2020年中考数学一轮复习基醇点及题型专题09分式与分式方程.docx

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1、专题09 分式与分式方程专题总结【思维导图】 【知识要点】知识点一：分式的基础概念：一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式，A为分子，B为分母。【注意】判断式子是不是分式是从原始形式上去看，而不是从化简后的结果上去看。与分式有关的条件：要求表示分式有意义分母0B0分式无意义分母=0B=0分式值为0分子为0且分母不为0A=0,B0分式值为正或大于0分子分母同号 A0,B0 A0,B0,B0A0分式值为1分子分母值相等A=B分式值为-1分子分母值互为相反数A+B=01（2019湖北中考模拟）无论a取何值时，下列分式一定有意义的是（）Aa2+1a2Ba+1a2Ca2-

2、1a+1Da-1a2+1【答案】D【详解】当a=0时，a2=0，故A、B中分式无意义；当a=-1时，a+1=0，故C中分式无意义；无论a取何值时，a2+10，故选D2（2019江苏中考真题）若代数式x+1x-3有意义，则实数x的取值范围是（）Ax=-1Bx=3Cx-1Dx3【答案】D【详解】代数式x+1x-3有意义，x-30，x3故选：D3（2018沭阳县马厂实验学校中考模拟）在1x,12,x2+12,3xy,3x+y,a+1m中分式的个数有（）A2 个B3 个C4 个D5 个【答案】B【详解】解：12，x2+12，3xy中的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式；1x，3x+y,a+

3、1m中的分母中含有字母，因此是分式；故选：B考查题型一 分式值为0的判断方法1（2018安徽中考模拟）分式x2+2x-3x-1的值为0,则x的取值为( )Ax=-3Bx=3Cx=-3或x=1Dx=3或x=-1【答案】A【详解】原式的值为0，x2+2x-30x-10，（x-1）（x+3）=0，即x=1或x=-3；又|x|-10，即x1x=-3故选：A2（2018云南中考模拟）当式子x-5x2-4x-5的值为零时，x的值是（ ）A5B5C-5D5或1【答案】C【详解】由题意，得：|x|5=0，且x2-4x-50； 由|x|5=0，得：x=5；由x2-4x-50，得：x5，x1；综上得：x=5，故选

4、C.3（2019广西中考真题）若分式x2-1x+1的值为0，则x的值为（）A0B1C1D1【答案】B【详解】分式x2-1x+1的值为零，x2-1=0x+10，解得：x=1，故选B知识点二：分式的运算（重点）基本性质（基础）：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。字母表示：AB=ACBC，AB=ACBC，其中A、B、C是整式，C0。拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即AB=-A-B=-AB=-A-B注意：在应用分式的基本性质时，要注意C0这个限制条件和隐含条件B0。1（2019山东中考模拟）若x，y的值均扩大为原来的

5、3倍，则下列分式的值保持不变的是（）A2+xx-yB2yx2C2y33x2D2y2(x-y)2【答案】D【详解】根据分式的基本性质，可知若x，y的值均扩大为原来的3倍，A、2+3x3x-3y2+xx-y，错误；B、6y9x22yx2，错误；C、54y327x22y33x2，错误；D、18y29x-y22y2x-y2，正确；故选D2（2017山东中考模拟）若把分式x+3y2xy 的x、y同时扩大10倍，则分式的值（ ）A扩大为原来的10倍 B缩小为原来的 C不变 D缩小为原来的【答案】B【详解】分式x+3y2xy中的x，y的值同时扩大10倍，分子扩大10倍，分母扩大100倍，分式的值缩小为原来的

6、110故选B3（2017河北中考模拟）若分式2aba+b中的a、b的值同时扩大到原来的3倍，则分式的值（）A不变B是原来的3倍C是原来的6倍D是原来的9倍【答案】B【详解】根据分式的基本性质即可求出答案解：原式=23a3b3a+3b=6aba+b=32aba+b；故选B.n 分式的约分约分的定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去。最简公式的定义：分子与分母没有公因式的分式。分式约分步骤：1）提分子、分母公因式2）约去公因式3）观察结果，是否是最简分式或整式。注意：1.约分前后分式的值要相等.2.约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式.3.约分是对分子、分母的整体进行的，

7、也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式1（2016山东中考真题）下列分式中，最简分式是（ ）Ax2-1x2+1Bx+1x2-1Cx2-2xy+y2x2-xyDx2-362x+12【答案】A【详解】选项A为最简分式；选项B化简可得原式=；选项C化简可得原式=；选项D化简可得原式=，故答案选A.2（2018山东中考模拟）下列分式中，最简分式是 ( )Ax2+xyx2+2xy+y2B2x+8x2-16Cx2+1x2-1Dx2-9x2+6x+9【答案】C【详解】由题意可知：x2+xyx2+2xy+y2=x(x+y)(x+y)2=xx+y，不是最简分式；2x+8x2-16=2(x+4)(x+4)(

