大学高等数学下考试题库(附答案).docx

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1、 高等数学试卷 1（下）一.选择题（3 分 10）( )2,3,1( )M 2,7,4M M =的距离 （1.点 M到点）.1212A.3B.4C.5D.6r r rr rvv2.向量a= -i + 2 j + k,b = 2i + j，则有（）.rrr p,b =3r prrrra,b =D.A. a bB. a bC. a41= 2 - x - y +3.函数 y22的定义域是（）.x2+ y -12 ()( ), y 1 x + y 2x, y1 x + y 2A. x22B.22 ( )( ), y 1 x + y 2x, y 1 x + y 2C. x22D22rr4.两个向量a 与

2、b 垂直的充要条件是（）.rr rra b = 0r rra - b = 0r rrrb = 0a + b = 0A. aB.C.D.= x + y - 3xy5.函数 z33的极小值是（）.- 2-1A.2B.C.1D.zy= xsin y6.设 z，则（）.p1,422-2- 2D.A.B.C.2217.若 p 级数收敛，则（）.npn=1 1p 1A. pB.C.D.D.xn8.幂级数的收敛域为（）.nn=1 ( ) )-1,1C.( -1,1-1,1-1,1A.B x n9.幂级数 在收敛域内的和函数是（）.2 n=0 1221A.B.C.D.1- x2 - x1- x2 - x -

3、ln = 010.微分方程 xy y y的通解为（）.= ce y = ey = cxey = ecxA. yB.C.D.xxx二.填空题（4 分 5）( )( )0,0,3ABB 2,-1,1，其中点 ，则此平面方程为_.1.一平面过点 A且垂直于直线( )= sin xy2.函数 z的全微分是_.2zz = x3 y2 - 3xy3 - xy +1，则=_.3.设xy14.的麦克劳林级数是_.2 + x + 4 + 4 = 05.微分方程 yyy的通解为_.三.计算题（5 分 6）z z= e sin v ，而u = xy,v = x + y, .1.设 zu，求x y( )z z, .x

4、 y= z x, yx - 2y + z - 4x + 2z - 5 = 0确定，求2.已知隐函数 z由方程222sin x + y dD :p x + y 4p2 .3.计算 2 s ，其中2222D4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. - 3 = 0条件下的特解.5.求微分方程 yy e2 在 yxx=0 四.应用题（10 分 2）1.要用铁板做一个体积为 2 3的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？m1( ) = f x1, 2.曲线 y上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的 2 倍，且曲线过点，3 求此曲线方程.试

5、卷 1 参考答案一.选择题 CBCAD ACCBD二.填空题1.2.3.2x - y - 2z + 6 = 0.cos(xy)(ydx + xdy).6x y - 9y -122.( )-1n4.x .n2n+1n=0()-2x= C + C x e5. y.12三.计算题z ( ) ( ) z ( ) ( )= e ysin x + y + cos x + yxy= e xsin x + y + cos x + yxy .1.2.，xyz 2 - x z2y=, =.x z +1 y z +1 2pj2p sin r r r = 6-p 2.3. dd0p164. R3 .3= e - e2

6、 .5. y3xx四.应用题2m1.长、宽、高均为3时，用料最省.1= x .2. y23 高数试卷 2（下）一.选择题（3 分 10）( ) ( )4,3,1 M 7,1, 2M M =（1.点 M，的距离）.121212131415D.A.B.C.- 2y + 2z +1 = 0 - x + y + 5 = 0和2.设两平面方程分别为 x，则两平面的夹角为（）.ppppA.B.C.D.6432( )= arcsin x + y3.函数 z的定义域为（）.22( )( )x, y 0 x + y 1, y 0 x + y 1A. x22B.22pp( )( ), y 0 x + y x, y

