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1、压轴大题突破练直线与圆锥曲线(二)1.如图,已知点A(1,)是离心率为的椭圆C:1(ab0)上的一点,斜率为的直线BD交椭圆C于B、D两点,且A、B、D三点互不重合(1)求椭圆C的方程;(2)ABD的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由(3)求证:直线AB、AD的斜率之和为定值(1)解由题意,可得e,1,a2b2c2,解得a2,b,c,所以椭圆C的方程1.(2)解设直线BD的方程为yxm,D(x1,y1),B(x2,y2),由得4x22mxm240,所以8m26402mF1F22,根据椭圆的定义,知动点M的轨迹是以F1(0,),F2(0,)为焦点,长轴长为4的椭圆,
2、设该椭圆的标准方程为1(ab0),则a2,c,a24,c23,b2a2c21,曲线C的方程为x21.设l的方程为ykx,由,消去y得,(k24)x22kx10,(2k)24(k24)0,且x1x2,x1x2.mn,mn0,4x1x2y1y24x1x2(kx1)(kx2)(4k2)x1x2k(x1x2)3(k24)k30,解得k.即直线l的斜率k的值为.(2)当直线AB的斜率不存在时,有x1x2,y1y2.由mn0,得4x21y210,即y214x21.又A(x1,y1)在椭圆上,x1,|x1|,|y1|.SOAB|x1|y1y2|x1|y1|1(定值)当直线AB的斜率存在时,设AB的方程为yk
3、xt.由消去y得,(k24)x22ktxt240,4k2t24(k24)(t24)0,且x1x2,x1x2.mn0,4x1x2y1y20,4x1x2(kx1t)(kx2t)0,(k24)x1x2kt(x1x2)t20,(k24)ktt20,整理得2t2k24.SOABAB|t|1(定值)综上,AOB的面积为定值3.如图,已知抛物线C:y22px和M:(x4)2y21,圆心M到抛物线C的准线的距离为.过抛物线C上一点H(x0,y0)(y01)作两条直线分别与M相切于A、B两点,与抛物线C交于E、F两点(1)求抛物线C的方程;(2)当AHB的角平分线垂直x轴时,求直线EF的斜率;(3)若直线AB在
4、y轴上的截距为t,求t的最小值解(1)由题意知M的圆心M的坐标为(4,0),半径为1,抛物线C的准线方程为x,圆心M到抛物线C的准线的距离为,4,解得p,从而抛物线C的方程为y2x.(2)AHB的角平分线垂直x轴,点H(4,2),AHB60,可得kHA,kHB,直线HA的方程为yx42,联立方程得y2y420,设E(xE,yE),F(xF,yF),则yE2,yE,xE,同理可得yF,xF,kEF.(3)方法一由题意可设点A、B的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),则kMA,kMB,HA、HB是M的切线,HAMA、HBMB,kHA,kHB,直线HA、HB的方程分别为(4x1)xy1y4x1
5、150,(4x2)xy2y4x2150,又点H在抛物线上,有yx0,点H的坐标为(y,y0)(y01),分别代入直线HA、HB的方程得(4x1)yy1y04x1150,(4x2)yy2y04x2150,可整理为(4y)x1y0y14y150,(4y)x2y0y24y150,从而可求得直线AB的方程为(4y)xy0y4y150,令x0,得直线AB在y轴上的截距为t4y0(y01),考虑到函数f(x)4x(x1)为单调递增函数,tmin4111.方法二由(1)知,设点H(y,y0)(y01),则HM2y7y16,HA2y7y15.以H为圆心,HA为半径的圆的方程为(xy)2(yy0)2y7y15,
6、又M的方程为(x4)2y21.得:直线AB的方程为(2xy4)(4y)(2yy0)y0y7y14.当x0时,直线AB在y轴上的截距t4y0(y01),t关于y的函数在1,)上单调递增,tmin11.4如图,已知椭圆C:1(ab0)的离心率为,以原点为圆心,椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线xy0相切A、B是椭圆的左、右顶点,直线l过B点且与x轴垂直(1)求椭圆C的标准方程;(2)设G是椭圆C上异于A、B的任意一点,作GHx轴于点H,延长HG到点Q使得HGGQ,连结AQ并延长交直线l于点M,N为线段MB的中点,判定直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系,并证明你的结论解(1)由题意可得e.以原点为圆心,椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线xy0相切,b,解得b1.由a2b2c2,可得a2.椭圆C的标准方程为y21.(2)由(1)可知A(2,0),B(2,0),直线l的方程为x2.设G(x0,y0)(y00),于是H(x0,0),Q(x0,2y0),且有y1,即4y4x.连结BQ,设直线AQ与直线BQ的斜率分别为kAQ,kBQ,kAQkBQ1,即AQBQ,点Q在以AB为直径的圆上直线AQ的方程为y(x2)由解得即M(2,),N(2,)直线QN的斜率为kQN,kOQkQN1,于是直线OQ与直线QN垂直,直线QN与以AB为直径的圆O相切- 5 -