学年高中数学第二章解三角形解三角形的实际应用举例第课时距离和高度问题练习含解析北师大版必修.doc

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1、距离和高度问题A级基础巩固一、选择题1海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60的视角，从B岛望C岛和A岛成75的视角，则B、C间的距离是(D)A10海里B10海里C5海里D5海里解析如图，由正弦定理得，BC5.2学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4 m，A30，则其跨度AB的长为(D)A12 mB8 mC3 mD4 m解析在ABC中，已知可得BCAC4，C180302120，所以由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos120424224448，AB4(m)3如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A、B两点分别测得树尖的仰角为30，4

2、5，且A，B两点之间的距离为60 m，则树的高度为(A)A(3030)mB(3015)mC(1530)mD(1515)m解析由正弦定理可得，PB.hPBsin45sin45(3030)(m)4甲船在湖中B岛的正南A处，AB3 km，甲船以8 km/h的速度向正北方向航行，同时乙船从B岛出发，以12 km/h的速度向北偏东60方向驶去，则行驶15分钟时，两船的距离是(B)A kmB kmC kmD km解析由题意知AM82，BN123，MBABAM321，所以由余弦定理得MN2MB2BN22MBBNcos12019213()13，所以MN km.5如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离

3、都等于a(km)，灯塔A在观察站C的北偏东20，灯塔B在观察站C的南偏东40，则灯塔A与灯塔B的距离为(B) Aa(km)Ba(km)Ca(km)D2a(km)解析在ABC中，ACB180(2040)120.AB2AC2BC22ACBCcos120a2a22a2()3a2，ABa(km)6在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30、60，则塔高为(A)A米B米C米D米解析解法一：如图，设AB为山高，CD为塔高，则AB200，ADM30，ACB60，BC200tan30，AMDMtan30BCtan30.CDABAM.解法二：如图AB为山高，CD为塔高在ABC中，AC，在ACD中

4、，CAD30，ADC120.由正弦定理.CD(米)二、填空题7一只蜘蛛沿正北方向爬行x cm捕捉到一只小虫，然后向右转105，爬行10 cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135爬行回它的出发点，则x cm.解析如图，由题意知，BAC75，ACB45.B60，由正弦定理，得，x.8如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，ACB45，CAB105后，就可以计算A、B两点的距离为50 m.解析因为ACB45，CAB105，所以ABC30，根据正弦定理可知：，即，解得AB50 m.三、解答题9海面上相距10海里的A、B两船，B船在A船的北偏东45

5、方向上，两船同时接到指令同时驶向C岛，C岛在B船的南偏东75方向上，行驶了80分钟后两船同时到达C岛，经测算，A船行驶了10海里，求B船的速度解析如图所示，在ABC中，AB10，AC10，ABC120由余弦定理，得AC2BA2BC22BABCcos120即700100BC210BC，BC20，设B船速度为v，则有v15(海里/小时)即B船的速度为15海里/小时10在上海世博会期间，小明在中国馆门口A处看到正前方上空一红灯笼，测得此时的仰角为45，前进200米到达B处，测得此时的仰角为60，小明身高1.8米，试计算红灯笼的高度(精确到1 m)解析由题意画出示意图(AA表示小明的身高)AB200，

6、CAB45，CBD60，在ABC中，BC200(1)在RtCDB中，CDBCsin60100(3)，CD1.8100(3)475(米)答：红灯笼高约475米B级素养提升一、选择题1一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30的方向航行30分钟后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为(B)A20()海里/时B20()海里/时C20()海里/时D20()海里/时解析设货轮航行30分钟后到达N处，由题意可知NMS45，MNS105，则MSN1801054530.而MS20，在MNS中，由正弦定理得，MN10()货轮的速度为10()20()(海里/时

7、)2如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角CAB45，沿倾斜角为30的山坡向山顶走1 000米到达S点，又测得山顶仰角DSB75，则山高BC为(D)A500 mB200 mC1 000 mD1 000 m解析SAB453015，SBAABCSBC45(9075)30，在ABS中，AB1 000，BCABsin451 0001 000(m)3一船向正北航行，看见正西方向有相距10 n mlie的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60方向上，另一灯塔在船的南偏西75方向上，则这艘船的速度是每小时(C)A5 n mlieB5 n mlieC10 n mlieD10

8、n mlie解析如图，依题意有BAC60，BAD75，CADCDA15，从而CDCA10，在RtABC中，求得AB5，这艘船的速度是10(n mlie/h)4要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45，30，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120，甲、乙两地相距500米，则电视塔在这次测量中的高度是(D)A100米B400米C200米D500米解析由题意画出示意图，设高ABh，在RtABC中，由已知BCh，在RtABD中，由已知BDh，在BCD中，由余弦定理BD2BC2CD22BCCDcosBCD得

9、3h2h25002h500，解之得h500(米)二、填空题5某地电信局信号转播塔建在一山坡上，如图所示，施工人员欲在山坡上A、B两点处测量与地面垂直的塔CD的高，由A、B两地测得塔顶C的仰角分别为60和45，又知AB的长为40米，斜坡与水平面成30角，则该转播塔的高度是米解析如图所示，由题意，得ABC453015，DAC603030.BAC150，ACB15，ACAB40米，ADC120，ACD30，在ACD中，由正弦定理，得CDAC40.6如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时，测量公路南侧远处一山顶D在东偏南15的方向上，行驶5 km后到达B处，测得此山顶在东偏南30的方向上

10、，仰角为15，则此山的高度CD等于5(2)km.解析在ABC中，A15，ACB301515，所以BCAB5.又CDBCtanDBC5tan155tan(4530)5(2)三、解答题7(2018全国卷理，17)在平面四边形ABCD中，ADC90，A45，AB2，BD5.(1)求cosADB；(2)若DC2，求BC解析(1)在ABD中，由正弦定理得，即，所以sinADB.由题设知，ADB90，所以cosADB .(2)由题设及(1)知，cosBDCsinADB.在BCD中，由余弦定理得BC2BD2DC22BDDCcosBDC25825225，所以BC5.8某人在M汽车站的北偏西20的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶公路的走向是M站的北偏东40.开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？解析由题画出示意图如图所示，设汽车前进20千米后到达B处，在ABC中，AC31，BC20，AB21.由余弦定理得cosC，则sinC，所以sinMACsin(120C)sin120cosCcos120sinC.在MAC中，由正弦定理得MC35，从而MBMCBC15.即汽车还需行驶15千米才能到达M汽车站7