镇海中学2018届高三上学期期末考试数学试题含答案.docx

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1、 镇海中学 2017学年第一学期期末考试高三年级数学试卷考生须知：1本卷满分 150分，考试时间 120分钟；2答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。3所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4考试结束后，只需上交答题卷。参考公式：柱体的体积公式：V=Sh，其中 S表示柱体的底面积，h表示柱体的高.锥体的体积公式：V= Sh，其中 S表示锥体的底面积，h表示锥体的高.球的表面积公式：S=4 R ，其中 R表示球的半径.2球的体积公式：V= R ，其中 R表示球的半径.3第卷（选择题 共 40分）一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 4

2、0分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 若抛物线的准线方程为, 则抛物线的标准方程为（C. D.）A.B.【答案】D由题得抛物线的标准方程为.故选 D.2. 若双曲线的左、右焦点分别为，点 在双曲线 上，且，则等于（）A. 11B. 9C. 5D. 3【答案】B考点：双曲线3. 直线 a与平面 所成角的为 30，直线 b在平面 内，且与 b异面，若直线 a与直线 b所成o 的角为 ，则(A. 0 30【答案】C)B. 0 90C. 30 90D. 30 180设直线a在平面 的射影为直线c，在平面 内作直线dc，由三垂线定理可得直线da因为直线a与平面 所成的角为 30，所

3、以直线a与直线c所成的角为 30，等于平面 内的直线与直线a所成角的最小值直线b在平面 内，当b与直线d平行或重合时，可得ab，直线a与b所成的角为 90，达到最大值；当b与直线c平行或重合时，可得a、b所成的角为 30，达到最小值因此，直线a与b所成的角为 的取值范围为 30 90故选C4. 设 为向量，则“A. 充分不必要条件C. 充分必要条件【答案】C”是“ ”(B. 必要不充分条件)D. 既不充分也不必要条件先讨论充分性：由得所以“”是“ ”的充分条件.再讨论必要性：因为 ，所 以，所以“”是“ ”的必要条件.故选C.5. 设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，下列选项正确的是（）

4、A. 若，且，则B. 若，且 ，则，且C. 若，则， 则D. 若，且【答案】A对于选项A，可以证明，所以选项A正确;对于选项B，画图可知，直线m和n可能平行，也可能相交，也可能异面，所以选项B错误；对于选项C，可以举反例， 不垂直，满足已知条件，但是不垂直；对于选项 D，可能不平行，是相交的关系.故选 A.6. 椭圆 M:长轴上的两个顶点为 、 ，点 P为椭圆 M上除 、 外的一个动点，若且，则动点 Q在下列哪种曲线上运动(C. 双曲线 D. 抛物线)A. 圆B. 椭圆【答案】B设 P（m，n），Q（x，y）椭圆 M的方程为，作出椭圆如图所示，可得长轴的端点为A（a，0），B（a，0） =（x

5、+a，y）， =（m+a，n）=0，（x+a）（m+a）+ny=0，可得 m+a=同理根据=0，可得 ma=，可得 ma=2 2点 P（m，n）是椭圆上的动点，整理得 n= （am），2 2 2代入可得：ma= （am）2，化简得222此方程对应的图形是焦点在 y轴上的椭圆，可得动点 Q的轨迹是一个椭圆，B项是正确答案故选 B. 7. 如图，小于 的二面角中，且为钝角，是在 内的射影，则下列结论错误的是（）A.为钝角B.C.D.【答案】D如图,过点 B作垂足为 C,过点 A作,在直角三角形垂足为 D.在直角BCO中,中，因为是锐角二面角，所以同理,因为故选 D.：本题的关键是证明利用什么方法来

6、判断选项，由于选项判断的是角的大小关系，所以一般要构造直角三角形，再利用三角函数.8. 已知点 P在以为左右焦点的椭圆上，椭圆内一点 Q在 的延长线上，满足，若，则该椭圆离心率取值范围是（） A.B.C.D.【答案】A满足 QFQP，点 Q与点 F 重合时，sinF PQ= ，112不妨设|PF |=13，则|PF |=1221可得：e=因此 e当点 Q在最下端时，FQF 最大，此时 FQF Q1122可得点 Q在椭圆的内部，当 b=c，e= ，因此综上可得： 故选 C：本题的关键在于找到点 Q 的临界位置，从而找到它们对应的椭圆的离心率. 所以本题利用了数形结合的思想，它是一种重要的数学思想

