【课堂新坐标】2021年高考数学二轮热点专题突破讲练 第七讲 三角恒等变换与解三角形 理（含解析）.doc

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1、第七讲三角恒等变换与解三角形1(倍角公式)(2013课标全国卷)已知sin 2，则cos2()A.B.C. D.【解析】sin 2，cos2.【答案】A2(正弦定理与和角公式)(2013陕西高考)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为()A直角三角形 B锐角三角形C钝角三角形 D不确定【解析】由正弦定理，及bcos Cccos Basin A，得sin Bcos Csin Ccos Bsin2A，即sin(BC)sin2A，sin A1，得A(由于0A)，故ABC是直角三角形【答案】A3(正弦定理)在ABC中，若A60，B45

2、，BC3，则AC_.【解析】在ABC中，AC2.【答案】2图2214(余弦定理的应用)(2013福建高考)如图221，在ABC中，已知点D在BC边上，ADAC，sinBAC，AB3，AD3，则BD的长为_【解析】sinBACsin(90BAD)cosBAD，在ABD中，有BD2AB2AD22ABADcosBAD，BD21892333，BD.【答案】5(三角恒等变换)(2013重庆高考改编)4cos 50tan 40_.【解析】4cos 50tan 404sin 40.【答案】简单的三角恒等变换 (2013湖南高考)已知函数f(x)sincos，g(x)2sin2.(1)若是第一象限角，且f()

3、， 求g()的值；(2)求使f(x)g(x)成立的x的取值集合【思路点拨】(1)利用和(差)角、倍角公式将f(x)、g(x)化简，沟通二者联系；(2)由f(x)g(x)，化为“一角一名称”的三角不等式，借助三角函数的图象、性质求解【自主解答】f(x)sincossin xcos xcos xsin xsin x，g(x)2sin21cos x.(1)由f()得sin .又是第一象限角，所以cos 0.从而g()1cos 11.(2)f(x)g(x)等价于sin x1cos x，即sin xcos x1，于是sin，从而2kx2k，kZ，即2kx2k，kZ.故使f(x)g(x)成立的x的取值集合

4、为x|2kx2k，kZ1(1)注意角之间的关系，灵活运用和(差)、倍角公式化为“同角x”的三角函数，这是解题的关键；(2)重视三角函数图象，性质在求角的范围中的应用，由图象的直观性、借助周期性，整体代换可有效避免错误2进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用变式训练1已知sin cos ，且.求的值【解】依题意得sin cos ，所以12sin cos ，2sin cos .则(sin cos )212sin cos .由00.所以(sin cos ).正(余)弦定理 (2013山东高考)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且

5、ac6，b2，cos B.(1)求a，c的值；(2)求sin(AB)的值【思路点拨】(1)由余弦定理，得关于a，c的方程，与ac6联立求解；(2)依据正弦定理求sin A，进而求cos A，sin B，利用两角差的正弦公式求值【自主解答】(1)由余弦定理b2a2c22accos B，得b2(ac)22ac(1cos B)，又b2，ac6，cos B，所以ac9，解得a3，c3.(2)在ABC中，sin B，由正弦定理得sin A.因为ac，所以A为锐角所以cos A.因此sin(AB)sin Acos Bcos Asin B.1(1)本题求解的关键是运用正弦(余弦)定理完成边角转化；(2)求解

6、易忽视判定A的范围，错求cos A，导致增解2以三角形为载体考查三角变换是近年高考的热点，要时刻关注它的两重性：一是作为三角形问题，它必然通过正弦(余弦)定理、面积公式建立关于边的方程，实施边角转化；二是它毕竟是三角变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的变式训练2(2013重庆高考)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2b2c2bc.(1)求A；(2)设a，S为ABC的面积，求S3cos Bcos C的最大值，并指出此时B的值【解】(1)由余弦定理得cos A.又因为0A，所以A.(2)由(1)得sin A.又由正弦定理及a得Sbcsin Aas

7、in C3sin Bsin C，因此，S3cos Bcos C3(sin Bsin Ccos Bcos C)3cos(BC)所以，当BC，即B时，S3cos Bcos C取最大值3.解三角形及应用 (2013济南质检)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin B(tan Atan C)tan Atan C.(1)求证：a，b，c成等比数列；(2)若a1，c2，求ABC的面积S.【思路点拨】(1)从要证的结论看，需将条件中角的三角函数化为边，因此需统一为正弦函数，然后运用三角变换公式化简(2)由(1)的结论，联想余弦定理，求cos B，进而求出ABC的面积【自主解答】(1)

8、在ABC中，由于sin B(tan Atan C)tan Atan C，所以sin B()，所以sin B(sin Acos Ccos Asin C)sin Asin C.所以sin Bsin(AC)sin Asin C.又ABC，所以sin(AC)sin B，所以sin2Bsin Asin C.由正弦定理得b2ac，即a，b，c成等比数列(2)因为a1，c2，所以b.由余弦定理得cos B.因为0B，所以sin B，故ABC的面积Sacsin B12.1认真分析题设与要求结论的联系与区别，消除差异，从而找到解题的突破口，这是本题求解的关键2三角形中的边角计算是近年命题的重点，解决这类问题要抓

