矩阵相似的若干判别法及应用.doc

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1、精品文档，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除本 科 生 毕 业 论 文矩阵相似的若干判别法及应用 学 号： 2011562010 姓 名： 邵 坷 年 级： 2011级本科班 系 别： 数学系 专 业： 数学与应用数学 指导教师： 由金玲 完成日期： 2015 年4月30日 【精品文档】第 13 页 承 诺 书我承诺所呈交的毕业论文（设计）是本人在指导教师指导下进行研究工作所取得的研究成果.据我查证,除了文中特别加以标注的地方外,论文中不包含他人已经发表或撰写过的研究成果.若本论文（设计）及资料与以上承诺内容不符,本人愿意承担一切责任. 毕业论文（设计）作者签名： 日期： 年 月 日 目

2、录摘 要IAbstractII前 言1第一章 基本概念21.1 矩阵2 1.1.1 矩阵的概念2 1.1.2 矩阵的性质21.2 矩阵相似3 1.2.1 矩阵相似的概念3 1.2.2 矩阵相似的性质4第二章 矩阵相似的判别52.1 特征值与特征向量法判定5 2.1.1 特征值和特征向量的定义及求法5 2.1.2 特征值和特征向量的基本性质与矩阵相似的判定52.2 用初等变法换判定82.3 应用分块矩阵相似判定10第三章 矩阵相似的应用133.1 利用相似变换把方阵对角化133.2 矩阵相似性质的简单应用133.3 矩阵相似在实际生活中的应用14结 论16参考文献17致 谢18摘 要相似矩阵是高

3、等代数课程范围内,一个很重要的基本问题,并且矩阵相似是矩阵中很重要的一种关系. 本文从矩阵的基本理论出发,以定性分析法,以综述的形式总结了几个重要的判定矩阵相似的定理和结论.通过矩阵的特征值与特征向量、矩阵的对角化、可逆矩阵、矩阵的初等变换和分块矩阵对矩阵相似进行判别,并运用例证对每一种判别法加以说明;另外,还对相似矩阵的一些应用进行了介绍,以便对矩阵的相似有更进一步的了解.关键词：特征值;特征向量;相似矩阵;判别;分块矩阵 AbstractThe similarity of matrix is one of the most important problem within the area

4、 of the advanced algebra. In addition, the similarity of matrix is an elementary relationship between the matrixes. This paper reviews several important criteria which are used to judge the similarity of matrix. These criteria are generally based on the calculation of the Eigen value and Eigen vecto

5、r, the diagonalization of matrix, the invertible transformation of matrix, the elementary transformation of matrix, and the partition of the matrix. Further, the examples follow and elucidate the counterpart criteria. At the end, the application of the similarity of matrix is given to deepen the und

6、erstanding.Keywords: Eigen value;Eigen vector;Similarity of matrix; Distinguish;Partitioned matrix不要删除行尾的分节符，此行不会被打印前 言在数学中,矩阵就是一个平面上的数阵,矩阵理论的起源可追溯到18世纪,在以后的发展中，又相应的产生了许多理论知识,例如初等矩阵,矩阵的秩,矩阵的特征值与特征向量等.其中，矩阵相似理论也是在矩阵的发展之后才进一步发展和应用的起来的.矩阵相似的好处很多,最大的好处是通过相似可以让任何一个矩阵变为若当标准型.相似矩阵间有很多相同的性质,比如秩,矩阵对应的行列式,迹（对

7、角线元素之和）,特征值,特征多项式,初等因子都相同.一个矩阵很重要的一点就是它的特征值,通过相似变换,可以转而研究一个结构简单得多的矩阵的特征值的性质.利用矩阵相似的一些性质，可以让我们在解决一些特殊和复杂的问题时更加的简便,而且矩阵相似在实际生活中同样有着巨大的作用.本文主要介绍了矩阵的各种性质和特点,什么是矩阵相似,以及矩阵相似的判断和矩阵相似的一些应用.在第一章中,我们主要介绍了矩阵以及由它延伸出来的相关理论知识,例如矩阵的相似及它的一些简单的性质;在第二章中,着重介绍和总结了矩阵相似的三种判别方法.借助矩阵的特征值与特征向量将矩阵对角化，进而来对矩阵进行相似的判别，是对相似矩阵性质的综

8、合运用，理论及方法都较为简单便于理解和掌握；初等变换法逻辑性强、理论系统；利用分块矩阵判别矩阵的相似，是对特型矩阵相似的一种判别法，较为简洁，但有局限性.第一章 基本概念1.1 矩阵 矩阵是现代数学中极其重要、应用非常广泛的一个重要内容.利用这一数学工具,可以把所研究的多数据、多数量关系的问题化成简明的易于理解和分析的形式.1.1.1 矩阵的概念 定义1.1 由排成的的数表们把它称行列阵,简阵,其称为阵的第第列素;如果阵的行和数相等,则我也把阵叫做方. 定义1.2 如果一矩的元全为,我们就之为矩,记,我们也可以简单的记为. 定义1.3 如果方阵中的元素能够满足条件,则我们就把方阵叫做对角阵.

