2021年湖南省长沙市中考数学试卷.doc

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1、2021年湖南省长沙市中考数学试卷2021年湖南省长沙市中考数学试卷 一、选择题（在下列各题的四个选项中,只有一项是符合要求的,请在答题卡中填涂符合题意的选项,本大题共12个小题,每小题3分,共36分) 1（3.00分）2的相反数是（ ） A2 B C2 D 2（3.00分）据统计，2021年长沙市地区生产总值约为10200亿元，经济总量迈入“万亿俱乐部”，数据10200用科学记数法表示为（ ） A0.102105 B10.2103 C1.02104 D1.02103 3（3.00分）下列计算正确的是（ ） Aa2+a3=a5 B3 C（x2）3=x5 Dm5m3=m2 4（3.00分）下列长

2、度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A4cm，5cm，9cm B8cm，8cm，15cm C5cm，5cm，10cm D6cm，7cm，14cm 5（3.00分）下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 6（3.00分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A B C D 7（3.00分）将下列如图的平面图形绕轴l旋转一周，可以得到的立体图形是（ ） A B C D 8（3.00分）下列说法正确的是（ ） A任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上 B天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨 C“篮球队员在罚球线上投篮

3、一次，投中”为随机事件 D“a是实数，|a|0”是不可能事件 9（3.00分）估计 +1的值是（ ） A在2和3之间 B在3和4之间 C在4和5之间 D在5和6之间 10（3.00分）小明家、食堂、图书馆在同一条直线上，小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家，如图反映了这个过程中，小明离家的距离y与时间x之间的对应关系根据图象，下列说法正确的是（ ） A小明吃早餐用了25min B小明读报用了30min C食堂到图书馆的距离为0.8km D小明从图书馆回家的速度为0.8km/min 11（3.00分）我国南宋著名数学家秦九韶的著作数书九章里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其

4、中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里， 13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（ ） A7.5平方千米 B15平方千米 C75平方千米 D750平方千米 12（3.00分）若对于任意非零实数a，抛物线y=ax2+ax2a总不经过点P（x03，x0216），则符合条件的点P（ ） A有且只有1个 B有且只有2个 C有且只有3个 D有无穷多个 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分) 13（3.00分）化简： = 14（3.00分）某校九年级准备开展春季研学活

5、动，对全年级学生各自最想去的活动地点进行了调查，把调查结果制成了如下扇形统计图，则“世界之窗”对应扇形的圆心角为 度 15（3.00分）在平面直角坐标系中，将点A（2，3）向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，那么平移后对应的点A的坐标是 16（3.00分）掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数为偶数的概率是 17（3.00分）已知关于x方程x23x+a=0有一个根为1，则方程的另一个根为 18（3.00分）如图，点A，B，D在O上，A=20，BC是O的切线，B为切点，OD的延长线交BC于点C，则OCB= 度 三、解答题（本大题共8个小题，第1

6、9、20题每小题6分，第21、22题每小 题6分，第22、23题每小题6分，第25、26题每小题6分，共66分。解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 19（6.00分）计算：（1）2021 +（3）0+4cos45 20（6.00分）先化简，再求值：（a+b）2+b（ab）4ab，其中a=2，b= 21（8.00分）为了了解居民的环保意识，社区工作人员在光明小区随机抽取了若干名居民开展主题为“打赢蓝天保卫战”的环保知识有奖问答活动，并用得到的数据绘制了如图条形统计图（得分为整数，满分为10分，最低分为6分） 请根据图中信息，解答下列问题： （1）本次调查一共抽取了 名居民； （2）求

7、本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数； （3）社区决定对该小区500名居民开展这项有奖问答活动，得10分者设为“一等奖”，请你根据调查结果，帮社区工作人员估计需准备多少份“一等奖”奖品？ 22（8.00分）为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建如图，A、B两地之间有一座山汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶已知BC=80千米，A=45，B=30 （1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？ （2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据： 141， 1.7

8、3） 23（9.00分）随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端 午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元 （1）打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？ （2）阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？ 24（9.00分）如图，在ABC中，AD是边BC上的中线，BAD=CAD，CEAD，CE交BA的延长线于点E，BC=8，AD=3 （1）求CE的

9、长； （2）求证：ABC为等腰三角形 （3）求ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离 25（10.00分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=（m为常数，m1，x0）的图象经过点P（m，1）和Q（1，m），直线PQ与x轴，y轴分别交于C，D两点，点M（x，y）是该函数图象上的一个动点，过点M分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为A，B （1）求OCD的度数； （2）当m=3，1x3时，存在点M使得OPMOCP，求此时点M的坐标； （3）当m=5时，矩形OAMB与OPQ的重叠部分的面积能否等于4.1？请说明你的理由 26（10.00分）我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”

