【课堂新坐标】2021年高考数学二轮热点专题突破讲练 第十六讲 椭圆、双曲线与抛物线 理（含解析）.doc

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1、第十六讲椭圆、双曲线与抛物线1(椭圆的标准方程)(2013广东高考)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是()A.1B.1C.1 D.1【解析】右焦点为F(1,0)说明两层含义：椭圆的焦点在x轴上；c1.又离心率为，故a2，b2a2c2413，故椭圆的方程为1，故选D.【答案】D2(双曲线的性质)(2013福建高考)双曲线y21的顶点到其渐近线的距离等于()A. B.C. D.【解析】双曲线的渐近线为直线yx，即x2y0，顶点为(2,0)，所求距离为d.【答案】C3(抛物线定义)(2013江西高考)已知点A(2,0)，抛物线C：x24y的焦点为F，射线FA与抛物

2、线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|MN|()A2 B12C1 D13【解析】如图所示，由抛物线定义知|MF|MH|，所以|MF|MN|MH|MN|.由于MHNFOA，则，则|MH|MN|1，即|MF|MN|1.【答案】C4(椭圆的定义与性质)(2013辽宁高考)已知椭圆C：1(ab0)的左焦点为F，椭圆C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|10，|AF|6，cosABF，则椭圆C的离心率e_.【解析】设椭圆的右焦点为F1，因为直线过原点，所以|AF|BF1|6，|BO|AO|.在ABF中，设|BF|x，由余弦定理得36100x2210x，解得x8，即|BF|8

3、.所以BFA90，所以ABF是直角三角形，所以2a6814，即a7.又因为在RtABF中，|BO|AO|，所以|OF|AB|5，即c5.所以e.【答案】5(圆锥曲线的应用)(2013天津高考改编)已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线与抛物线y22px(p0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点若双曲线的离心率为2，AOB的面积为，则p_.【解析】由已知得2，所以4，解得，即渐近线方程为yx.而抛物线准线方程为x，于是A，B，从而AOB的面积为p，可得p2.【答案】2圆锥曲线的定义及标准方程 (2013课标全国卷)已知圆M：(x1)2y21，圆N：(x1)2y29，动圆P与圆M外切并且与圆N

4、内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P、圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.【思路点拨】(1)第(1)问，注意到圆M与圆N的圆心关于原点对称，暗示曲线C可解是椭圆或双曲线依据两圆的位置关系的几何性质建立关系式，利用定义求曲线C的方程(2)在第(2)问中，先求圆P的方程，然后利用直线l与圆相切，求出直线l的方程，进而求弦AB的长【自主解答】由已知得圆M的圆心为M(1,0)，半径r11；圆N的圆心为N(1,0)，半径r23.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|PN|(Rr1)(

5、r2R)r1r24.由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左，右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为1(x2)(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|PN|2R22，所以R2，当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R2，所以当圆P的半径最长时，其方程为(x2)2y24.若l的倾斜角为90，则l与y轴重合，可得|AB|2.若l的倾斜角不为90，由r1R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，则，可求得Q(4,0)，所以可设l：yk(x4)由l与圆M相切得1，解得k.当k时，将yx代入1，并整理得7x28x80，解得x1,2，所以|AB|x2x1|.当k时，由图形的对

6、称性可知|AB|.综上，|AB|2或|AB|.1(1)本题易出现两点错误：利用定义求曲线C，不能剔除点(2,0)；求弦AB的长，忽视斜率的讨论，遗漏|AB|2.(2)求解第(2)问的关键有两点：求圆P的方程；利用坐标法，解方程组，灵活利用弦长公式2求椭圆的标准方程，常用定义和待定系数法确定椭圆的标准方程，需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a，b的值运用待定系数法时，常结合椭圆性质、已知条件，列关于a，b，c的方程变式训练1(1)(2013辽宁高考)已知F为双曲线C：1的左焦点，P，Q为C上的点若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在

7、线段PQ上，则PQF的周长为_(2)(2013陕西高考)已知动点M(x，y)到直线l：x4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍求动点M的轨迹C的方程；过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A，B两点，若A是PB的中点，求直线m的斜率【解】(1)由双曲线方程知，b4，a3，c5，则虚轴长为8，则|PQ|16.由左焦点F(5,0)，且A(5,0)恰为右焦点，知线段PQ过双曲线的右焦点，则P，Q都在双曲线的右支上由双曲线的定义可知|PF|PA|2a，|QF|QA|2a，两式相加得，|PF|QF|(|PA|QA|)4a，则|PF|QF|4a|PQ|431628，故PQF的周长为281644.【答案】4