9、定义1.4 如果一个矩阵除了主对角线上的元素,别的元素都是,且主对角线是的元素我们把它称之为级单位矩阵,记作,一般情况下简写为.1.1.2 矩阵的性质 定义1.5 设,那么矩阵,其中 (1-1)们将其称之与的乘,记为 注意,在乘法预算中方阵,要求前面方阵的行与后面方阵的列数位相同 定义1.6 由方阵中的元素保持其原来相对的位置不变而构成的行列式称为方阵的行列式,记作或. 定义1.7 对于数域上的阶方阵,如果满足,则我们称其为非退化的;反之我们称它为退化的. 义1.8 对于级方阵,如果有一个级方阵,使得 (1-2)成立,我们就称方阵是可逆的,这里的是级单位矩阵.我们就方是可的,这里的是级位矩.

10、义1.9 如果有级方阵适合（1-2）,那么我们就把方阵叫做方阵的逆矩阵,记作. 引理1.1 是阶方阵可逆的充要条件. 定义1.10 设是矩阵中元素的代数余子式,则矩阵就是矩阵的伴随矩阵.定理1.1 如果方阵是非退化的,那么它是可逆的;反之方阵可逆,则它也一定是非退化的有 (). (1-3) 定义1.11 矩阵的行秩是指以矩阵每一行的元素作为行向量而构成的行向量组的秩;矩阵的列秩是指以矩阵每一列的元素作为列向量而构成的列向量组的秩. 定理1.2 矩阵的行秩和列秩相等. 因为矩阵的行秩和列秩相等,所以我们将行秩和列秩统称为矩阵的秩,矩阵的秩记为. 1.2 矩阵相似 相似的矩阵有很多共同的性质,所以

11、只要从与相似的矩阵中找到一个特别简单的矩阵,只需通过对这个简单矩阵性质的研究就可以知道的性质.1.2.1 矩阵相似的概念 定义1.121 有,方阵在数域上,若是上有阶可逆方阵使等式：成立,那么就说与相似,并且写作 定义1.131 设是数域上的多项式,以为元素的矩阵称为矩阵. 记表示数域的矩阵的全体）. 定义1.14 方阵上的相似关系与数域上的阶方阵之间的关系是互推的,对任何,存在集合则我们可称矩阵形成的相似等价类.1.2.2 矩阵相似的性质性质1.1 反身性：由于所以每一个级方阵都是和自己相似的.即.性质1.2 对称性：如果,那么 ;如果 ,那么有,使令就有所以. 性质1.3 传递性：如果,那

12、么.事实上,由和得 （2-1）由等式可知,对于维向量空间上的两个线性变换的基它们相似.矩阵相似还有具有如下一些性质.（1）相似矩阵的行列式相等;（2）相似矩阵有相同的秩;（3）相似矩阵有相同的可逆性,且它们可逆时,它们的逆矩阵也相似;（4）相似矩阵的幂仍相似;（5）相似矩阵有相同的特征值.第二章 矩阵相似的判别研究矩阵相似的好处很多,最大的好处是通过相似变换可以让任何一个矩阵变为若当标准型.若当标准型是尽可能最简单的一种矩阵,这种矩阵在运算上有许多方便之处.另一种好处是矩阵相似有许多相同的属性,这样可以将对形式复杂矩阵的研究转化为对简单形式矩阵的研究.本章给出三种判别矩阵相似的方法.2.1 特

13、征值与特征向量法判定矩阵的特征值与特征向量作为一个极为重要的数学概念,它在数学中有着最为广泛的应用.应用特征值与特征向量将矩阵对角化,进而做矩阵相似的判断,是较为常用的、基本的判别矩阵相似的方法.2.1.1 特征值和特征向量定义及求法矩阵的特征值与特征向量是线性代数中的两个基本概念,是判定矩阵相似的工具之一. 定义2.11 我们假设为阶方阵,如果有复数及维非零列向量得 (1-1)或者 (1-2)那么把看作是的特征向量,而则是的特征向量. 求阶矩阵的特征值与特征向量有一般如下步骤： 第一步：我们应先求出矩阵的特征多项式; 第二步： 那么接下来我们应需要知道的所有根值并且便是矩阵的所有特征值; 假