9、住两点：(1)根据条件，恰当选择正弦、余弦定理完成边角互化；(2)结合内角和定理、面积公式，灵活运用三角恒等变换公式变式训练3已知三角形的三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量m(ca，ba)，n(ab，c)，且mn.(1)求角B的大小；(2)求sin Asin C的取值范围【解】(1)mn，c(ca)(ba)(ab)，c2acb2a2，则a2c2b2ac.由余弦定理得cos B.又0B，因此B.(2)ABC，AC，sin Asin Csin Asinsin Asin cos Acos sin Asin Acos Asin，0A，A，sin1，sin Asin C.故sin As

10、in C的取值范围是正(余)弦定理的实际应用【命题要点】实际问题中的距离，高度测量；实际问题中角度、方向的测量；实际行程中的速度、时间的计算 如图222所示，A，B是海面上位于东西方向相距5(3)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45，B点北偏西60的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间？图222【思路点拨】由题设条件，要求该救援船到达D点的时间，只需求出C、D两点间的距离，先在ABD中求BD，再在BDC中求CD，进而求出时间【自主解答】由题意知AB5(3)，DBA906030，DA

11、B45，ADB105.sin 105sin 45cos 60sin 60cos 45.在ABD中，由正弦定理得：，BD10.又DBC180606060，BC20，在DBC中，由余弦定理得CD2BD2BC22BDBCcos 603001 20021020900.CD30(海里)，救援船需要的时间t1(小时)1该题求解的关键是借助方位角构建三角形，要把需求量转化到同一个三角形(或相关三角形)中，运用正(余)弦定理沟通边角关系2应用解三角形知识解决实际问题需要下列三步：(1)根据题意，画出示意图，并标出条件(2)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解(3)检验

12、解出的结果是否符合实际意义，得出正确答案变式训练4如图223，A、C两岛之间有一片暗礁，一艘小船于某日上午8时从A岛出发，以10海里/小时的速度沿北偏东75方向直线航行，下午1时到达B处然后以同样的速度沿北偏东15方向直线航行，图223下午4时到达C岛(1)求A、C两岛之间的距离；(2)求BAC的正弦值【解】(1)在ABC中，由已知，得AB10550(海里)，BC10330(海里)，ABC1807515120，由余弦定理，得AC250230225030 cos 1204 900，所以AC70(海里)故A、C两岛之间的距离是70海里(2)在ABC中，由正弦定理，得，所以sinBAC.故BAC的正

13、弦值是.从近两年的高考命题看，正弦定理、余弦定理是高考命题的热点，不仅是用来解决一些简单的三角形边角计算问题；且常与三角函数、向量、不等式交汇命题，灵活考查学生分析解决问题的能力，多以解答题的形式出现，属中低档题目以三角形为载体的创新交汇问题 (12分)已知ABC是半径为R的圆内接三角形，且2R(sin2Asin2C)(ab)sin B.(1)求角C；(2)试求ABC的面积S的最大值【规范解答】(1)由2R(sin2Asin2C)(ab)sin B，得asin Acsin Casin Bbsin B，a2c2abb2，4分由余弦定理得cos C，又0C，C.6分(2)2R，c2Rsin CR.

14、由(1)知c2a2b2ab，2R2a2b2ab.8分又a2b22ab(当且仅当ab时取“”)，2R22abab，ab(2)R2.10分SABCabsin CabR2.即ABC面积的最大值为R2.12分【阅卷心语】易错提示(1)不能灵活运用正弦定理化简等式，致使求不出角C，究其原因是不能深刻理解正弦定理的变形应用(2)对求ABC的面积的最大值束手无策，想不到利用等式求ab的最大值防范措施(1)利用a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，可实施边角转化(2)对于“已知一边及其对角”的三角形，常用余弦定理，得到其他两边的关系，再利用基本不等式便可求三角形面积的最值1已知函数f(x)si

15、n(x)cos(x)，xR.(1)求f(x)的最小正周期和最小值；(2)已知cos()，cos()，0，求f()的值【解】(1)f(x)sinsinsin(x)sin(x)2sin(x)T2，f(x)的最小值为2.(2)由cos()，cos()得cos cos sin sin ，cos cos sin sin .两式相加得2cos cos 0.0，.f()2sin2sin.2ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知abcos Ccsin B.(1)求B；(2)若b2，求ABC面积的最大值【解】(1)由已知及正弦定理得sin Asin Bcos Csin Csin B，又A(BC)，故sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C由和C(0，)得sin Bcos B.又B(0，)，所以B.(2)ABC的面积Sacsin Bac.由已知及余弦定理得4a2c22accos.又a2c22ac，故ac，当且仅当ac时，等号成立因此ABC面积的最大值为1.13