7、 0 x + y C. x22D. 22224.点 P(-1,-2 ,1)到平面的距离为（）.x + 2y - 2z - 5 = 0A.3B.4C.5D.6= 2xy - 3x - 2y5.函数 z22 的极大值为（）.1D.-1A.0B.1C.2zx= x + 3xy + y=（6.设 z22 ，则）.( )1, 2A.6B.7C.8D.97.若几何级数 ar 是收敛的，则（）.nn=01r 1 0（ a ）所围的几何体的体积.4.如图，求球面 x2222 与圆柱面22 + 3 + 2 = 0的通解.5.求微分方程 yyy四.应用题（10 分 2）1.试用二重积分计算由 y= x, y =

8、2 x x = 4和所围图形的面积.( )d 2 x= x t .= -g t = 0.当2.如图，以初速度v 将质点铅直上抛，不计阻力，求质点的运动规律 x（提示：0dt2 dxdt= x= v0）时，有 x，0试卷 2 参考答案一.选择题 CBABA CCDBA.二.填空题x - 2 y - 2 z +1=1.112(2. e ydxxy+ xdy).3.8x - 8y - z = 4.( ) -1 x4.2n.nn=05. y= x3.三.计算题rrr8i - 3 j + 2k1.()z() z()= 3x sin ycos y cos y - sin y , = -2x sin yco

9、s y sin y + cos y + x sin y + cos y2.23333.xyzx- yz z- xz=, =3.xy z+yxy z+22322 p - .4.a332 3= C e + C e5. y-2x.-x12 四.应用题161.312= -gt+ v t + x .2. x200高等数学试卷 3（下）一、选择题（本题共 10 小题，每题 3 分，共 30 分）1、二阶行列式 2 -3 的值为（ ）45A、10B、20C、24D、222、设 a=i+2j-k,b=2j+3k，则 a 与 b 的向量积为（A、i-j+2k B、8i-j+2k C、8i-3j+2k D、8i-

10、3i+k3、点 P（-1、-2、1）到平面 x+2y-2z-5=0 的距离为（A、2 B、3 C、4 D、54、函数 z=xsiny 在点（1， ）处的两个偏导数分别为（）p）422222222, -,A、B、C、D、D、22222222z z,5、设 x +y +z =2Rx，则分别为（）222x yx - R y,-x - R y,-x - R yx - R y-C、,A、B、zzzzzzzz= x + y）（面积 A=p 2）R6、设圆心在原点，半径为 R，面密度为m2 的薄板的质量为（21A、R AB、2R AC、3R AD、 R2A2222xn (-1)7、级数A、2的收敛半径为（）

11、nnn=11B、2C、1D、38、cosx 的麦克劳林级数为（） x2nx2nx2nx2n-1(-1)(-1)(-1)(-1)A、B、C、D、nnnn(2n)!(2n)!(2n)!(2n -1)!n=0n=1n=0n=09、微分方程(y) +(y) +y+2=0 的阶数是（）45A、一阶B、二阶C、三阶D、四阶10、微分方程 y+3y+2y=0 的特征根为（ ）A、-2，-1 B、2，1 C、-2，1 D、1，-2二、填空题（本题共 5 小题，每题 4 分，共 20 分）x -1 y + 3= z的夹角为_。1、直线 L ：x=y=z 与直线 L ：122-1x -1 y + 2 z= 与平面

12、3x + 2y - 6z = 0之间的夹角为_。直线 L ：32-122、（0.98） 的近似值为_,sin10 的近似值为_。2.030, D : x + y 1的值为3、二重积分 ds_。22Dxn ! 的收敛半径为的收敛半径为_。4、幂级数 n x_，nn!n=0n=05、微分方程 y=xy 的一般解为_，微分方程 xy+y=y 的解为_。2三、计算题（本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）1、用行列式解方程组 -3x+2y-8z=172x-5y+3z=3x+7y-5z=22、求曲线 x=t,y=t ,z=t 在点（1，1，1）处的切线及法平面方程.23 s， 其中 由直线 1

