第四讲--四点共圆问题.doc

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date第四讲-四点共圆问题第一讲 注意添加平行线证题第四讲 四点共圆问题“四点共圆”问题在数学竞赛中经常出现，这类问题一般有两种形式：一是以“四点共圆”作为证题的目的，二是以“四点共圆”作为解题的手段，为解决其他问题铺平道路.判定“四点共圆”的方法，用得最多的是统编教材几何二册所介绍的两种（即P89定理和P93例3），由这两种基本方法推导出来的其他判别方法也可相机采用.1“

2、四点共圆”作为证题目的例1给出锐角ABC，以AB为直径的圆与AB边的高CC及其延长线交于M，N.以AC为直径的圆与AC边的高BB及其延长线将于P，Q.求证：M，N，P，Q四点共圆.(第19届美国数学奥林匹克)分析：设PQ，MN交于K点，连接AP，AM. 欲证M，N，P，Q四点共圆，须证MKKNPKKQ，即证(MC-KC)(MC+KC)(PB-KB)(PB+KB) 或MC2-KC2=PB2-KB2 . 不难证明 AP=AM，从而有AB2+PB2=AC2+MC2.故 MC2-PB2=AB2-AC2 =(AK2-KB2)-(AK2-KC2) =KC2-KB2. 由即得，命题得证.例2A、B、C三点共

3、线，O点在直线外，O1，O2，O3分别为OAB，OBC，OCA的外心.求证：O，O1，O2，O3四点共圆.(第27届莫斯科数学奥林匹克)分析：作出图中各辅助线.易证O1O2垂直平分OB，O1O3垂直平分OA.观察OBC及其外接圆，立得OO2O1=OO2B=OCB.观察OCA及其外接圆，立得OO3O1=OO3A=OCA.由OO2O1=OO3O1O，O1，O2，O3共圆.利用对角互补，也可证明O，O1，O2，O3四点共圆，请同学自证.2以“四点共圆”作为解题手段这种情况不仅题目多，而且结论变幻莫测，可大体上归纳为如下几个方面.(1)证角相等例3在梯形ABCD中，ABDC，ABCD，K，M分别在AD

4、，BC上，DAMCBK.求证：DMACKB.（第二届袓冲之杯初中竞赛）分析：易知A，B，M，K四点共圆.连接KM，有DABCMK.DAB+ADC180，CMK+KDC180.故C，D，K，M四点共圆CMDDKC.但已证AMBBKA，DMACKB.(2)证线垂直例4O过ABC顶点A，C，且与AB，BC交于K，N(K与N不同).ABC 外接圆和BKN外接圆相交于B和M.求证：BMO=90.(第26届IMO第五题)分析：这道国际数学竞赛题，曾使许多选手望而却步.其实，只要把握已知条件和图形特点，借助“四点共圆”，问题是不难解决的. 连接OC，OK，MC，MK，延长BM到G.易得GMC=BAC=BNK

5、=BMK.而COK=2BAC=GMC+BMK=180-CMK， COK+CMK=180C，O，K，M四点共圆. 在这个圆中，由 OC=OK OC=OKOMC=OMK. 但GMC=BMK， 故BMO=90.(3)判断图形形状例5四边形ABCD内接于圆，BCD，ACD，ABD，ABC的内心依次记为IA，IB，IC，ID.试证：IAIBICID是矩形.(第一届数学奥林匹克国家集训选拔试题)分析：连接AIC，AID，BIC，BID和DIB.易得AICB=90+ADB=90+ACB=AIDBA，B，ID，IC四点共圆.同理，A，D，IB，IC四点共圆.此时AICID=180-ABID =180-ABC，

6、AICIB=180-ADIB=180-ADC，AICID+AICIB=360-(ABC+ADC)=360-180=270.故IBICID=90.同样可证IAIBICID其它三个内角皆为90.该四边形必为矩形.(4)计算例6正方形ABCD的中心为O，面积为19892.P为正方形内一点，且OPB=45，PA:PB=5:14.则PB=_(1989，全国初中联赛)分析：答案是PB=42.怎样得到的呢？连接OA，OB.易知O，P，A，B四点共圆，有APB=AOB=90. 故PA2+PB2=AB2=1989.由于PA:PB=5:14，可求PB.(5)其他例7设有边长为1的正方形，试在这个正方形的内接正三角

7、形中找出面积最大的和一个面积最小的，并求出这两个面积(须证明你的论断).(1978，全国高中联赛)分析：设EFG为正方形ABCD 的一个内接正三角形，由于正三角形的三个顶点至少必落在正方形的三条边上，所以不妨令F，G两点在正方形的一组对边上. 作正EFG的高EK，易知E，K，G，D四点共圆KDE=KGE=60.同理，KAE=60.故KAD也是一个正三角形，K必为一个定点. 又正三角形面积取决于它的边长，当KF丄AB时，边长为1，这时边长最小，而面积S=也最小.当KF通过B点时，边长为2，这时边长最大，面积S=2-3也最大.例8NS是O的直径，弦AB丄NS于M，P为ANB上异于N的任一点，PS交

8、AB于R，PM的延长线交O于Q.求证：RSMQ.(1991，江苏省初中竞赛)分析：连接NP，NQ，NR，NR的延长线交O于Q.连接MQ，SQ. 易证N，M，R，P四点共圆，从而，SNQ=MNR=MPR=SPQ=SNQ. 根据圆的轴对称性质可知Q与Q关于NS成轴对称MQ=MQ. 又易证M，S，Q，R四点共圆，且RS是这个圆的直径(RMS=90)，MQ是一条弦(MSQ90)，故RSMQ.但MQ=MQ，所以，RSMQ.练习题1.O1交O2 于A，B两点，射线O1A交O2 于C点，射线O2A交O1 于D点.求证：点A是BCD的内心.(提示：设法证明C，D，O1，B四点共圆，再证C，D，B，O2四点共圆

9、，从而知C，D，O1，B，O2五点共圆.)2.ABC为不等边三角形.A及其外角平分线分别交对边中垂线于A1，A2；同样得到B1，B2，C1，C2.求证：A1A2=B1B2=C1C2. (提示：设法证ABA1与ACA1互补造成A，B，A1，C四点共圆；再证A，A2，B，C四点共圆，从而知A1，A2都是ABC的外接圆上，并注意A1AA2=90.)3.设点M在正三角形三条高线上的射影分别是M1，M2，M3(互不重合).求证：M1M2M3也是正三角形.4.在RtABC中，AD为斜边BC上的高，P是AB上的点，过A点作PC的垂线交过B所作AB的垂线于Q点.求证：PD丄QD. (提示：证B，Q，E，P和B，D，E，P分别共圆)5.AD，BE，CF是锐角ABC的三条高.从A引EF的垂线l1，从B引FD的垂线l2，从C引DE的垂线l3.求证：l1，l2，l3三线共点.(提示：过B作AB的垂线交l1于K，证：A，B，K，C四点共圆)-