山东省德州市夏津第一中学2019-2020学年高二数学上学期第一次月考试题.doc

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1、山东省德州市夏津第一中学2019-2020学年高二数学上学期第一次月考试题一、选择题（本大题共13小题，共52.0分）1. 直线的倾斜角的大小为()A. B. C. D. 2. 如图所示,在中,若将绕BC所在的直线旋转一周,则所形成的旋转体的表面积是 A. B. C. D. 3. 如果点M是两条异面直线外的一点,则过点M且与a,b都平行的平面()A. 只有一个B. 恰有两个C. 没有或只有一个D. 有无数个4. 已知m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列命题中正确的是()A. 若,则B. 若,且,则C. 若,且,则D. 若,且,则5. 在直三棱柱中,则点A到平面的距离为()A. B.

2、 C. D. 6. 过点作直线l,使直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8,这样的直线l一共有A. 3条B. 2条C. 1条D. 0条7. 正四棱锥,为PB 的中点,为PD 的中点,则两个棱锥和的体积之比是 A. B. C. D. 8. 函数的值域是 A. B. C. D. 9. 如图,动点P在正方体的对角线上过点P作垂直于平面的直线,与正方体表面相交于M,设,则函数的图象大致是() A. B. C. D. 10. 在三棱锥中,则三棱锥的外接球的表面积为 A. B. C. D. 多项选择题11. 下面关于四棱柱的命题中,真命题的是()A. 若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱

3、B. 若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱C. 若四个侧面两两全等,则该四棱柱为直四棱柱D. 若四棱柱的四条对角线两两相等,则该四棱柱为直四棱柱12. 在下列四个命题中,错误的有()A. 坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率B. 直线的倾斜角的取值范围是C. 若一条直线的斜率为,则此直线的倾斜角为D. 若一条直线的倾斜角为,则此直线的斜率为13. 如图,矩形ABCD中,E边AB的中点,将沿直线DE翻折成平面,若M为线段的中点,则在翻折过程中,下列结论正确的是()A. 恒有平面B. B与M两点间距离恒为定值C. 三棱锥的体积的最大值为D. 存在某个位置,使得平面平面二、填

4、空题（本大题共4小题，共16.0分）14. 九章算术中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑若三棱锥为鳖臑,平面ABC,三棱锥的四个顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为 .15. 过点且在坐标轴上的截距相等的直线方程是_16. 一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等,这时圆柱、圆锥、球的体积之比为_17. 如图,所在的平面,AB是的直径,C是上的一点,于E,于F,下列四个命题中：面PAC；面PBC；面PBC 其中正确命题的是_ 请写出所有正确命题的序号三、解答题（本大题共6小题，共82分）18. (12分）如图所

5、示,在边长为4的正三角形ABC中,依次是的中点,为垂足,若将绕AD旋转,求阴影部分形成的几何体的表面积与体积19. （14分）在平面直角坐标系xOy中,直线：,：求直线经过定点的坐标；当且时,求实数a的值20. （14分）如图所示,在三棱柱中,E,F,G,H分别是AB,AC,的中点 求证：平面ABC； 求证：平面平面BCHG21. （14分）在三棱柱中,侧面底面ABC,E为AB的中点 求证：平面； 求证：平面；求三棱锥的体积22. （14分）过点作直线l,与x轴和y轴的正半轴分别交于A,B两点,求：面积的最小值及此时直线l的方程；求直线l在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l的方程.23.

6、（14分）正三棱锥有一个半径为的内切球.（1） 当正三棱锥为正四面体时，求此正四面体的体积；（2 ）求所有这样的正三棱锥中的体积最小的正三棱锥的体积.第一次月考参考答案24. 直线的倾斜角的大小为()A. B. C. D. 【答案】B【解析】解：设直线的倾斜角为,则,故选：B设直线的倾斜角为,则,即可得出本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系,考查了推理能力与计算能力,属于基础题25. 如图所示,在中,若将绕BC所在的直线旋转一周,则所形成的旋转体的表面积是 A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题考查的知识点是旋转体的体积和表面积,其中分析出几何体的形状及底面半径、母线长等几何量是