8、x-4)=2x-4，不是最简分式；x2+1x2-1是最简分式；x2-9x2+6x+9=(x+3)(x-3)(x+3)2=x-3x+3，不是最简分式.故选：C.3（2019山东中考真题）计算a2a-1-a-1的正确结果是( )A-1a-1B1a-1C-2a-1a-1D2a-1a-1【答案】B【详解】原式=a2a-1-a+1=a2a-1-a2-1a-1=1a-1.故选：Bn 分式的通分通分的定义：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。分式通分的关键：确定最简公

9、分母确定分式的最简公分母的方法1.因式分解2.系数：各分式分母系数的最小公倍数；3.字母：各分母的所有字母的最高次幂4.多项式：各分母所有多项式因式的最高次幂5.积约分与通分的相同点：1（2019广西中考模拟）关于分式的约分或通分，下列哪个说法正确（）Ax+1x2-1约分的结果是1xB分式与1x-1的最简公分母是x1C2xx2约分的结果是1D化简x2x2-1的结果是1【答案】D【详解】解：A、x+1x2-11x-1 ，故本选项错误；B、分式与1x-1的最简公分母是x21，故本选项错误；C、2xx2 ，故本选项错误；D、x2x2-11，故本选项正确；故选：D2（2014广西中考真题）下列三个分式

10、、的最简公分母是（ ）A4（mn）x B2（mn）x2C D4（mn）x2【答案】D【详解】分式、的分母分别是2x2、4（mn）、x，故最简公分母是4（mn）x2故选D3下列各题所求的最简公分母,错误的是 ( )A13x与26x2的最简公分母是6x2B13a2b与12ab2c的最简公分母是6a2b2cC13+x与1-3-x的最简公分母是x2-9D1m(x+y)与1n(x-y)的最简公分母是mn(x+y)(x-y)【答案】C【详解】A. 13x与26x2的最简公分母是6x2，故正确；B. 13a2b与12ab2c的最简公分母是6a2b2c，故正确；C. 13+x与1-3-x的最简公分母是3+x，

11、故错误；D. 1m(x+y)与1n(x-y)的最简公分母是mn(x+y)(x-y) ，故正确；故选C.4（2017江苏宜陵镇中学初二月考）把分式，1x2-y2进行通分，它们的最简公分母是（ ）Ax-yBx+yCD(x+y)(x-y)(x2-y2)【答案】C【详解】分式xx-y，yx-y，1x2-y2的分母分别是（x-y）、（xy）、（x+y）（x-y）则最简公分母是（x+y）（x-y）=x2-y2故选C考查题型二 分式的变形求值的方法1（2019四川省成都市簇锦中学中考模拟）已知ab=23，则aa+b的值是_【答案】25 【详解】ab=23，设a=2k，则b=3k，aa+b=2k2k+3k=2

12、5.故答案为：25.2（2019上海中考模拟）如果xx-y=53，那么xy=_【答案】52； 【详解】xx-y533x5x5y2x5yxy52.3（2012广西中考模拟）已知，则的值为 。【答案】97【详解】由已知得x=27y，x+yy=27y+yy=97.n 分式的四则运算与分式的乘方1）分式的乘除法法则：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为：abcd=acbd分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。式子表示为abcd=abdc=adbc1（2018山东中考模拟）计算 的结果为（ ）ABCD【答案】A【详解】=b，故选A.2（2018山东中考模拟）化简的

13、结果是( )ABCD2(x1)【答案】A【详解】原式=（x1）=故选A3（2019江西中考真题）计算1a(-1a2)的结果为（ ）AaB-aC-1a3D1a3【答案】B【详解】解：1a(-1a2)=1a(-a2)=-a，故选：B4（2019天津中考模拟）计算的结果为( )ABCD【答案】A【详解】=故选A.5（2019山东中考模拟）化简：的结果是（ ）ABCD【答案】A【详解】试题分析：原式=.故选A.6（2019河北中考模拟）化简的结果是，则a的值是（）A1B1C2D2【答案】A【详解】，a1，故选：A2）分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子abn=anbn注意：1.分式乘方要把分子、分母