13、,= x =2及y = x围成.3、计算 xydDyD1 (-1) sin 收敛吗？若收敛， 则是条件收敛还是绝对 收敛？4、问级数nnn=13x5、将函数 f(x)=e 展成麦克劳林级数6、用特征根法求 y+3y+2y=0 的一般解四、应用题（本题共 2 小题，每题 10 分，共 20 分） 1、求表面积为 a 而体积最大的长方体体积。22、放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其它元素，铀的含量就不断减小，这种现象叫做衰变。由原子物理学知道，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M 成正比，（已知比例系数为 k）已知 t=0 时，铀的含量为 M ，求在衰变过程中铀含量 M（t）随时间

14、 t 变化的规律。0参考答案一、选择题1、D2、C3、C4、A5、B6、D7、C8、A9、B10,A二、填空题281、2、0.96，0.173654、0，+arcos, arcsin21183、21x5、 y= ce ,cx = 1-2y三、计算题1、-3 2 -8解： = 2 -5 3 = （-3） -5 3 -2 2 3 +（-8）2 -5 =-1381 7 -5 7 -5 1 -5 17 2 -8x= 3 -5 3 =17 -5 3 -2 3 3 +（-8） 3 -5 =-1382 7 -57 -52 -527同理：-3 17 -8y=2 3 3 =276 , z= 4141 2 -5D

15、xDyDz= 1, y = -2, z = -3所以，方程组的解为 xDDD2、解：因为 x=t,y=t ,z=t ,32所以 x =1,y =2t,z =3t，2ttt所以 x| =1, y| =2, z| =3t=1tt=1tt t=1x -1 y -1 z -1=故切线方程为：123法平面方程为：（x-1）+2(y-1)+3(z-1)=0即 x+2y+3z=63、解：因为 D由直线 y=1,x=2,y=x围成，所以D：1y2yx2 2y31=22xydxdy = (2y - )dy = 1故： xyds281y1D4、解：这是交错级数，因为11Vn = sin 0， 所以，Vn 1 ,

16、lim sin+ Vn 且=0， 所以该级数为莱布尼兹型级数， 故收敛。nn11 1sin，发散 从而sin 发散。 1n又sin 当x趋于0时，sin x x， 所以，lim= 1， 又级数nn51nn=1nn=1n=1n所以， 原级数条件收敛。 11+ x3!1e = 1+ x + x+ + x + w23n2!n!、解：因为x (-,+)用 2x 代 x，得：1112x = 1+ (2x) + (2x)2!2+ (2x)3+ + (2x) + ne3!n!22223n= 1+ 2x + x + x + + x + 23n2!3!n!x (-,+)6、解：特征方程为 r +4r+4=02所

17、以，（r+2）2=0得重根 r =r =-2，其对应的两个线性无关解为 y =e-2x,y =xe-2x1212所以，方程的一般解为 y=(c +c x)e-2x12四、应用题1、解：设长方体的三棱长分别为 x，y，z则 2（xy+yz+zx）=a2构造辅助函数(2xy + 2yz + 2zx - a2)F（x,y,z）=xyz+l求其对 x,y,z 的偏导，并使之为 0，得：lyz+2 (y+z)=0lxz+2 (x+z)=0lxy+2 (x+y)=0与 2(xy+yz+zx)-a2=0 联立，由于 x,y,z 均不等于零可得 x=y=z6a代入 2(xy+yz+zx)-a2=0 得 x=y

18、=z=66a3= xyz =所以，表面积为 a2 而体积最大的长方体的体积为V36 2、解：据题意dMl= - Mdt其中l0为常数初始条件M = Mt=00dM对于= -lM式dtdMMl= - dt两端积分得ln M = -lt + lnC所以，M= ce-lt又因为M = Mt=00所以，M所以，M= C0= M e-lt0由此可知 铀的衰变规律为 铀的含量随时间的增加而按指数规律衰减，：。高数试卷 4（下）一选择题：310 = 30下列平面中过点（,1）的平面是（） （） （） （）在空间直角坐标系中，方程2 表示x2 + y2 =（）圆 （）圆域 （）球面 （）圆柱面二元函数 (1