7、解答的关键绕直线BC旋转一周,所形成的旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥,代入圆锥侧面积公式,可得答案【解答】解：绕直线BC旋转一周,所形成的旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥,是一个以A到BC的距离AO为半径,母线为AC的圆锥挖去同底的以AB为母线的的圆锥的组合体,所以该几何体的表面积为故选A26. 如果点M是两条异面直线外的一点,则过点M且与a,b都平行的平面()A. 只有一个B. 恰有两个C. 没有或只有一个D. 有无数个【答案】C【解析】【分析】本题考查线面平行的判断定理,考查学生分析解决问题的能力,要注意把空间情况想全面【解答】解：当过点M与两条异面直线中的一条的平面与另一条直线平行时,

8、此时找不到一个过M的平面与两条异面直线都平行；当过点M与两条异面直线中的一条的平面与另一条直线不平行时,利用线面平行的判断定理,可得1个平面与a,b都平行故选C27. 已知m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列命题中正确的是()A. 若,则B. 若,且,则C. 若,且,则D. 若,且,则【答案】B【解析】解：对于A,若,则m与可能平行；故A错误；对于B,若,且,根据面面垂直的定义；故B正确；对于C,若,且,m,n共面,则；故C不正确；对于D,若,且,则与可能相交；故D错误故选B利用面面垂直、线面平行、线面垂直想性质定理和判定定理对选项分析即可本题考查了面面垂直、线面平行、线面垂直想性

9、质定理和判定定理的运用判断线面关系和面面关系；关键是熟练掌握定理的条件,注意特殊情况28. 在直三棱柱中,则点A到平面的距离为()A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题考查空间中点到平面的距离,考查等体积法的应用,属基础题解题关键在于利用等体积法求点到直线距离【解答】解：设点A到平面的距离为h,三角形面积,三角形ABC面积,解得故答案选B29. 过点作直线l,使直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8,这样的直线l一共有A. 3条B. 2条C. 1条D. 0条【答案】C【解析】【分析】本题考查了直线的截距式、三角形的面积计算公式,属于基础题设直线l的方程为：,结合直线过

10、点且在第二象限内围成的三角形面积为8,构造方程组,解得直线方程,可得答案【解答】解：假设存在过点的直线l,使它与两坐标轴在第二象限围成的三角形的面积为8,设直线l的方程为：,则,即,直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积,即,联立解得：,直线l的方程为：,即,即这样的直线有且只有一条故选C30. 正四棱锥,为PB 的中点,为PD 的中点,则两个棱锥和的体积之比是 A. B. C. D. 答案：31. 函数的值域是 A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题考查函数定义域与值域,以及两点间距离公式,属于中档题由题意,函数,函数可以表示为x轴上的点到点和的距离之和,当三点成一条直

11、线时距离之和最小,即可求出结果【解答】解：由题意,函数,所以函数可以表示为x轴上的点到点和的距离之和,当三点成一条直线时距离之和最小,所以,故选B32. 如图,动点P在正方体的对角线上过点P作垂直于平面的直线,与正方体表面相交于M,设,则函数的图象大致是() A. B. C. D. 【答案】B【解析】解：设正方体的棱长为1,显然,当P移动到对角线的中点O时,函数取得唯一最大值,所以排除A、C；当P在BO上时,分别过M、N、P作底面的垂线,垂足分别为、,则是一次函数,所以排除D故选B只有当P移动到正方体中心O时,MN有唯一的最大值,则淘汰选项A、C；P点移动时,x与y的关系应该是线性的,则淘汰选

12、项D本题考查直线与截面的位置关系、空间想象力及观察能力,同时考查特殊点法、排除法33. 在三棱锥中,则三棱锥的外接球的表面积为 A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题考查三棱锥的外接球的表面积和正、余弦定理,属于中档题考查空间想象能力、推理能力和计算能力关键是求出外接球的半径【解答】解：由条件,得,所以故为直角三角形所以三棱锥的外接球的球心在过的外心E垂线上,设为点O,因为,所以,故外接圆的半径,则外接球的半径,故外接球的表面积为,故选B34. 下面关于四棱柱的命题中,真命题的是()A. 若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱B. 若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该

13、四棱柱为直四棱柱C. 若四个侧面两两全等,则该四棱柱为直四棱柱D. 若四棱柱的四条对角线两两相等,则该四棱柱为直四棱柱【答案】BD【解析】【分析】本题考查棱柱的结构特征棱柱的性质：棱柱的各个侧面都是平行四边形,所有的侧棱都平行且相等；直棱柱的各个侧面都是矩形；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形,棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形,过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形,直棱柱的侧棱长与高相等；直棱柱的侧面及经过不相邻的两条侧棱的截面都是矩形对于AC可举出反例加以说明；对于BD可结合棱柱的概念进行判断【解答】解：A错,必须是两个相邻的侧面；B正确；因两个过相对侧棱的截面