7、，在解题过程中注意灵活运用.第卷（非选择题 共 110分）二、 填空题: 本大题共 7小题，多空题每题 6分，单空题每题 4分，共 36分9. 双曲线的焦距为_，渐近线方程为_(1). 6 (2).【答案】由题得所以焦距.故第二个空填”的逆否命题是_命题（填“真”或者“假”）；,故第一个空填 6.由题得渐近线方程为10. 命题“若实数 满足.，则否命题是_命题（填“真”或者“假”）【答案】 (1). 假 (2). 真，所以原命题是假命题，由于原命题和逆否命题的真假性是一致的，所以其逆否命题是假命题. 其否命题是“若实数 满足，则”，所以其否命题是真命题.故填(1). 假11. 已知(2). 真

8、.是边长为 1的正三角形，平面，且，则 与平面所成角的 正弦值为_若点 关于直线 的对称点为 ，则直线 与 所成角的余弦值是_【答案】(1).(2).如图，取 AC中点 O，连接 BO，PO，ABC是边长为 1的正三角形，PA平面 ABC,BOAC，BO平面 APC则 PB与平面 PAC所成角是BPO，可得 BO= ，PB=sinBPO= = 如图，建立空间直角坐标系，易得 AD与 PC的交点 H为 PC中点，A（0，0，0），B（ ， ，0），C（0，1，0），H（0， ， ）=（0， ， ）， =（ ， ，0）cos，故答案为： (1).(2).：本题的难点在第二问，直接研究比较困难，利用

9、空间向量来研究问题就简单了很多，所以要注意一点，如果利用几何法比较困难，可以尝试用空间向量来研究.12. 已知则点 M的轨迹 C的方程是_若点 为轨迹 C的焦点， 是直线直线 与轨迹 的一个交点，且 ，则 _【答案】 (1). (2).设 M（x，y），A（1， ），B（1， ），直线 AM，BM相交于点 M，且直线 AM的斜率与直线 BM的斜率的差，直 线 AM，BM相交于点 M，且直线 AM的斜率与直线 BM的斜率的差是 ，上的一点， 是 是 ，k k =AM BM，整理，得点 M的轨迹 C的方程是 x =4y（x1）2点 F为轨迹 C的焦点，F（0，1），P是直线 l：y=1上的一点，Q

10、是直线 PF与轨迹 C的一个交点，且 =3 ，作 QMy轴于 M点，作 PNy轴于 N点，则，MF= ，Q（， ），|QF|=故答案为：(1).(2).13. 过正四面体 ABCD的中心且与一组对棱 AB和 CD所在直线都成 60 角的直线有_条【答案】4由于正四面体的所有边长都相等，所有三角形的内角都是60，除了一组对棱 AB和 CD，剩下的四条棱与 AB和 CD所成的角都是 60，所以只要把这四条棱平移到正四面体的中心，所以有四条. 故填 4.14. 已知双曲线上一点 P到两渐近线的距离分别为，若，则双曲线的离心率为_【答案】 或双曲线的两条渐近线的方程为 bxay=0或 bx+ay=0，

11、 点 P（x ，y ）到两条渐近线的距离之积为0，0即，又点 P（x ，y ）满足双曲线的方程，b x a y =a b ，2222220000，即 2a +2b =5ab，b=2a 或 b= a，22则 e=故填 或 15. 四棱锥中，平面 ABCD，BC/AD，已知 Q 是四边形 ABCD内部一点，且二面角的平面角大小为 ，若动点 Q 的轨迹将 ABCD=_分成面积为【答案】的两部分，则以 A 为坐标原点建立空间直角坐标系，如图：设Q 的轨迹与 y 轴的交点坐标为 Q（0，b，0）（b0）由题意可知 A（0，0，0），D（2，0，0），P（0，0，1）， =（2，0，1）， =（2，b，0

12、）.=（2，0，0）设平面 APD 的法向量为 =（x ，y ，z ），平面 PDQ 的法向量为 =（x ，y ，z ）211122则即，令 y =0 得 =（0，1，0）， 令 z =2 得 =（1， ，2）21二面角 QPDA 的平面角大小为 ，cos=即解得 b= S =ADQSS =ADQ梯形 ABCDSS，S=1，S= S：S =（3 4）：422112故答案为（3 4）：4：本题的关键是找到点 Q的轨迹在四边形 ABCD内的部分，它就是一条线段 DQ，确定点 Q在 y轴上的位置,由于本题的背景比较适宜用坐标系和空间向量来解答.三、解答题：本大题共 5小题，共 74分解答应写出文字说