10、（1）在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有 ； 在凸四边形ABCD中，AB=AD且CBCD，则该四边形 “十字形”（填“是”或“不是”） （2）如图1，A，B，C，D是半径为1的O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，ADBCDB=ABDCBD，当6AC2+BD27时，求OE的取值范围； （3）如图2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a0，c0）与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），B是抛物线与y轴的交点，点D的坐标为（0，ac），记“十字形”ABCD的面积为S，记AOB，COD，AOD，BOC的面积分别为S1，S

11、2，S3，S4求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式； = ； = ；“十字形”ABCD的周长为12 2021年湖南省长沙市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（在下列各题的四个选项中,只有一项是符合要求的,请在答题卡中填涂符合题意的选项,本大题共12个小题,每小题3分,共36分) 1（3.00分）2的相反数是（ ） A2 B C2 D 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案 【解答】解：2的相反数是2， 故选：C 2（3.00分）据统计，2021年长沙市地区生产总值约为10200亿元，经济总量迈入“万亿俱乐部”，数据10200用科学记数法表示为（ ） A0.102105

12、 B10.2103 C1.02104 D1.02103 【分析】科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10时，n是正数；当原数的绝对值1时，n是负数 【解答】解：10200=1.02104， 故选：C 3（3.00分）下列计算正确的是（ ） Aa2+a3=a5 B3 C（x2）3=x5 Dm5m3=m2 【分析】直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案 【解答】解：A、a2+a3，无法计算，故此选项错误； B、3 2 = ，故此选

13、项错误； C、（x2）3=x6，故此选项错误； D、m5m3=m2，正确 故选：D 4（3.00分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A4cm，5cm，9cm B8cm，8cm，15cm C5cm，5cm，10cm D6cm，7cm，14cm 【分析】结合“三角形中较短的两边之和大于第三边”，分别套入四个选项中得三边长，即可得出结论 【解答】解：A、5+4=9，9=9， 该三边不能组成三角形，故此选项错误； B、8+8=16，1615， 该三边能组成三角形，故此选项正确； C、5+5=10，10=10， 该三边不能组成三角形，故此选项错误； D、6+7=13，1314， 该三边不能组

14、成三角形，故此选项错误； 故选：B 5（3.00分）下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； 故选：A 6（3.00分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A B C D 【分析】先求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可 【解答】解：解不等式x+20，得：x2， 解不等式2x40，得：x2，

15、 则不等式组的解集为2x2， 将解集表示在数轴上如下： 故选：C 7（3.00分）将下列如图的平面图形绕轴l旋转一周，可以得到的立体图形是（ ） A B C D 【分析】根据面动成体以及圆台的特点进行逐一分析，能求出结果 【解答】解：绕直线l旋转一周，可以得到圆台， 故选：D 8（3.00分）下列说法正确的是（ ） A任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上 B天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨 C“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件 D“a是实数，|a|0”是不可能事件 【分析】直接利用概率的意义以及随机事件的定义分别分析得出答案 【解答

16、】解：A、任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上，错误； B、天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨，错误； C、“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件，正确； D、“a是实数，|a|0”是必然事件，故此选项错误 故选：C 9（3.00分）估计 +1的值是（ ） A在2和3之间 B在3和4之间 C在4和5之间 D在5和6之间 【分析】应先找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间，然后判断出所求的无理数的范围 【解答】解：32=9，42=16， ， +1在4到5之间 故选：C 10（3.00分）小明家、食堂、图书馆在同一条直线上，小明从家去食堂

17、吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家，如图反映了这个过程中，小明离家的距离y与时间x之间的对应关系根据图象，下列说法正确的是（ ） A小明吃早餐用了25min B小明读报用了30min C食堂到图书馆的距离为0.8km D小明从图书馆回家的速度为0.8km/min 【分析】根据函数图象判断即可 【解答】解：小明吃早餐用了（258）=17min，A错误； 小明读报用了（5828）=30min，B正确； 食堂到图书馆的距离为（0.80.6）=0.2km，C错误； 小明从图书馆回家的速度为0.810=0.08km/min，D错误； 故选：B 11（3.00分）我国南宋著名数学家秦九韶的著作数书九章里记