14、都垂直于底面可得到侧棱垂直于底面；C错,反例,可以是斜四棱柱；D正确,对角线两两相等,则此两对角线所在的平行四边形为矩形故选BD35. 在下列四个命题中,错误的有()A. 坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率B. 直线的倾斜角的取值范围是C. 若一条直线的斜率为,则此直线的倾斜角为D. 若一条直线的倾斜角为,则此直线的斜率为【答案】ABCD【解析】【分析】A中,直线与x轴垂直时,直线的倾斜角为,斜率不存在；B中,直线倾斜角的取值范围是；C中,直线的斜率为时,它的倾斜角不一定为；D中,直线的倾斜角为时,它的斜率为或不存在【解答】对于A,当直线与x轴垂直时,直线的倾斜角为,斜率不存在,A错误；

15、对于B,直线倾斜角的取值范围是,B错误；对于C,一条直线的斜率为,此直线的倾斜角不一定为,如的斜率为,它的倾斜角为,C错误；对于D,一条直线的倾斜角为时,它的斜率为或不存在,D错误故选：ABCD36. 如图,矩形ABCD中,E边AB的中点,将沿直线DE翻折成平面,若M为线段的中点,则在翻折过程中,下列结论正确的是()A. 恒有平面B. B与M两点间距离恒为定值C. 三棱锥的体积的最大值为D. 存在某个位置,使得平面平面【答案】ABC【解析】【分析】本题考查了线面垂直、面面垂直的判断,余弦定理和三棱锥的体积,属于较难题考查空间想象能力、推理能力和计算能力,根据条件逐个判断即可【解答】解：对于A,

16、取CD中点F,连接MF,BF,则且,且,由与,可得平面平面,总有平面,故A正确；对于B,由矩形ABCD中,E为AB中点,得,所以取CD中点F,连接MF,BF,则,且,由余弦定理,得,故B正确；对于C,当平面平面ABCD时,三棱锥的体积的最大值,且最大体积为,故C正确；对于D,因为不存在某个位置,使得平面平面 ,故错误故选ABC37. 九章算术中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑若三棱锥为鳖臑,平面ABC,三棱锥的四个顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为()A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查球O的表面积,考

17、查学生的计算能力,求出球的半径是关键由题意,PC为球O的直径,求出PC,可得球O的半径,即可求出球O的表面积【解答】解：由题意,如图所示：PC为球O的直径,球O的半径为,球O的表面积为,故选：C38. 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题：“今有阳马,广五尺,褒七尺,高八尺,问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥,它的底面长,宽分别为7尺和5尺,高为8尺,问它的体积是多少？”若以上条件不变,则这个四棱锥的外接球的表面积为()A. 平方尺B. 平方尺C. 平方尺D. 平方尺【答案】B【解析】解：今有底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥,它的底面长,宽

18、分别为7尺和5尺,高为8尺,构造一个长方体,其长、宽、高分别为7尺、5尺、8尺,则这个四棱锥的外接球就是这个长方体的外接球,这个四棱锥的外接球的半径尺,这个四棱锥的外接球的表面积为平方尺故选：B构造一个长方体,其长、宽、高分别为7尺、5尺、8尺,则这个这个四棱锥的外接球就是这个长方体的外接球,由此能求出这个四棱锥的外接球的表面积本题考查四棱锥的外接球的表面积的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力、空间想象能力,考查函数与方程思想、化归与转化思想,是基础题39. 过点且在坐标轴上的截距相等的直线方程是_【答案】或【解析】【分析】本题考查了直线的截距式方程,考查

19、了分类讨论的数学思想方法,是基础题,也是易错题分直线过原点和不过原点两种情况讨论,直线过原点时直接求出斜率得直线方程；不过原点时设出直线方程,代入点的坐标得答案【解答】解：当直线过原点时,直线的斜率,直线方程为,即；当直线不过原点时,设直线方程为,代入点得：,即直线方程为：过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为或故答案为或40. 如图,一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等,这时圆柱、圆锥、球的体积之比为_【答案】3：1：2【解析】解：设球的半径为R,则圆柱和圆锥的高均为2R,则,故圆柱、圆锥、球的体积之比为：3：1：2故答案为：3：1：2由已知中一个圆柱和一个圆锥的底面直