14、如是特征方程的单根,则称为的单特征值;若是是特征方程的重根,那么的重特征值是,并且的重数是. 第三步：对的相异特征值中的每个特征值,再求得齐次线性方程组 (1-3)的一个基础解系,则有即为对应于特征值的特征空间的一个基,则有的属于的全部特征向量为其中是不全部为零的任意常数.2.1.2 特征值和特征向量的基本性质与矩阵相似的判定 性质2.1 设的全部特征值为,则存在着 在这里咱们可以利用性质1.3.1去简化特征值的问题的一些相关的运算. 性质2.2 如果是方阵的特征值,是相应的特征向量矩阵,然后任意正整数,有是的特征值的特征向量且特征值为. 性质2.3 假使是可逆矩阵的一个特征值,若为的一个特征

15、值,且为的一个特征值. 性质2.4 如果有是方阵的相互存在差别的特征值的特征向量,那么存在着线性无关的向量组.并且,如果的线性无关特征向量为,那么向量组为线性无关. 性质2.5 假使是方阵的重特征值,那么有不多过的个数的性无关的特征向量.下图为特征值与特征向量的一些结论特征值对应特征向量 定理2.16 设存在着两个阶的方阵与,它们有个互不相同的特征值,并且它们两个的特征值是完全一样的,那么则矩阵与矩阵相似. 证明 假使是的个互不相同的特征值,那么存在着可逆的 方阵,使得 又因为方阵的特征值也是,那么则会有可逆矩阵,使得 所以. 而,即存在可逆矩阵,使得,而矩阵与矩阵相似. 定理2.2 存在着阶

16、方阵,且它的每一个重特征值,能使得秩那么相似于对角矩阵,否则不相似. 例2.1 证明矩阵与相似. 解 的特征多项式为 所以的全部特征值为 的属于特征值的全部特征向量分别为若令,则有,而的特征值为所以的全部特征值为的属于特征值的特征向量为令,则有.显然记,有,所以与相似. 例题2.2 证明下方矩阵是否相似于对角矩阵.(1) (2) 解 （1）由于,所以的特征值是（重数), (重数).又由, 可知矩阵相似于对角矩阵. （2）因为,所以的特征值是（重数）,又由于,故不相似于对角阵. 2.2 用初等变换法判定 引理2.1 如果是数域P上的一个方阵,那么有数域上的可逆方阵,使得为上三角方阵. 引理2.2

17、 如果,是数域上的两个级方阵,那么与相似的充要条件是数域上会有两个可逆的方阵,能让 （1-1）并且与相似时有,使得是在时的左值. 定理2.312 假使,是数域上的两个级方阵,那么方阵与相似的充要条件是在数域上有可逆的矩阵,成立 （1-2）有方阵与相似时有,并且是在时的左值. 证明 充分性：当存在,可逆,我们把（1-2）式两端同时都在右边乘上有令那么可逆,且由引理2.2可知,与相似. 必要性：可在（1-1）式中让 那么可得（1-2）式.在与相似时,我们可以通过引理2.2得出,那么是在时的左值. 定理2.46 如果有两个阶矩阵,存在于数域上,则存在可逆的方阵在数域上,他们是矩阵与相似的充分必要条件

18、可以使得： （1-3）当方阵与相似时会有有,同时有是在时的左值. 证明 充分性：假使可逆,当我们把（1-3）式两端同时左乘上得到令 则可逆,并且有由定理2.3得与相似. 必要性: 可以在(1-2)式中让那么可得(1-3)式.在与相似时,通过引理2.2得,那么是在时的左值.例题2.3 设.判断与两个方阵是否相似,并且当相似时求可逆矩阵,使得. 解 所以,与相似.令则令则故所以2.3 分块矩阵相似判定 在上一节我们通过利用矩阵的特征值与特征向量定理研究了矩阵的相似,那么这一小节我们来了解矩阵中的分块矩阵是否相似,现有两个分块矩阵着和,在著名的Roth（罗斯）定理中表示和相似的一个充要条件是方阵方程

19、 (1-1)有解定理2.510 如果已知有,两个矩阵,并且有与,那么则是分块矩阵与相似的充分必要条件. 证明 必要性 已知分块矩阵,要是它中的和两个方阵都幂等的,那么它也必然为幂等的方阵.所以如果和相似,那么也是幂等方阵的,也就是把两边矩阵分别展开得到. 充分性 已知和这两个幂等方阵,因此它们可以分解为 (1-2)把它们代入（1-1）式中,得知 (1-3)我们让 (1-4)通过（1-4）式可知 (1-5) 那么和是方程有解的充要条件,我们通过（1-2）,（1-4）,则可明确的知道等价于和 所以这两个方程也等价于.由此可知,在条件下,方程（1-1）有解,所以两个分块方阵和相似,证明完毕. 例题2