19、) 的驻点是(1)z = - x 2 + - y 2（）（,） （）（,） （）（,） （）（,）二重积分的积分区域是1224 ，则 x + y =dxdyD4p（）3p （）15p（）p （） 交换积分次序后 1dx x f (x, y)dy =00 xdy f (x, y)dx111111dy f (x, y)dx(x, y)dxdy y f (x, y)dxdy f（）（）（）（）00y00000阶行列式中所有元素都是，其值是 （） （） （）！ （）对于元线性方程组，当 ( )时,它有无穷多组解,则r A = r A = r( )（） （） （） （）无法确定下列级数收敛的是 3(-1

20、)n-11n（）n（） (-1)（）（）n-1n +12nnnn=1n=1n=1n=1正项级数和满足关系式，则uvu vnnnnn=1n=1（）若（）若收敛，则收敛 （）若收敛，则收敛，则收敛发散uvvvunnnnn=1n=1n=1n=1发散，则发散 （）若uuvnnnnn=1n=1n=1n=111已知：1，则的幂级数展开式为= + x + x +L21- x1+ x2（）1（） 145 = 20（） 1- - x - x -L（）1+ x + x +L- + x - x +L- x + x -L24242424二填空题：数22 1 ln(2- x - y2) 的定义域为2z = x + y

21、- +y若 ( , )f x y = xy，则 ( ,1)f=x已知( , ) 是 ( , ) 的驻点，若 ( , ) = 3, ( , ) = 12, ( , ) = 则x yf x yf x yf x yyyf x yxya00xx 0,00000当时，( , ) 一定是极小点x y00矩阵为三阶方阵，则行列式 3A =A级数收敛的必要条件是unn=165 = 30三计算题(一)：zzy已知：，求： ，xz = xy计算二重积分42 s ，其中x y( , ) | 042,0 2x-= -x dDyxD1 2 - 3122 -1已知： ，其中 ， 0 1 2 ，求未知矩阵010 0 1xn

22、n求幂级数 ( 1)n-1的收敛区间-n=1 求 ( )的麦克劳林展开式（需指出收敛区间）f x = e-x10 2 = 20四计算题(二)：求平面和的交线的标准方程l + + = 1 x y zl设方程组l1 ，试问： 分别为何值时，方程组无解、有唯一解、有无穷多组解+ y + z =xx + y + lz = 1参考答案一；2yx二 ( , ) |1x y-6 6 lim = 0a u x2 + y2 nnzzy四1解：y-1= xy lny= yxx216324-x2x 3 2(4- x dy =2解：42422)4- x ds = dx- x dx = x -=3 0000D1 - 2

23、 71023解： -10 10 02 ,-1 .B = - AB =2 - 4 151(-1)n-1解： =1, 当|x|1 时，级数收敛，当 x=1 时，得收敛，Rnn=1(-1)-12 -1=n当 = -1时，得发散，所以收敛区间为( 1,1 .-xnnn=1n=1 (-x) (-1) xnnn解：.因为 xe =( , ) ,所以 -xxnx - +( , ) .x - +=en!n!n!n=0n=0n=0 rrrijkrrrr四1解：.求直线的方向向量:5 ,求点:令 z=0,得 y=0,x=2,即交点为(2,0.0),所= i + j + ks =1- 2 132 1 -1x - 2