20、径和它们的高都与一个球的直径相等,则我们易根据圆柱、圆锥及球的体积公式,求出圆柱、圆锥及球的体积,进而得到答案本题考查的知识点是圆柱、圆锥及球的体积公式,其中根据已知,设出球的半径,进而求出圆柱、圆锥及球的体积中解答本题的关键41. 如图,所在的平面,AB是的直径,C是上的一点,于E,于F,下列四个命题中：面PAC；面PBC；面PBC其中正确命题的是_ 请写出所有正确命题的序号【答案】【解析】解：所在的平面,又是的直径,由线面垂直的判定定理,可得面PAC,故正确；又由平面PAC,结合于F,由线面垂直的判定定理,可得面PBC,故正确；又于E,结合的结论我们易得平面PAB由平面PAB,可得,故正确

21、；由的结论,及过一点有且只一条直线与已知平面垂直,故错误；故答案为：根据已知中,所在的平面,AB是的直径,C是上的一点,于E,于F,结合线面垂直的判定定理,我们逐一对已知中的四个结论进行判定,即可得到答案本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定,其中熟练掌握线面垂直的判定定理,是解答本题的关键三、解答题42. 如图所示,在边长为4的正三角形ABC中,依次是的中点,为垂足,若将绕AD旋转,求阴影部分形成的几何体的表面积与体积【答案】解：所得几何体是一个圆锥挖去一个圆柱后形成的, 所求几何体的表面积,由, 所求几何体的体积为【解析】本题主要考查旋转体的表面积,属于中档题先分析出这个旋转体是一个圆锥挖

22、去一个圆柱后形成的,然后利用公式求出即可43. 在平面直角坐标系xOy中,直线：,：求直线经过定点的坐标；当且时,求实数a的值【答案】解：直线：可化为,令,解得,对任意,直线经过定点；当时,直线为,即；又直线：,即；当时,有,解得【解析】把直线的方程化为,令求得直线经过的定点坐标；利用两直线的斜率相等且在y轴上的截距不等,求得实数a的值本题考查了直线方程的应用问题,是基础题44. 如图所示,在三棱柱中,E,F,G,H分别是AB,AC,的中点 求证：平面ABC；求证：平面平面BCHG【答案】证明：在三棱柱中,E,F,G,H分别是AB,AC,的中点,平面ABC,平面ABC,面ABC；在三棱柱中,E

23、,F,G,H分别是AB,AC,的中点,四边形是平行四边形,平面,BG,平面BCHG,平面平面BCHG【解析】本题考查线面平行的证明,考查面面平行的证明,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养推导出,由此能证明面ABC；推导出,由此能证明平面平面BCHG45. 在三棱柱中,侧面底面ABC,E为AB的中点 求证：平面；求证：平面；求三棱锥的体积【答案】证明：连接,设,则F为的中点,因为E为AB的中点,所以又平面,所以平面在中,由,得,即；在中,同理可得B.因为侧面底面ABC,侧面底面,所以平面又平面,所以,又,所以平面解：因为平面,平面,所以C.在直角中,由及,得所以【解析】连接,设,

24、则F为的中点,从而由此能证明平面推导出,由此能证明平面推导出C.再由,能求出三棱锥的体积本题考查线面平行、线面垂直的证明,考查三棱锥的体积的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,是中档题46. 过点作直线l,与x轴和y轴的正半轴分别交于A,B两点,求：面积的最小值及此时直线l的方程；求直线l在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l的方程；【答案】解：设直线l的方程为,则可得,直线l与x轴,y轴正半轴分别交于A,B两点,得,当且仅当,即时,的面积有最小值4,此时直线l的方程为,即,截距之和为,当且仅当,即时等号成立,故截距之和的最小值为,此时直线l的方程为,即【解析】本题主要考查利用基本不等式求最值,直线的点斜式方程,属于偏难题目设AB的方程为,可得A,B点坐标,得出三角形面积,利用基本不等式算出的面积S有最小值为4,求出k的值,进而算出此时的直线l方程；由,B点坐标得出截距之和利用基本不等式求出最小值得出k的值,得到直线方程；,利用基本不等式算出,由正弦函数的值域可得直线斜率为,利用点斜式方程列式,化简可得直线l的方程47. V=.