20、.4 设存在两矩阵和,并且其中,求证. 证 因为,且矩阵所以又由于故第三章 矩阵相似的应用3.1 利用相似变换把方阵对角化 定义3.1 相对应阶方阵,假使存在可逆矩阵,让变为对角矩阵,那么我们就称矩阵可对角化，且可对角化为. 定理3.1 如果阶矩阵可对角化,那么它对角矩阵相似. 中存在着个线性无关的特征向量. 推论3.1 如果阶矩阵存在个不同的特征值,那么矩阵与对角矩阵相似. 例题3.1 利用相似变换将矩阵对角化. 解得 当时,齐次线性方程组的基础解系为当时,齐次线性方程组的基础解系为因为所以线性无关,即有个线性无关的特征向量,所以,利用线性变换,可将矩阵对角化为,即矩阵与矩阵相似.3.2 矩

21、阵相似性质的简单应用 应用矩阵相似的简单性质我们可以在方阵乘法的运算中可以简化运算的过程,大量的节省时间,极大的方便了我们. 例3.2 设 ,求证. 解（1）先算出方阵特征值与特征向量.由所以,的3个互异特征值为故可以对角化,对每个求得分别属于的特征向量为（2） 令, 有（3） 因为所以 3.3 矩阵相似在实际生活中的应用 矩阵相似有许多相同的属性,如秩矩阵,行列式,微量（对角）,特征值,特征多项式,主要因素是相同的.一个矩阵很重要的一点就是它的特征值.通过相似变换的性质特点,可以使复杂运算变成更加简单的求值计算. 例3.3 一实验生产线每年二月为熟练和非熟练工人的数量统计,然后把熟练工人支持

22、其他生产部门,招募新的非熟练工人完成的空缺.旧的和新的非熟练工人通过培训和时间,年终考核将有成为熟练的工人.假使过了年在二月份的一次统计中熟练工人与非熟练工人在总人数中为百分之与百分之,我们把它写为向量 （1）求和的关系式并写成方阵： （2）求证有这两个不相关的特征向量,然后在分别算出他们的特征值; 解 （1）根据上述已知有化简得对其用矩阵表示即为于是 （2） 令则由知,这两个特征向量线性无关.因所以这个特征向量属于矩阵.并且相应的为特征值.因 故为的特征向量,且相应的特征值结 论本文以矩阵及矩阵的性质和矩阵相似的一些相关的性质为主要理论依据,从矩阵和矩阵相似的相关性质与应用处着手,主要论述了

23、矩阵相似的几个判别方法,并在第三章中将矩阵相似的一些应用展示给了大家,通过将矩阵和矩阵相似的一些相关理论进行整理分析，找出了它们之间的转化关系.同时,在研究过程中,培养了应用数学的意识和能力.运用矩阵相似的性质和判别法,解决了几类较为基本的矩阵相似的应用问题.参考文献1 张禾瑞,郝鈵新,张禾瑞郝鈵新编.高等代数M.北京:高等代数出版社,2007:327-328.2 冯天祥,李世宏.矩阵的QR分解J.西南民族学院学报,20:4(2001),418-421.3 雷雪萍.高等代数中一道习题的推广J.大学数学,2006,22(4):161-163.4 屠伯埙,四元数矩阵的UL分解J.复旦学报（自然科学

24、版）,1988,(2),121-128.5 杨奇;孟道骥 编.线性代数教程M.南开大学出版社,216-225.6 吴强. 基于矩阵初等变换的矩阵分解法J.数学理论与应用,20:4(2000), 105-107.7 黄宝强 主编.线性代数M.同济大学出版社. 223-226.8 姚允龙编.数学分析M.上海：复旦大学出版社，2002：75-89.9 贺爱玲,马玉明,刘慧,陈业红关于矩阵相似的一个注记.山东轻工业学院学报J.2005 ,19(3):57-60.10 程士珍两个方块矩阵相似性的研究J.数学的实践和认识2005,35(3):191-194.11 王新民.矩阵环FA中元素的可逆性J.数学的

25、实践与认识,2002,38（23）;223-226.12 王新民.袁强.关于矩阵相似的条件及其相似变换矩阵.聊城大学学报J.2009,22(2):14-16.13 张天德,韩振来.数学分析同步辅导M.天津:天津科学技术出版社,2010:2629.14 Liujia.Similarity matrix and its application.China western science and technology J.2010,9(26):46-48.15 Jefferson. Linear AlgebraJ.USA:Create Space.2008,（124-205）.致 谢四年的大学生活即将结束,回头望去,百感交集.四年里,陪伴我的是敬爱的老师、亲爱的同学,所以,我要感谢母校黑河学院,您是养育我的土壤;我要感谢我的老师,是你们让我有了实现自我的能力和勇气;我要感谢我的同学们,是你们给了我家一样的感觉.另外,我要感谢我的指导老师由金玲老师,由于她的悉心指导,使我能够圆满地完成论文的撰写.在这段时间里,我深深的体会到由金玲老师的耐心与细致，以及她严谨的治学态度,这一切都将成为我今后生活、工作的榜样.再次由衷的感谢我的指导老师,您辛苦了！