14、分别乘方。2.分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负。1（2019内蒙古中考模拟）计算： _； _【答案】 ； =-1.故答案为： ； .2（2018上海中考模拟）计算：（1）（）2=_；（2） =_【答案】 【详解】（1）（）2=；故答案为：；（2） =故答案为：3（2018湖北中考模拟）计算： =_【答案】【详解】试题解析： = 故答案为：.3）分式的加减法则：同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为acbc=abc异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为abcd=adbcbd1（2019天津中考模拟）化简的结果是(

15、)ABCD【答案】A【详解】-=+=.故选A.2（2013福建中考真题）计算的结果是A1B1C0Da5【答案】A【详解】试题分析：根据同分母分式的减法法则计算即可得到结果：。故选A。4）整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。1（2019天津中考模拟）化简的结果是（ ）ABCD【答案】D【详解】解：原式=故选：D2（2019天津中考模拟）计算的结果为（ ）ABCD【答案】B【详解】解：原式=故选：B3（2019广东中考模拟）计算：|2|+()A1B1C2D23【答案】B【详解】原式22+11故选：B5)分式混合运算的运算运算顺序：1.先

16、把除法统一成乘法运算；2.分子、分母中能分解因式的多项式分解因式；3.确定分式的符号，然后约分；4.结果应是最简分式.1（2019北京中考模拟）已知，则A( )ABCDx21【答案】B【详解】解：A=故选：B.2（2019四川中考真题）化简的结果是( )Aa-bBa+bCD【答案】B【详解】故选B3（2019河北中考模拟）若分式x2x-1xx-1运算结果为x，则在“”中添加的运算符号为( )A+BC或D+或【答案】C【详解】当为“”时，x2x-1-xx-1=x(x-1)x-1=x；当为“+”时，x2x-1+xx-1=x2+1x-1；当为“”时，x2x-1xx-1=x3(x-1)2；当为“”时，

17、x2x-1xx-1=x；所以结果为x的有或.故选：C.n 整数指数幂 aman=am+n amn=amn abn=anbn aman=am-n（a0） abn=anbn a-n=1an（a0） a0=1（a0）（任何不等于零的数的零次幂都等于1）其中m，n均为整数。1（2018山东中考模拟）下列计算正确的是（）Aa2a3a6B（2a）36a3CD（3.14）00【答案】C【详解】A、a2a3=a5，此选项错误；B、（-2a）3=-8a3，此选项错误；C、4a36a2a，此选项正确；D、（3.14-）0=1，此选项错误；故选C2（2019广西中考模拟）把实数用小数表示为（）A0.0612B612

18、0C0.00612D612000【答案】C【详解】6.121030.00612，故选：C3（2017天津中考模拟）下列计算正确的是（ ）A221=-1BC(2x2)3=6x6D【答案】D【详解】根据同底数幂相除，底数不变，指数相减，可知221=21-（-1）=22=4，故不正确；根据单项式除以单项式，可知=，故不正确；根据积的乘方，可知(2x2)3=-x6，故不正确；根据合并同类项法则和负整指数幂的性质，可知=7x-2=，故正确.故选：D4（2016山东中考模拟）若2x3,4y5，则2x2y的值为()AB2CD【答案】A【分析】根据aman=am-n,即可解题.【详解】解：=2x22y=35=

19、故选A.n 科学记数法有了负整数指数幂后，小于1的正数也可以用科学记数法表示。即小于1的正数可以用科学记数法表示为a10-n的形式.(1a10，n是正整数)注意：1）1a102）n是正整数，n等于原数中左边第一个不为0的数字前面所有的0的个数。(包括小数点前面的0）1（2019山东中考模拟）生物学家发现了某种花粉的直径约为0.0000036毫米，数据0.0000036用科学记数法表示正确的是（ ）A3.6105B0.36105C3.6106D0.36106【答案】C【详解】0.0000036的小数点向右移动6位得到3.6，所以0.0000036=3.6106，故选C2（2019湖南中考模拟）据

20、经济日报2018年5月21日报道：目前，世界集成电路生产技术水平最高已达到7nm（1nm=109m），主流生产线的技术水平为1428nm，中国大陆集成电路生产技术水平最高为28nm将28nm用科学记数法可表示为（）A28109m B2.8108m C28109m D2.8108m【答案】B【详解】28nm =28109m = 2.8108m ，所以28nm用科学记数法可表示为：2.8108m，故选B3（2019河南中考模拟）全球芯片制造已经进入10纳米到7纳米器件的量产时代中国自主研发的第一台7纳米刻蚀机，是芯片制造和微观加工最核心的设备之一，7纳米就是0.000000007米数据0.0000

