不等式基础水平必备.doc

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1、不等式基础必备一、基本不等式的公式1、均值定理： （当且仅当时取等号）注解：平方平均值：；算术平均值：；几何平均值：；调和平均值：，即：其中，例如：，求、，并比较它们的大小.解：； ； 可见：有从大到小的顺序是：平方算术，几何调和2、指数不等式： （当且仅当时取等号）Oxy注解：由于要求不等式右边，故：记忆方法见函数图.曲线在区间都处在直线的上方，仅在处相切. 即：，当且仅当时取等号.例如：时，左边，右边故：3、对数不等式： （当且仅当时取等号）Oxy注解：由于0和负数没有对数，所以：记忆方法见函数图.曲线在区间都处在直线的下方，仅在处相切. 即：，当且仅当时取等号也可以由得：两边取对数：，即

2、：例如：时，左边，右边，故：4、柯西不等式：（当且仅当时取等号）注解：设向量，向量，则，由向量公式：得：两边自乘得：将上面的结果代入得：例如：，则：，；，；，.故：5、琴生不等式：注解：O 设在区间为上凸函数，如图即的二次导数，则： 图中，点为均值的函数值，点为函数的均值.即：对于上凸函数，函数的均值不大于均值的函数值.O 设在区间为下凸函数，如图即的二次导数，则： 图中，点为均值的函数值，点为函数的均值.即：对于下凸函数，函数的均值不小于均值的函数值.上面的式，称为琴生不等式.OBAA例如：对于函数，在区间为上凸函数，因为，（）故：在区间为上凸函数.此时，则，即：；O12而. 故：例如：二次

3、函数因为，所以下凸函数.在区间有：，即：，故： 其实，在区间，都满足 推广为一般形式对于的上凸函数，即:，有： （）对于的下凸函数，即:，有： （）这就是琴生不等式. 注意不等号的方向与二次导数的方向一致.6、伯努利不等式： （）注解：由二项式定理得：在时，即： （仅当时取等号）例如：当，时，左边，右边故：7、向量不等式： 向量三角形：和 向量点乘：注解： 由，构成的三角形，由三角形两边之和大于第三边得. 由，构成的三角形，由三角形两边之差小于第三边得； 由向量积的公式得：，即：； 若，则：上面这几种基本不等式的简单记忆方法：均值定理四兄弟，对数指数俩伴侣；柯西琴生伯努利，向量三角点乘积.上述

4、不等式的解法统称“公式法”.凡解证不等式，首先考虑用上述的不等式，能使用的尽量使用. 不能直接使用的，但经过变形后能使用的，也要尽量使用，即尽一切可能使用上述不等式. 二、求不等式的基本方法1、作差法：将比较的两对象相减后，其差与0比较大小的方法. 注解：最常用的是构建函数法. 例如，证明，则构建2、作商法：将比较的两正数对象相比后，其商与1比较大小的方法.注解：例如，证明. 将其变形为与1比大小.3、公式法：用前面不等式的公式得到结果的方法.注解：即均值定理、柯西不等式等.4、单调性法：利用函数在某区间的单调性得出大小的方法. 注解：例如，函数在区间单调递增，则有：，.5、放缩法：由等式的一

5、边经过放大或缩小将等式变为不等式；或者大者变得更大，小者变得更小；从而使问题得到解决的方法.注解：例如，原本，将右边减小变为 式就是放缩法的结果.6、判别式法：如果一个二次函数过零点，即在零点存在二次方程的解，那么二次方程有解的条件是：判别式. 这里就自然出现了不等式.注解：本方法用于处理二次函数时，包括二次函数的分式.7、换元法：将一个整式、分式或根式整体看做一个量进行处理的方法，主要是简化.注解：特别是三角换元法. 因为三角函数本身有界，所以自然就有不等式. 此法要求常用的三角恒等式必须熟悉.8、裂项相消法：将一项式子分裂成两项或多项，在求和过程中有部分项相互抵消，从而得到简明结果的方法.

6、注解：例如，在放缩法中的式，进一步得：这样，如果是求和，则可得结果：其中的是裂项.在求和过程中，好多项相互抵消9、倒序相加法：将一个多项求和的式子的一个正序列和一个倒序列按序相加的方法.注解：例如，求. 其倒序后为：.这两个式子按序相加后得：其中，每个圆括号内的值都是，共有项.故结果是：，即：10、极值法（最值法）：求出函数在某个区间的极值，加上边界值找出最值，那么函数的最值就是出现不等式的方法.注解：函数在区间的最大值是8，则有11、积分法：积分实际上是求和，是简化求和运算的一种方法. 如果函数是单调的，函数的每一小区间内就会出现不等号，求和后依然存在不等号.注解：积分法最好要画出简明图，可以看出单调性和不等的量.上面这几种求不等式的基本方法简单记忆：作差与0比大小，作商与1比高下；套用公式得结果，单调放缩有小大；二次函数过零点，判别式与换元法；倒序相加来求和，裂项相消去简化；极值最值亦可得，单调积分号方法.例题 已知：，求证：证明： 用均值定理：即： 同理： 由两式相加得：即：即：，即：即： 用琴生不等式构建函数：（）则：，代入琴生不等式得：