18、载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（ ） A7.5平方千米 B15平方千米 C75平方千米 D750平方千米 【分析】直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案 【解答】解：52+122=132， 三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形， 这块沙田面积为：550012500=7500000（平方米）=7.5（平方千米） 故选：A 12（3.00分）若对于任

19、意非零实数a，抛物线y=ax2+ax2a总不经过点P（x03，x0216），则符合条件的点P（ ） A有且只有1个 B有且只有2个 C有且只有3个 D有无穷多个 【分析】根据题意可以得到相应的不等式，然后根据对于任意非零实数a，抛物线y=ax2+ax2a总不经过点P（x03，x0216），即可求得点P的坐标，从而可以解答本题 【解答】解：对于任意非零实数a，抛物线y=ax2+ax2a总不经过点P（x03， x0216）， x0216a（x03）2+a（x03）2a （x04）（x0+4）a（x01）（x04） （x0+4）a（x01） x0=4或x0=1， 点P的坐标为（7，0）或（2，15）

20、 故选：B 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分) 13（3.00分）化简： = 1 【分析】根据分式的加减法法则：同分母分式加减法法则：同分母的分式想加减，分母不变，把分子相加减计算即可 【解答】解：原式=故答案为：1 14（3.00分）某校九年级准备开展春季研学活动，对全年级学生各自最想去的活动地点进行了调查，把调查结果制成了如下扇形统计图，则“世界之窗”对应扇形的圆心角为 90 度 =1 【分析】根据圆心角=360百分比计算即可； 【解答】解：“世界之窗”对应扇形的圆心角=360（110%30%20%15%）=90， 故答案为90 15（3.00分）在平面直角坐标系中，将点

21、A（2，3）向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，那么平移后对应的点A的坐标是 （1，1） 【分析】直接利用平移的性质分别得出平移后点的坐标得出答案 【解答】解：将点A（2，3）向右平移3个单位长度， 得到（1，3）， 再向下平移2个单位长度， 平移后对应的点A的坐标是：（1，1） 故答案为：（1，1） 16（3.00分）掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数为偶数的概率是 【分析】先统计出偶数点的个数，再根据概率公式解答 【解答】解：正方体骰子共六个面，点数为1，2，3，4，5，6，偶数为2，4，6， 故点数为偶数的概率为=， 故答案为： 1

22、7（3.00分）已知关于x方程x23x+a=0有一个根为1，则方程的另一个根为 2 【分析】设方程的另一个根为m，根据两根之和等于，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论 【解答】解：设方程的另一个根为m， 根据题意得：1+m=3， 解得：m=2 故答案为：2 18（3.00分）如图，点A，B，D在O上，A=20，BC是O的切线，B为切点，OD的延长线交BC于点C，则OCB= 50 度 【分析】由圆周角定理易求BOC的度数，再根据切线的性质定理可得OBC=90，进而可求出求出OCB的度 【解答】解： A=20， BOC=40， BC是O的切线，B为切点， OBC=90， OCB=904

23、0=50， 故答案为：50 三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第22、23题每小题6分，第25、26题每小题6分，共66分。解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 19（6.00分）计算：（1）2021 +（3）0+4cos45 【分析】本题涉及零指数幂、乘方、二次根式化简和特殊角的三角函数值4个考点在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果 【解答】解：原式=12 20（6.00分）先化简，再求值：（a+b）2+b（ab）4ab，其中a=2，b= 【分析】首先计算完全平方，计算单项式乘以多项式，然后再合并

24、同类项，化简后，再代入a、b的值，进而可得答案 【解答】解：原式=a2+2ab+b2+abb24ab=a2ab， 当a=2，b=时，原式=4+1=5 21（8.00分）为了了解居民的环保意识，社区工作人员在光明小区随机抽取了若干名居民开展主题为“打赢蓝天保卫战”的环保知识有奖问答活动，并用得到的数据绘制了如图条形统计图（得分为整数，满分为10分，最低分为6分） +1+4 =12 +1+2 =2 请根据图中信息，解答下列问题： （1）本次调查一共抽取了 50 名居民； （2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数； （3）社区决定对该小区500名居民开展这项有奖问答活动，得10分者设为“

25、一等奖”，请你根据调查结果，帮社区工作人员估计需准备多少份“一等奖”奖品？ 【分析】（1）根据总数=个体数量之和计算即可； （2）根据平均数、总数、中位数的定义计算即可； （3）利用样本估计总体的思想解决问题即可； 【解答】解：（1）共抽取：4+10+15+11+10=50（人）， 故答案为50； （2）平均数=（46+107+158=119+1010）=8.26； 众数：得到8分的人最多，故众数为8 中位数：由小到大排列，知第25，26平均分为8分，故中位数为8分； （3）得到10分占1050=20%， 故500人时，需要一等奖奖品50020%=100（份） 22（8.00分）为加快城乡对接