13、明、证明过程或演算步骤16. 已知从椭圆上一点 P向 x轴作垂线，垂足恰为左焦点 又点 A是椭圆与 x轴正半轴的交点，点 B是椭圆与 y轴正半轴的交点，且（）求椭圆 C的方程；，（）在椭圆 C中，求以点为中点的弦 MN所在的直线方程【答案】（）；（）得到.试题: (1)第一问,直接由,化简得到一个方程,再结合对应的方程,得到 a,b,c的值，即得到椭圆 C的方程. （2）先利用韦达定理得到斜率 k的方程，再根据点斜式写出直线的方程.试题：（）由题意知：，故，即，解得，又，解得故椭圆 C的方程为；（）因为点在椭圆内，且显然直线 MN的斜率存在，故设直线 MN的方程为， 代入椭圆方程得故，解得，故

14、直线 MN 的方程为17. （本小题满分 15分）如图，三棱柱中，侧棱平面，为等腰直角三角形，且，分别是的中点（）求证： 平面平面；（）求直线 与平面所成角【答案】（）见；（） .试题：（1）第一问，先证明，即可证明平面；证明和，即可证明平面. (2)第二问，先证明所成角即为直线 与平面所成角 再解，即可得到直线 与平面试题：（）连接，故点 G即为与的交点， 且 G 为又 GF 平面因为 是等腰直角三角形因为三棱柱 为直三棱柱，所以面的中点，又 F 为 的中点，故，平面故平面斜边 的中点，所以，面所以设面，则所以所以，所以又，平面（2）由（1）知在平面上的投影为 ，故 在平面上的投影落在 AF

15、 上所以即为直线 与平面所成角由题知：不妨设，所以，在中，即直线 与平面平面，所以所成角为 18. 如图，平行四边形，（）求证：平面；（）求二面角的余弦值的大小【答案】（）见；（） .试题：（1）第一问，证明，即可证明平面.(2)第二问，先作出二面角的余弦值的大小.的平面角，再解三角形，即可得到二面角试题：（）过点 A 作， 因为平行四边形平面平面CDE，故平面ABCD，故，平行四边形平面平面=CD，平面ABCD，故又平面CDE，又，（）过 作 交 于 ，过 作 交 于 ，连接由（）得 平面又 平面 ，平面又 垂直 ，且.，平面. 平面ADE， ，. 平面又，得角就是所求二面角的一个平面角.，

16、所求二面角的余弦值为 .，19. 抛物线， 为抛物线的焦点，。是抛物线上两点，线段 的中垂线交 轴于，（）证明： 是 的等差中项；（）若方程，为平行于 轴的直线，其被以AD 为直径的圆所截得的弦长为定值，求直线 的【答案】（）见；（）. 试题：（）设，由抛物线定义知又 中垂线交 轴于，故，因为故，所以，即， 是 的等差中项.（）因为，所以。设，故圆心， 设直线 的方程为，由于弦长为定值，故为定值，这里 R 为圆的半径，d 为圆心 到 的距离。故令，即时，为定值故这样的直线 的方程为：本题的难点在于求出弦长的平方，本题利用了分离参数求定值的方法.20. 如图，已知椭圆 ： 的左、右顶点分别为直线

17、 交于点 ，且 P 位于第一象限，.后，如何出它为定值的条件，是椭圆 上异于的两点， （）若直线 MN与 x轴垂直，求实数 t的值；（）记的面积分别是，求的最小值【答案】（）；（）时，.试题：（1）第一问，联立直线 AM和 BN的方程得到它们的交点 P的坐标，由题得，得到的值，得到 t的值. (2)第二问，先算出的表达式，再得到的式，再利用导数或二次函数求它的最小值.试题：()设，故直线 AM的方程为，直线 BN的方程为联立得：，解得：()直线 的方程为, 代入直线 AM可得，代入椭圆的方程并整理得：解得直线 的方程为，代入椭圆的方程并整理得：解得 所以当，即时，.：本题的难点在求出后怎么求这

18、个函数的最小值，可以变形后换元利用二次函数和复合函数的性质解答，要可以利用导数来解答.对于比较复杂的函数，要多注意观察函数的特征，再选择适当的方法求函数的最值.（）若直线 MN与 x轴垂直，求实数 t的值；（）记的面积分别是，求的最小值【答案】（）；（）时，.试题：（1）第一问，联立直线 AM和 BN的方程得到它们的交点 P的坐标，由题得，得到的值，得到 t的值. (2)第二问，先算出的表达式，再得到的式，再利用导数或二次函数求它的最小值.试题：()设，故直线 AM的方程为，直线 BN的方程为联立得：，解得：()直线 的方程为, 代入直线 AM可得，代入椭圆的方程并整理得：解得直线 的方程为，代入椭圆的方程并整理得：解得 所以当，即时，.：本题的难点在求出后怎么求这个函数的最小值，可以变形后换元利用二次函数和复合函数的性质解答，要可以利用导数来解答.对于比较复杂的函数，要多注意观察函数的特征，再选择适当的方法求函数的最值.