24、yz以交线的标准方程为:.=13511l1011l10l 1 1 11 1 l 12解：1 l 1 11 l 1 10 l 1 1 l 0 l -11- lA = -1 1 l 1l 1 1 10 1- l 1- l 1- l(1- l)(2 + l) 1- l002(1) 当l = -2 时,无解;r(A) = 2,(A) = 31(2) 当l 1,l -2 时,有唯一解:;r(A) = (A) = 3x y z= = =2 + lx =1- c - c2y = c1z = c21(3) 当 l 1时, ( ) ( ) 1,有无穷多组解:( , 为任意常数)c c=r A = A =12高数

25、试卷 5（下）一、选择题（3 分/题）= i + j b = -k，a b =1、已知a，则（）- ji + j-i + jA 0B iCD+ y = 12、空间直角坐标系中 x22表示（）A 圆3、二元函数 zA 1B 圆面C圆柱面D 球面sin xyx=在（0，0）点处的极限是（ ）B 0CD 不存在 114、交换积分次序后 dx f ( x, y )dy =（ ）x01 11dy f ( x,y )dx1dy f ( x,y )dxACB000x111dy f ( x, y )dxydy f ( x, y )dxDy000 5、二重积分的积分区域 D 是 x+ y 1，则 dxdy =（

26、）DD 4A 26、n 阶行列式中所有元素都是 1，其值为（A 0 B 1B 1C0）CnD n!7、若有矩阵 A ， B ，C，下列可运算的式子是（ ）322333- ACA ACB CBC ABCD AB= r( A ) = r8、n 元线性方程组，当r( A )A r=n B rnD 无法确定9、在一秩为 r 的矩阵中，任 r 阶子式（ ）A 必等于零 B 必不等于零C 可以等于零，也可以不等于零 D 不会都不等于零 v10、正项级数 u 和 v 满足关系式u，则（）nnnnn=1n=1A 若 u 收敛，则 v 收敛B 若 v 收敛，则 u 收敛nnnnn=1n=1n=1n=1若 v 发

27、散，则 u 发散CD 若 u 收敛，则 v 发散nnnnn=1n=1n=1n=1二、填空题（4 分/题）1、 空间点 p（-1，2，-3）到 xoy 平面的距离为= x + 4y - 6x + 8y + 22、 函数 f ( x, y )22在点处取得极小值，极小值为= 3- A =，则3、 A为三阶方阵， A0x y- x 0 z- y - z 04、 三阶行列式=5、 级数 u 收敛的必要条件是nn=1三、计算题（6 分/题）z z= y1、 已知二元函数 z2 ，求偏导数x，x y- 2y + z = 2 2x + y - z = 4与 交线的标准式方程。2、 求两平面： x x22=

28、2=， y x 和双曲线 xy=所围成的区域。13、 计算二重积分dxdy ，其中 D 由直线 xyD2 2 3= 1 -1 0-1 2 14、 求方阵 A5、 求幂级数的逆矩阵。( x -1)n的收敛半径和收敛区间。5nn=1四、应用题（10 分/题）n-111、 判断级数 (-1)的收敛性，如果收敛，请指出绝对收敛还是条件收敛。npn=1lx+ x + x = 1123l+ x + x = 1x2、 试根据l 的取值，讨论方程组是否有解，指出解的情况。123lx + x + x = 1123参考答案一、 选择题（3 分/题）DCBDAACBCB二、填空题（4 分/题）= 01、32、（3，

29、-1） -113、-34、05、 lim unn三、计算题（6 分/题）zzy= 2y ln y= 2x y1、，2x-12xxx - 2 y - 0 z - 0=2、3、13594 1 - 4 - 3= 1 - 5 - 34、 A-1-1 645、收敛半径 R=3，收敛区间为（-4，6）四、应用题（10 分/题） 01、 当 p时，发散；0 1时绝对收敛l 1 l -20，方程组有唯一解；( )时，r A( ) 3 A = r A =，2、 当当且时， r A= -2( ) 3= ( ) = 2r A ，方程组无解；l时， r Al 1=( )= r(A) = 1 3当，方程组有无穷多组解。 x22= 2=， y x 和双曲线 xy=所围成的区域。1