8、4图a(2)如图a，设点M到直线l的距离为d，根据题意，d2|MN|，由此得|4x|2，化简得1，动点M的轨迹C的方程为1.由题意，设直线m的方程为ykx3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，如图b.图b将ykx3代入1中，有(34k2)x224kx240.其中(24k)2424(34k2)96(2k23)0，由根与系数的关系，得x1x2，x1x2.又A是PB的中点，故x22x1.将代入，得x1，x，可得2，且k2，解得k或k，直线m的斜率为或.椭圆、双曲线、抛物线的几何性质 (1)(2013课标全国卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，则C的渐近线方程为()AyxByxCyx Dy

9、x(2)抛物线x22py(p0)的焦点为F，其准线与双曲线1相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p_.【思路点拨】(1)由离心率的概念得a，c之间的关系，转化为a，b之间的关系，从而求出其渐近线方程(2)注意到ABF为等边三角形和双曲线的对称性，用p表示点A(或B)的坐标，代入双曲线方程，求p的值【自主解答】(1)由e，得，ca，ba.而1(a0，b0)的渐近线方程为yx，所求渐近线方程为yx.(2)由于x22py(p0)的准线为y，由解得准线与双曲线x2y23的交点为，B，所以|AB|2 .由ABF为等边三角形，得|AB|p，解得p6.【答案】(1)C(2)61第(2)题充分注意到双曲

10、线与ABF的对称性，数形结合，巧求点B的坐标，优化了解题过程2求椭圆、双曲线的离心率：一是利用定义、方程、性质求出a，c，进而求e；二是运用条件构建关系a，c的齐次方程，变形求e.变式训练2(2013湖南高考)设F1，F2是双曲线C：1(a0，b0)的两个焦点P是C上一点若|PF1|PF2|6a，且PF1F2的最小内角为30，则C的离心率为_【解析】由双曲线定义，|PF1|PF2|2a，又|PF1|PF2|6a，|PF1|4a，|PF2|2a.在PF1F2中，|F1F2|2c，由余弦定理，得|PF2|2|PF1|2|F1F2|22|PF1|F1F2|cos 30，化简得3a22acc20，则a

11、c0.双曲线的离心率e.【答案】求轨迹方程 在平面直角坐标系xOy中，点P(a，b)(ab0)为动点 ，F1，F2分别为椭圆1的左、右焦点已知F1PF2为等腰三角形(1)求椭圆的离心率e；(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF2上的点，满足2，求点M的轨迹方程【思路点拨】在F1PF2中，可知|PF2|F1F2|，从而得关于a，c的方程，求离心率e.设动点M(x，y)，进而表示向量，依条件2，求得轨迹方程【自主解答】(1)设F1(c,0)，F2(c,0)(c0)由题意，可得|PF2|F1F2|，即2c，整理得2()210，得1(舍去)或.所以e.(2)由(1)知，a2c，bc，可

12、得椭圆方程为3x24y212c2，直线PF2的方程为y(xc)A，B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得5x28cx0.解得x10，x2c.得方程组的解或不妨设A(c，c)，B(0，c)设点M的坐标为(x，y)，则(xc，yc)，(x，yc)由y(xc)，得cxy.于是(yx，yx)，(x，x)由2，即(yx)x(yx)x2，化简得18x216xy150.将y代入cxy，得c0，所以x0.因此，点M的轨迹方程是18x216xy150(x0)1求轨迹方程时，先看轨迹的形状能否预知，若能预先知道轨迹为何种圆锥曲线，则可考虑用定义法求解或用待定系数法求解；否则利用直接法或代入法2讨论轨迹方程的解与轨

13、迹上的点是否对应，要注意字母的取值范围变式训练3(2013辽宁高考)如图521，抛物线C1：x24y，C2：x22py(p0)点M(x0，y0)在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B(M为原点O时，A，B重合于O)当x01时，切线MA的斜率为.图521(1)求p的值；(2)当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程(A，B重合于O时，中点为O)【解】(1)因为抛物线C1：x24y上任意一点(x，y)的切线斜率为y，且切线MA的斜率为，所以A点坐标为，故切线MA的方程为y(x1).因为点M(1，y0)在切线MA及抛物线C2上，于是y0(2)，y0.由得p2.(2)设N(x，y)，A，