26、，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建如图，A、B两地之间有一座山汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶已知BC=80千米，A=45，B=30 （1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？ （2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1 千米）（参考数据：141，1.73） 【分析】（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，在直角ACD中，解直角三角形求出CD，进而解答即可； （2）在直角CBD中，解直角三角形求出BD，再求出AD，进而求出汽车从A地到B地比原来少走多少路程 【解答】解：（1）过点

27、C作AB的垂线CD，垂足为D， ABCD，sin30=CD=BC?sin30=80AC= AC+BC=80+40 ，BC=80千米， （千米）， （千米）， 401.41+80=136.4（千米）， 答：开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走136.4千米； （2）cos30= ，BC=80（千米）， （千米）， BD=BC?cos30=80tan45=AD= AB=AD+BD=40+40 ，CD=40（千米）， （千米）， 40+401.73=109.2（千米）， 汽车从A地到B地比原来少走多少路程为：AC+BCAB=136.4109.2=27.2（千米） 答：汽车从A地到B地比原来少走的路程

28、为27.2千米 23（9.00分）随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元 （1）打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？ （2）阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？ 【分析】（1）设打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元，根据“打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，买50盒

29、甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据节省钱数=原价购买所需钱数打折后购买所需钱数，即可求出节省的钱数 【解答】解：（1）设打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元， 根据题意得：解得： ， 答：打折前甲品牌粽子每盒40元，乙品牌粽子每盒120元 （2）8040+100120800.8401000.75120=3640（元） 答：打折后购买这批粽子比不打折节省了3640元 24（9.00分）如图，在ABC中，AD是边BC上的中线，BAD=CAD，CEAD，CE交BA的延长线于点E，BC=8，AD=3 （1）求CE的长

30、； （2）求证：ABC为等腰三角形 （3）求ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离 【分析】（1）证明AD为BCE的中位线得到CE=2AD=6； （2）通过证明ABDCAD得到AB=AC； （3）如图，连接BP、BQ、CQ，先利用勾股定理计算出AB=5，设P的半径为 2R，Q的半径为r，在RtPBD中利用勾股定理得到（R3）+42=R2，解得R= ， 则PD=，再利用面积法求出r=，即QD=，然后计算PD+QD即可 【解答】（1）解：AD是边BC上的中线， BD=CD， CEAD， AD为BCE的中位线， CE=2AD=6； （2）证明：BD=CD，BAD=CAD，AD=AD， ABDC

31、AD， AB=AC， ABC为等腰三角形 （3）如图，连接BP、BQ、CQ， 在RtABD中，AB= =5， 设P的半径为R，Q的半径为r， 在RtPBD中，（R3）2+42=R2，解得R=PD=PAAD= 3=， ， SABQ+SBCQ+SACQ=SABC， ?r?5+?r?8+?r?5=?3?8，解得r=， 即QD=， PQ=PD+QD=+= 答：ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离为 25（10.00分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=（m为常数，m1，x0）的图象经过点P（m，1）和Q（1，m），直线PQ与x轴，y轴分别交于C，D两点，点M（x，y）是该函数图象上的一个

32、动点，过点M分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为A，B （1）求OCD的度数； （2）当m=3，1x3时，存在点M使得OPMOCP，求此时点M的坐标； （3）当m=5时，矩形OAMB与OPQ的重叠部分的面积能否等于4.1？请说明你的理由 【分析】（1）想办法证明OC=OD即可解决问题； （2）设M（a，），由OPMOCP，推出再分类求解即可解决问题； （3）不存在分三种情形说明：当1x5时，如图1中；当x1时，如图2中；当x5时，如图3中； = = ，由此构建方程求出a， 【解答】解：（1）设直线PQ的解析式为y=kx+b，则有解得 ， ， y=x+m+!， 令x=0，得到y=m+1，D（0，m+1）， 令y+0，得到x=m+1，C（m+1，0）， OC=OD， COD=90， OCD=45 （2）设M（a，）， OPMOCP， = = ， OP2=OC?OM， 当m=3时，P（3，1），C（4，0）， OP2=32+12=10，OC=4，OM= = ， ， ， 10=4 4a425a2+36=0， （4a29）（a24）=0， a=，a=2， 1a3， a=或2， 当a=时，M（，2）， PM= ，CP= ， 17 / 17