21、00007用科学记数法表示为（）A0.7108B7108C7109D71010【答案】C【详解】因为科学记数法的标准形式为a(1|a|10且n为整数),因此0.000000007用科学记数法法可表示为7，故选C.考查题型三 分式的化简求值1（2019湖北中考真题）已知二元一次方程组，则的值是（ ）AB5CD6【答案】C【详解】，得，解得，把代入得，解得，故选C.2（2019北京中考模拟）如果，那么代数式的值为（ ）ABCD【答案】D【详解】原式=（x-y）=，x-3y=0，x=3y，原式=故选：D3（2019天津二十中中考模拟）已知，则的值是ABC2D2【答案】D【详解】解：，-=，=，=-2

22、故选D4（2019北京中考模拟）如果a+b，那么的值是（）ABC2D4【答案】A【详解】a+b，原式，故选A5（2018北京中考模拟）如果，那么代数式的值是（ ）ABC2D3【答案】C【详解】原式 原式=2.故选C.知识点三 分式方程解分式方程的基本1）去分母(两边同乘最简公分母，约去分母，化成整式方程)。2）解整式方程(去括号-移项/合并同类项-系数化为1)。3）检验(把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母为0 ，则x=a不是分式方程的解 若最简公分母不为0，则x=a是分式方程的解 4）写出答案1（2019山东中考真题）解分式方程时，去分母变形正确的是（）ABCD【答案】D【详解】去分母

23、得：，故选：D2（2018辽宁中考模拟）方程的解为( )Ax3Bx4Cx5Dx5【答案】C【详解】方程两边同乘（x-1）(x+3)，得x+3-2(x-1)=0，解得：x=5，检验：当x=5时，（x-1）(x+3)0，所以x=5是原方程的解，故选C.3（2019山东中考模拟）解分式方程时，去分母后变形为ABCD【答案】D【详解】方程，两边都乘以x-1去分母后得：2-（x+2）=3（x-1），故选：D.增根的概念：在分式方程化为整式方程的过程时，若整式方程的根使最简公分母为0（即根使整式方程成立，但分式方程中分母为0 ），那么这个根叫做原分式方程的增根。考查题型四 根据分式方程的解确定字母参数的方

24、法1（2018山东中考模拟）若关于x的分式方程=2的解为非负数，则m的取值范围是（）Am1Bm1Cm1且m1Dm1且m1【答案】D【详解】试题分析：去分母可得：m-1=2(x-1)，解得：x=，根据解为非负数可得：且x1，即0且x1，解得：m-1且m1.2（2019云南中考模拟）已知关于x的分式方程+=1的解是非负数，则m的取值范围是（ ）Am2Bm2Cm2且m3Dm2且m3【答案】C【详解】分式方程去分母得：m-3=x-1，解得：x=m-2，由方程的解为非负数，得到m-20，且m-21，解得：m2且m3故选C.3（2018黑龙江中考模拟）已知关于x的分式方程的解是非正数，则a的取值范围是（

25、）Aa1Ba1且a2Ca1且a2Da1【答案】B【详解】分式方程去分母得：a+2=x+1，解得：x=a+1，分式方程的解为非正数，a+10，解得：a1。又当x=1时，分式方程无意义，把x=1代入x=a+1得。要使分式方程有意义，必须a2。a的取值范围是a1且a2。故选B。考查题型五 根据分式方程的增根确定字母参数的方法1（2017全国初二课时练习）若关于x的方程有增根，则k的值为( )A3B1C0D1【答案】A【详解】首先根据解分式方程的方法求出x的值，然后根据增根为x=1代入方程求出k的值.将方程的两边同时乘以(x-1)可得：3=x-1+k，解得：x=4-k，根据方程有增根可得：x=1，即4

26、-k=1，k=3.2（2018四川中考真题）若分式方程有增根，则实数a的取值是（）A0或2B4C8D4或8【答案】D【详解】解：方程两边同乘x（x2），得3xa+x=2（x2），由题意得，分式方程的增根为0或2，当x=0时，a=4，解得，a=4，当x=2时，6a+2=0，解得，a=8，故选：D3（2018四川中考真题）若x=4是分式方程的根，则a的值为A6B6C4D4【答案】A【详解】由题意得：=，解得：a=6，故选A.分式方程解决实际问题的步骤：1. 根据题意找等量关系2. 设未知数3. 列出方程4. 解方程，并验根（对解分式方程尤为重要）5. 写答案考查题型六 列分式方程解决实际问题1（2