14、B，x1x2，由N为线段AB中点知x，y.切线MA，MB的方程为y(xx1)，y(xx2).由得MA，MB的交点M(x0，y0)的坐标为x0，y0.因为点M(x0，y0)在C2上，即x4y0，所以x1x2. 由得x2y，x0.当x1x2时，A，B重合于原点O，AB中点N为O，坐标满足x2y.因此AB中点N的轨迹方程为x2y.从近两年的高考看，抛物线的定义、标准方程及几何性质是高考的热点，且常以选择题、填空题的形式出现，属中档题目有时与圆、向量等综合交汇，考查定点、定(最)值、或开放性问题，以解答题的形式出现，突出数学思想与创新探究能力考查抛物线中定点问题的求解策略 (12分)如图522，等边三

15、角形OAB的边长为8，且其三个顶点均在抛物线E：x22py(p0)上(1)求抛物线E的方程；(2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y1相交于点Q，证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点【规范解答】(1)依题意，|OB|8，BOy30，设B(x，y)，BOx60，由三角函数定义x|OB|cos 604，y|OB|sin 6012，2分因为点B(4，12)在x22py上，所以(4)22p12，解得p2.故抛物线E的方程为x24y.4分(2)由(1)知yx2，yx.设P(x0，y0)，则x00，y0x，klx0.直线l：yy0x0(xx0)，即yx0xx.6分由得所以Q(，1)设M(0，y1)，

16、若以|PQ|为直径的圆恒过定点M，则0对满足y0x(x00)的x0，y0恒成立8分由于(x0，y0y1)，(，1y1)，由0，得y0y0y1y1y0，即(yy12)(1y1)y00.(*)10分由于(*)式对满足y0x(x00)的y0恒成立，所以解之得y11.故以|PQ|为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1) 12分【阅卷心语】易错提示(1)不会运用等边三角形及抛物线的对称性而错误表达B点坐标，导致错求p值 .(2)不能正确运用导数工具表示切线方程，求出Q点坐标思维受阻，或表示出P，Q点坐标后不能把|PQ|为直径的条件转化为0恒成立来正确求出定点M的坐标防范措施(1)强化知识间交汇转化训练，对

17、于圆锥曲线的切线问题，应重视导数的工具作用(2)充分利用圆的几何性质，重视向量数量积在解决垂直关系中的转化作用；对于定点的探求：一是由特殊寻求点的坐标，然后证明所求点满足一般性，二是设出含参数的点坐标，利用恒成立直接求解必须注意，两种方法都要重视方程思想的应用1过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点若|AF|3，则AOB的面积为()A.B.C.D2【解析】如图所示，由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，又|AF|3，由抛物线定义知：点A到准线x1的距离为3，点A的横坐标为2.将x2代入y24x得y28，由图知点A的纵坐标y2，A(2,2)，直线AF的方程为y2

18、(x1)联立直线与抛物线的方程解之得或由图知B，SAOB|OF|yAyB|1|2|.【答案】C2已知椭圆1上任一点P，由点P向x轴作垂线PQ，垂足为Q，设点M在PQ上，且2，点M的轨迹为C.(1)求曲线C的方程；(2)过点D(0，2)作直线l与曲线C交于A，B两点，设N是过点且平行于x轴的直线上一动点，且满足四边形OANB为矩形，求直线l的方程【解】(1)设点M(x，y)PMx轴，且2，所以点P的坐标为(x,3y)又点P在椭圆1上，所以1，因此曲线C的方程是y21.(2)当直线l的斜率不存在时，显然不满足条件，所以设直线l的方程为ykx2，直线l与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由得(14k2)x216kx120，依题意(16k)248(14k2)0，得k2.(*)此时x1x2，x1x2.又四边形OANB是矩形，所以0，即x1x2y1y2x1x2k2x1x22k(x1x2)4(1k2)x1x22k(x1x2)40，(1k2)2k40，解之得k24，k2，满足(*)式设N(x0，y0)，由，得y0y1y2k(x1x2)44，从而点N在直线y上，满足题设故直线l的方程为y2x2.13