第七章--数列.doc

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date第七章-数列第七章-数列第七章 数 列 第一讲 等差数列基础知识1等差数列的定义：对于一个数列，如果从第二项起每一项与前一项的差都等于同一个常数（(常数)），那么这个数列叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差。2等差数列的通项公式：；3等差数列前项和公式：4等差数列的性质： （1）若，则； （2）若为等差数列（其中），则也为等差数列； （3）在等差数列中，以下数列

2、也是等差数列：，； ，；，； ， （4）（）；5判断和证明数列是等差数列的方法 （1）定义法：(常数) （2）通项公式法：数列是等差数列（为常数，）； （3）中项公式法：典型例题：题型一 五个基本量的有关计算例1（1）等差数列的前项和为，若，则等于（ ）A B C D（2）设为等差数列的前项和,则=（）ABCD2（3）【2015高考安徽文】已知数列中，（），则数列的前9项和等于 .练习1（1）等差数列中，首项公差，若，则A B C D（2）已知为等差数列的前项的和，则的值为（）A6 B C D （3）【2015高考北京理】设是等差数列. 下列结论中正确的是（ ）A若，则 B若，则C若，则 D若

3、，则（4）【2015高考新课标1文】已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则（ ） （A） （B） （C） （D）题型二 等差数列性质的应用例2.（1）若等差数列满足，则当_时，的前项和最大 （2）【2015高考陕西文】中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为_（3）在等差数列中，公差为，前项和为，当且仅当时取最大值，则的取值范围_.（4）等差数列的前项和为,已知,则的最小值为_.练习2.（1）设等差数列的前n项和为，若，则（）A12 B18 C24 D30（2）已知等差数列的前项和为，若，且，则等于（）A10B19C20D39（3）下面是关于公差的等差数列

4、的四个命题: 其中的真命题为（ ）(A) (B) (C) (D)（4）设等差数列的公差为d，若数列为递减数列，则（ ）A B C D（5）等差数列共有项,其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项为_题型三 等差数列的判定或证明例4（1）已知正数数列中，则_ （2）已知数列中，则_ （3）设实数a0，函数有最小值1.（I）求a的值；（II）设数列的前n项和，令，证明:数列是等差数列.练习4数列中，前项和，（I）证明数列是等差数列；（II）求关于的表达式；课后练习1等差数列-6，-1，4，9，中的第20项为（ ）A、89 B、 -101 C、101 D、-892在-9与3之间插入n个

5、数，使这n+2个数组成和为-21的等差数列，则n为A、 4 B 5 C、 6 D、不存在3.在等差数列中,若，则的值等于（ ）A.45 B.75 C.180 D.3004.若成等差数列，则x的值等于（ ） A.0 B. C. 32 D.0或32 5.在等差数列中，则的值为（ ）A.84 B.72 C.60 . D.486.在等差数列中，前15项的和 ，为（ ）A.6 B.3 C.12 D.4 7.等差数列中, ,则此数列前20项的和等于A.160 B.180 C.200 D.220第二讲 等比数列基础知识1定义：如果一个数列从第二项起每一项与它前一项的比值是同一个常数，这个数列就叫做等比数列。

6、即（,为常数，且）为等比数列或为常数，且成等比数列2通项公式：3前项和4性质：（1）与的等比中项（）（2）若则特别地，若则（3）等比数列的前项和为 ()，则，等比数列，公比为5判定方法：（1）定义法：（，是常数）是等比数列；（2）中项法：()且是等比数列.（3）通项公式法：为常数为等比数列；（4）前项和法：为常数为等比数列。典型例题：题型一 等比数列的基本计算例1. （1）求下列等比数列的首项，公比，通项 1，3，9，2187 （2）已知，且成等比数列，则的值等于( )A12 B6 C12或6 D9（3）已知等比数列的前三项依次为，则（ ）A B C D练习1.（1）已知数列满足,则的前10项

7、和等于(A) (B) (C) (D)（2）已知等比数列为递增数列,且,则数列的通项公式_.（3）【2015高考广东文】若三个正数，成等比数列，其中，则 （4）【2015高考新课标1文】数列中为的前n项和，若，则 .题型二 等比数列的性质例2（1）在等比数列，已知，求=_.（2）已知是等比数列，且，那么_.（3）在等比数列中，求该数列前七项之积是_.（4）在正项等比数列中,则满足的最大正整数 的值为_.（5）已知为等比数列前项和，则 .练习2.（1）若等比数列的各项均为正数，且，则 。（2）已知数列为等比数列,是它的前n项和，若,且与的等差中项为，则= ( )w_w*w.k_s_5 u.c*o*

8、m A35 B33 C31 D29（3）【2015高考浙江文】已知是等差数列，公差不为零若，成等比数列，且，则 ， （4）【2015高考天津文】已知是各项均为正数的等比数列,是等差数列,且,.（I）求和的通项公式;（II）设,求数列的前n项和.题型三：等比数列的判定与证明例3. （1）已知数列的首项，证明：数列是等比数列； 练习3.设二次方程有两个实根和，且满足（1）试用表示；（2）求证：是等比数列；（3）当时，求数列的通项公式课后练习1.已知等比数列中，且，则（ ）A. B. C. D. 2.已知等比数列的公比为正数，且=2，=1，则= ( )A. B. C. D.2 3. 在等比数列中,则

