACB，当点C在第一象限时，求直线OC所对应的函数的解析式；（3）如图3，设点D、E分别在x轴、y轴的负半轴上，且，以DE为边在第三象限内作正方形DGFE，请求出线段MG长度的最大值，并直接写出此时直线MG所对应的函数的解析式AByxOM图1yyBMOOxxACDEF图2图3例1.2.

10、4如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，连结AM、CM（1） 当M点在何处时，AMCM的值最小；（2）当M点在何处时，AMBMCM的值最小，并说明理由；（3）当AMBMCM的最小值为时，求正方形的边长EBDCAM例1.2.5几何模型：条件：如图，A、B是直线l同旁的两个定点问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小方法：作点A关于直线l的对称点A，连结AB交l于点P，则PA+PB=AB的值最小（不必证明）模型应用：（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点连结BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称连

11、结ED交AC于P，则PB+PE的最小值是_；（2）如图2，O的半径为2，点A、B、C在O上，OAOB，AOC=60，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；（3）如图3，AOB=45，P是AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求PQR周长的最小值随堂练习随练1.1如图，直线y=3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B抛物线y=a（x2）2+k经过A、B，并与x轴交于另一点C，其顶点为P，（1）求a，k的值；（2）在图中求一点Q，A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出相应的点Q的坐标；（3）抛物线的对称轴上是否存在一点M，使ABM的周长最小？若存在，求ABM的周长；若不

12、存在，请说明理由；（4）抛物线的对称轴是上是否存在一点N，使ABN是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出N点的坐标，若不存在，请说明理由随练1.2如图，点A是半圆上的一个三等分点，点B是弧AN的中点，点P是直径MN上一个动点，圆O的半径为1（1）找出当能得到最小值时，点P的位置，并证明；（2）求出最小值BAMNO随练1.3如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=12，将矩形纸片折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，此时PD=3（1）求MP的值；（2）在AB边上有一个动点F，且不与点A，B重合当AF等于多少时，MEF的周长最小？（3）若点G，Q是AB边上的两个动点，且不与点A，B重

13、合，GQ=2当四边形MEQG的周长最小时，求最小周长值（计算结果保留根号）随练1.4已知，点O是等边ABC内的任一点，连接OA，OB，OC（1）如图1，已知AOB=150，BOC=120，将BOC绕点C按顺时针方向旋转60得ADCDAO的度数是；用等式表示线段OA，OB，OC之间的数量关系，并证明；（2）设AOB=，BOC=当，满足什么关系时，OA+OB+OC有最小值？请在图2中画出符合条件的图形，并说明理由；若等边ABC的边长为1，直接写出OA+OB+OC的最小值随练1.5如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、O

14、E为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE（1）求证：DEAG；（2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转角（0360）得到正方形OEFG，如图2在旋转过程中，当OAG是直角时，求的度数；若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF长的最大值和此时的度数，直接写出结果不必说明理由随练1.6以平面上一点O为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作AOB和COD，其中（1）点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，连接FM、EM如图1，当点D、C分别在AO、BO的延长线上时，=_；如图2，将图1中的AOB绕点O沿顺时针方向旋转角（），其他条件不变，判断的值是否发生变化，并对你的结论

15、进行证明；（2）如图3，若，点N在线段OD上，且点P是线段AB上的一个动点，在将AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最小值为_，最大值为_随练1.7（1）如图1，已知正方形ABCD的边长是4，M在DC上，M是CD的中点，点P是AC边上的一动点，则当DP+MP的值最小时，在图（1）备用图中作出点P的位置，求DP的值（2）如图，已知正方形ABCD的边长是4，点M是DC上的一个动点，连结AM，作BPAM于点P，连结DP，当DP最小时，在图（2）备用图中作出点P的位置，求DP的值自我总结 课后作业作业1如图，RtABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点

16、的坐标分别为（-3，0）、（0，4），抛物线y=x2+bx+c经过点B，且顶点在直线x=上（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若把ABO沿x轴向右平移得到DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；（3）在（2）的条件下，连接BD，已知对称轴上存在一点P使得PBD的周长最小，求出P点的坐标；（4）在（2）、（3）的条件下，若点M是线段OB上的一个动点（点M与点O、B不重合），过点M作BD交x轴于点N，连接PM、PN，设OM的长为t，PMN的面积为S，求S和t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，S是否存在最大值？若存

17、在，求出最大值和此时M点的坐标；若不存在，说明理由作业2如图，抛物线y=x22x6与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点D为顶点，点E在抛物线上，且横坐标为4，AE与y轴交F（1）求抛物线的顶点D和F的坐标；（2）点M、N是抛物线对称轴上两点，且M（2，a），N（2，a+），是否存在a使F，C，M，N四点所围成的四边形周长最小，若存在，求出这个周长最小值，并求出a的值；（3）连接BC交对称轴于点P，点Q是线段BD上的一个动点，自点D以2个单位每秒的速度向终点B运动，连接PQ，将DPQ沿PQ翻折，点D的对应点为D，设Q点的运动时间为t（0t）秒，求使得DPQ与PQB重叠部分的

18、面积为DPQ面积的时对应的t值作业3如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=8，点E、F分别在线段BC、CD上，将CEF沿EF翻折，点C的落点为M（1）如图1，当 CE=5，M点落在线段AD上时，求MD的长（2）如图2，若点F是CD的中点，点E在线段BC上运动，将CEF沿EF折叠，连接BM，BME是否可以是直角三角形？如果可以，求此时CE的长，如果不可以，说明理由连接MD，如图3，求四边形ABMD的周长的最小值和此时CE的长作业4问题提出（1）如图，已知ABC，请画出ABC关于直线AC对称的三角形问题探究（2）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是否在边BC、CD上分

19、别存在点G、H，使得四边形EFGH的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由问题解决（3）如图，有一矩形板材ABCD，AB=3米，AD=6米，现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件，使EFG=90，EF=FG=米，EHG=45，经研究，只有当点E、F、G分别在边AD、AB、BC上，且AFBF，并满足点H在矩形ABCD内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件，试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件？若能，求出裁得的四边形EFGH部件的面积；若不能，请说明理由作业5在平面直角坐标系中，O为原点，点A（4，0），点B（0，3），把ABO绕点B逆时针旋

20、转，得ABO，点A，O旋转后的对应点为A，O，记旋转角为（）如图，若=90，求AA的长；（）如图，若=120，求点O的坐标；（）在（）的条件下，边OA上 的一点P旋转后的对应点为P，当OP+BP取得最小值时，求点P的坐标（直接写出结果即可）作业6如图1，已知线段，点B关于直线AC的对称点是点D，点E为射线CA上一点，且，连接DE，BE（1）依题意补全图1，并证明：BDE为等边三角形；（2）若，点C关于直线BD的对称点为点F，连接FD、FB将CDE绕点D顺时针旋转度（）得到，点E的对应点为，点C的对应点为点如图2，当时，连接证明：；如图3，点M为DC中点，点P为线段上的任意一点，试探究：在此旋转过程中，线段PM长度的取值范围？作业7正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在射线DC，DA上运动，且DE=DF连接BF，作EHBF所在直线于点H，连接CH（1）如图1，若点E是DC的中点，CH与AB之间的数量关系是_；（2）如图2，当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论是否成立？若成立给出证明；若不成立，说明理由；（3）如图3，当点E，F分别在射线DC，DA上运动时，连接DH，过点D作直线DH的垂线，交直线BF于点K，连接CK，请直接写出线段CK长的最大值16