27、019河北中考模拟）甲、乙两人分别从距目的地6千米和10千米的两地同时出发，甲、乙的速度比是3：4，结果甲比乙提前20分钟到达目的地，求甲、乙的速度若设甲的速度为3x千米/时，乙的速度为4x千米/时则所列方程是( )A+20=B+20C+D+【答案】C【详解】甲的速度为千米/时，乙的速度为千米/时，依题意可得.故选C.2（2019新疆中考模拟）A、B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程（ ）A ；B ；C+4=9；D；【答案】A【详解】顺流所用的时间为：逆流所用的时间为

28、：所列方程为：故选A考查题型七 列分式方程解决行程问题1（2019新疆中考模拟）某市为解决部分市民冬季集中取暖问题，需铺设一条长4000米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时“”，设实际每天铺设管道x米，则可得方程20，根据此情景，题中用“”表示的缺失的条件应补为（）A每天比原计划多铺设10米，结果延期20天完成B每天比原计划少铺设10米，结果延期20天完成C每天比原计划多铺设10米，结果提前20天完成D每天比原计划少铺设10米，结果提前20天完成【答案】C【详解】解：利用工作时间列出方程： ，缺失的条件为：每天比原计划多铺设10米，结果提前20天完成故选：C2（2018辽宁中考模拟

29、）施工队要铺设一段全长2000米的管道，因在中考期间需停工两天，实际每天施工需比原来计划多50米，才能按时完成任务，求原计划每天施工多少米设原计划每天施工x米，则根据题意所列方程正确的是（）ABCD【答案】B【详解】设原计划每天施工x米，则实际每天施工（x+50）米，根据题意，可列方程：=2，故选：B考查题型八 列分式方程解决工程问题1（2016山东中考模拟）小明上月在某文具店正好用 20 元钱买了几本笔记本，本月再去买时，恰遇此文具店搞优惠酬宾活动，同样的笔记本，每本比上月便宜 1 元，结果小明只比上次多用了 4 元钱， 却比上次多买了 2 本若设他上月买了 x 本笔记本，则根据题意可列方程

30、（ ）A - =1B - =1C - =1D - =1【答案】B【详解】设他上月买了x本笔记本，则这次买了（x+2）本，根据题意得：，即：故选B2.（2019尉氏县十八里镇实验中学中考模拟）“五一”期间，某中学数学兴趣小组的同学们租一辆小型巴士前去某地进行社会实践活动，租车租价为180元出发时又增加了两位同学，结果每位同学比原来少分摊了3元车费若小组原有x人，则所列方程为（）ABCD【答案】B【详解】设小组原有x人,可得：故选：B.考查题型九 分式方程与不等式结合解决实际问题1（2017广西中考模拟）学校计划选购甲、乙两种图书作为“校园读书节”的奖品已知甲图书的单价是乙图书单价的1.5倍；用6

31、00元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本（1）甲、乙两种图书的单价分别为多少元？（2）若学校计划购买这两种图书共40本，且投入的经费不超过1050元，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？【答案】（1）、甲种图书的单价为30元，乙种图书的单价为20元；（2）、6种方案.【详解】（1）用总费用除以单价即为数量，设乙种图书的单价为x元，则甲种图书的单价为1.5x元，根据两种图书数量之间的关系列方程；（2）设购进甲种图书a本，则购进乙种图书（40a）本，根据“投入的经费不超过1050元，甲种图书数量不少于乙种图书的数量”列出不等式组解决问题试题解析：（1）设乙种图

32、书的单价为x元，则甲种图书的单价为1.5x元，由题意得：，解得：x=20，则1.5x=30，经检验得出：x=20是原方程的根答：甲种图书的单价为30元，乙种图书的单价为20元（2）设购进甲种图书a本，则购进乙种图书（40a）本，根据题意得：，解得：20a25，所以a=20、21、22、23、24、25，则40a=20、19、18、17、16、15，共有6种方案2.（2019辽宁中考真题）某超市用1200元购进一批甲玩具，用800元购进一批乙玩具，所购甲玩具件数是乙玩具件数的，已知甲玩具的进货单价比乙玩具的进货单价多1元（1）求：甲、乙玩具的进货单价各是多少元？（2）玩具售完后，超市决定再次购进甲、乙玩具（甲、乙玩具的进货单价不变），购进乙玩具的件数比甲玩具件数的2倍多60件，求：该超市用不超过2100元最多可以采购甲玩具多少件？【答案】（1）甲6元，乙5元；（2）112件【详解】解：（1）设甲种玩具的进货单价为x元，则乙种玩具的进价为元，根据题意得：，解得：，经检验，是原方程的解，答：甲种玩具的进货单价6元，则乙种玩具的进价为5元（2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具件，根据题意得：，解得：，y为整数，答：该超市用不超过2100元最多可以采购甲玩具112件