9、( ) A. B. C. D.4. 等比数列的前n项和为，已知，,则( )A.38 B.20 C.10 D.95.设等比数列的前n 项和为，若=3 ，则 = ( ) A.2 B. C. D.36. 已知是公差不为0的等差数列的前项和，且成等比数列，则等于( ) A. 4 B. 6 C.8 D.107.等比数列的公比，其前项的和为，则与的大小关系是( )A.B. C. D.不确定第三讲 递推数列求通项基础知识数列求通项的常用方法：1.公式法： 等差数列公式， 等比数列公式， 2.利用和的关系：3.累加法：已知关系式可利用累加法；4.累乘法：已知关系式，可利用累乘法.5.构造新数列（1）递推关系形

10、如“”，利用待定系数法求解（2）递推关系形如“，两边同除或待定系数法求解（3）递推关系形如“”，利用待定系数法求解（4）递推关系形如,两边同除以6.倒数法：递推关系形如， 等，可以用倒数法将其变形为我们熟悉的形式来求通项公式。7.对数法：形如（其中为常数）等，等式两边分别取对数，进行降次，再重新构造数列进行求解。典型例题：题型一 公式法求通项当题中已知数列是等差数列或等比数列，在求其通项公式时我们就可以直接利用等差或等比数列的公式来求通项，只需求得首项及公差公比。例1.在公差为的等差数列中,已知,且成等比数列.求; 练习1.等比数列的前项和为,已知,则_题型二 利用和的关系若已知数列的前项和的

11、表达式，求数列的通项可用公式 求解。例2（2015全国1理）为数列的前项和.已知，（）求的通项公式：（）设，求数列的前项和练习2.【2015高考四川理】设数列的前项和，且成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前n项和，求得成立的n的最小值.题型三 累加法：已知关系式可利用累加法；例3.（1）已知数列的首项为1，且写出数列的通项公式. （2）已知数列满足，求数列的通项公式。练习3.（1）已知数列中，求的通项公式.（2）【2015江苏高考理】数列满足，且（），则数列的前10项和为 题型四 累乘法一般地对于形如“已知，且（为可求积的数列）”的形式可通过累乘法求数列的通项公式。即：；例

12、4.在数列中，求的表达式。练习4.已知数列满足：，求求数列的通项公式；题型五 构造新数列1递推关系形如“”，利用待定系数法求解例5已知数列中，求通项练习5.已知数列中，求数列的通项公式.2.递推关系形如“，两边同除或待定系数法求解例6.，求数列的通项公式.练习6.设为常数，且求数列的通项公式.3递推关系形如“”，利用待定系数法求解把原递推公式转化为，其中满足例7.已知数列满足，且,且满足,求.练习7.数列中，若,且满足,求.3递推关系形如,两边同除以例8.在数列中，并且对任意都有成立，令求数列的通项公式 ；练习8.已知数列中，求数列的通项公式.题型六 倒数法递推关系形如， 等，可以用倒数法将其

13、变形为我们熟悉的形式来求通项公式.例9已知数列满足：，求的通项公式.练习9.已知，求.课后练习：1在等差数列中，已知则等于（ ）A40 B42 C43 D45 2数列的前项和为，若，则等于（ ）A1BCD3设是等差数列的前项和，若，则( )A8 B7 C6 D 54已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是( )A5 B4 C3 D 25一个等比数列前项的和为48，前2项的和为60，则前3项的和为（ ）A83 B108 C75 D636等比数列的各项为正数，且（ ） A12 B10 C8 D2+7已知成等比数列，且曲线的顶点是，则等于（ ）A3 B2 C1 D8已

14、知等比数列的前项和，则等于（ ） A B C D 第四讲 数列求和基础知识数列求和的常用方法:1.公式法求和：对于求等差（比）数列的前项和，可以直接利用公式求和。2.裂项相消求和：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和。3.错位相减求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可用错位相减法求和；4.倒序相加求和：如果一个数列，与首末两端等“距离”的两项的和相等，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求和5.分类重组求和：通过对求和的各项进行分类、重组，转化为我们熟悉的数列求和。典型例题：题型一 公式法求和例1

15、.（1）已知数列是首项为，公比为的等比数列，则= （2）已知等差数列满足：，公差，则 题型二 裂项相消求和例2.（1）数列的前项和等于10.则项数= . （2）数列的前5项和等于 .练习2.(1)等差数列的前n项和为，已知，为整数，且.（I）求的通项公式；（II）设，求数列的前n项和.题型三 错位相减求和例3.设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，（）求，的通项公式；（）求数列的前n项和练习3.设等差数列的前n项和为,且,.()求数列的通项公式;()设数列前n项和为,且 (为常数).令.求数列的前n项和.题型四：倒序相加求和例4.（1）= （2）已知，则 练习4.已知函数（1）证明：；（2）求的值.题型五 ：分类重组求和例5.已知数列的通项公式为，则数列的前项和= 练习5.（1）已知的通项公式为，则数列的前20项和= （2）数列的通项公式,前项和为,则_.课后练习：1、等差数列中，其前项和，则（ ）（A）9 （B）10 （C）11 （D）122、等差数列an的前n项和为Sn，若（ ）（A）12（B）18（C）24（D）423、等比数列的前n项和为，已知，成等差数列，则的公比为_。4、已知数列的通项，则其前项和 5、若数列的前项和，则此数列的通项公式为6.已知数列的前项和. （I）求数列的通项公式； （II）设，求数列的前项和.-